Questo ipertesto è stato realizzato da: dr. Rita Agnelli dr. Elisabetta Porrera dr. Sofia Sabatti dr. Chiara Zaina

1. Questo ipertesto è stato realizzato da: dr. Rita Agnelli dr. Elisabetta Porrera dr. Sofia Sabatti dr. Chiara Zaina Il suo utilizzo è consentito esclusivamente previa autorizzazione da parte delle autrici. E-mail: sofia@sabatti.it

2. IL TEOREMA DI PITAGORA Francobollo emesso dalla Grecia il 20 agosto 1955.

3. LA SFIDA CASI PARTICOLARI EUCLIDE IL TEOREMA DI PITAGORA DIMOSTRAZIONI LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE LA STORIA GLI IRRAZIONALI

4. INDICE 1. LA SFIDA • il problema della duplicazione del quadrato • errori comuni • soluzione del problema • un esercizio 2. CASI PARTICOLARI • un triangolo rettangolo isoscele • terne pitagoriche • una verifica numerica

5. 3. IL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE • un nuovo personaggio: Euclide • la sua opera: gli Elