Download
1 / 33
330 likes | 491 Views
Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru. lekce (IX - XI). Obsah:. Cohenova třída distribucí Význam Wignerovy distribuce jako pravděpodobnosti Interference a snaha o jejich odstranění Evoluční rovnice a operátory pro Wignerovu distibuci
E N D
Vlnová funkce jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru lekce (IX - XI)
Obsah: • Cohenova třída distribucí • Význam Wignerovy distribuce jako pravděpodobnosti • Interference a snaha o jejich odstranění • Evoluční rovnice a operátory pro Wignerovu distibuci • Stacionární Schrödingerova rovnice ve fázovém prostoru • Zpětná transformace z Wignerova prostoru k vlnové funkci • WKB teorie z Wignerova prostoru • Wignerova metoda • Metoda difúzní Monte Carlo ve fázovém prostoru
Cohenova třída distribucí • představa: pokoušíme se změřit pravděpodobnost, že kvantový systém má polohu q a hybnost p. • kvantová neurčitost [q,p]: operátory q a p nekomutují, takže obě veličiny v principu nelze měřit současně. • „smysluplné měření“ – např. měření q a p v rámci minimální neurčitosti konkrétní definice takového měření určuje výsledné asociační pravidlo dané distribuce ve fázovém prostoru. • nejpoužívanější asociační pravidla: • Weylovo … Wignerova distribuce • antinormální … Husimiho distribuce • normální • standardní a antistandardní
Cohenova třída distribucí • Weylovo asociační pravidlo je dáno pomocí posuvného operátoru D: • asociační pravidla distribucí Cohenovy třídy jsou obecně dána pomocí dvou posuvných operátorů: Wignerova distr.
Asociační pravidlo Distribuce QA PA QB PB Weylovo Wignerova Q P 0 0 antinormální Husimiho normální normální standardní standardní 0 P Q 0 antistandardní antistandardní Q 0 0 P Cohenova třída distribucí • konkrétní definice:
Cohenova třída distribucí • transformační relace mezi operátory pro asociační pravidla (ty přímo souvisejí s transformačními relacemi mezi distribucemi) • každá distribuce je dána také charakteristickou funkcí f, kde platí: • odvození transformačních relací pomocí charakteristické funkce : • výchozí vztah:
Cohenova třída distribucí • integrální transformace: • dosazení
Cohenova třída distribucí • diferenciální transformace • z toho vyplývá:
Wignerova distribuce • odvození běžné definice Wignerovy distribuce z formalismu pro Cohenovu třídu distribucí • úprava Weylova operátoru • využijeme identity: • dosazení do předchozí definice: • operace posuvným operátorem:
Wignerova distribuce • Wignerova distribuce z Weylova operátoru • symetrická definice v p-reprezentaci pozn.: symetrická definice v p-reprezentaci
Wignerova distribuce • fyzikální porozumění Wignerově distribuci: • pravděpodobnost ve fázovém prostoru související s minimální neurčitostí • přesněji: „kvazipravděpodobnost“, protože se vyskytují záporné hodnoty
Wignerova distribuce • Aproximace Wignerovy distribuce 2. řádu: • pro pochopení významu definice Wignerovy distribuce rozvineme matici hustoty podle Q do II. řádu (např. pro Gaussiáln vyjadřující částici s minimální neurčitostí tento rozvoj platí přesně)
Wignerova distribuce • aproximativní Wignerova distribuce jako Fourierova transformace matice hustoty pro aproximaci II. řádu: • z naznačené aproximace vidíme, že Wignerova distribuce má význam jako pravděpodobnost ve fázovém prostoru: • pravděpodobnost v q je dána amplitudou • pravděpodobnost v p je lokalizována v phi’, která má význam průměrné hybnosti (viz definice průtoku níže), přičemž šířka aproximované distribuce v p je dána minimální neurčitostí (srovnej případ Gaussiánu níže) • průměrný tok
Wignerova distribuce • význam A’’ jako minimální neurčitost v p na příkladu Gaussiánu:
Wignerova distribuce • oscilační vzor díky interferenci vzdálených částí: • rozvoj do II. řádu ukázal na význam pravděpodobnosti, nicméně po přidání vyšších řádů funkce nabývá také záporných hodnot (kvazi-pravděpodobnostní distribuce). • Wignerova distribuce bývá oscilační, přičemž důvodem je interference vzdálených obsazených částí klasického fázového prostoru pro případ čistého stavu (viz níže). • Pro případ teplotního rozdělení či ztráty koherence dojde ke zmizení záporných částí a Wignerova distribuce koresponduje s klasickou distribucí, přičemž zahrnuje také kvantovou neurčitost (viz příští lekce).
Wignerova distribuce • interference dvou Gaussiánů • Příklad: zákl. stav dvojité jámy • jednoduchý případ dvou identických Gau. rozložených po obou stranách středu: • matice hustoty: • Wignerova distribuce je dána součtem W.d. obou Gaussiánů + interferenční člen (viz níže) psi(x) -q0 q0 x
Wignerova distribuce • úprava cross-matice hustoty • FT matice hustoty ... cross člen Wignerovy distr.
p q -q0 q0 Wignerova distribuce • nákres Wign. distribuce: • rychlejší oscilace pro větší q0 • integrací přes p získáme téměř nulové hodnoty v místě cross-termu (tj. tento člen nemá význam pravděpodobnosti) • oscilace vždy kolmé k obsazeným částem prostoru: cross-term q p
Husimiho (antinormální) distribuce • pozitívně definitní • má význam pravděpodobnosti • zahrnuje 2x větší neurčitost než Wignerova distribuce (tj. 2x větší než je minimální neurčitost) • její cross-termy jsou blízké nule • odvození definice z asociačního pravidla pro antinormální rozdělení • definice: • identita:
Husimiho (antinormální) distribuce • úprava operátoru pro asociační pravidlo: • Husimiho distribuce:
Husimiho (antinormální) distribuce • diskuse Husimiho distribuce • lokální Fourierova transformace (toho využijeme při jejím programování) • překryv s minimálním Gaussiánem, jehož střed [q,p] je dán souřadnicemi ve fázovém prostoru – to vysvětluje její pravděpodobnostní interpretaci jako pravděpodobnost výskytu ve fázovém prostoru
Husimiho (antinormální) distribuce • vztahy mezi Wignerovou a Husimiho distribucí • odvodíme charakteristické funkce pro obě asociační pravidla: • odvodíme funkci g pro integrální transformaci:
Husimiho (antinormální) distribuce • transformace z Wignerovy distribuce k Husimiho distribuci: • diskuse: • Husimiho distribuce je dána vyhlazením Wignerovy distribuce • vyhlazení Gaussiánem o minimální neurčitosti způsobí vymizení oscilujících cross-termů na Wignerově distribuci, cross-termy mají u Husimiho distribuce zanedbatelnou velikost a jsou kladné • u Husimiho distribuce se zvětší neurčitost, čímž se zhorší „rozlišení“
Husimiho (antinormální) distribuce • z Husimiho do Wignerovy distribuce: • principiálně je to možné, numericky většinou nikoliv díky omezené numerické přesnosti (vysvětlení: ztráta přesnosti pro cross-termy, které jsou u Husimiho distribuce téměř nulové)
Kvantové střední hodnoty z distribucí • nahrazení operátoru skalární funkcí ve fázovém prostoru: • důkaz pomocí rozvoje operátoru A do vyšších derivací posuvných operátorů • Distribuce Cohenovy třídy obsahují celou informaci o matici hustoty a tudíž je lze používat jako alternativní reprezentaci kvantové mechaniky (vedle matic hustoty nebo vlnových funkcí)
Wignerova reprezentace kvantové mechaniky • Wignerova distribuce a reprezentace kvantové mechaniky • Hamiltonián ve Wignerově reprezentaci • potenciál:
Wignerova reprezentace kvantové mechaniky • kinetický operátor • Zpětná transformace (význam projekce) • zvlášť na tabuli.... • Vývoj Wignerovy distribuce v čase
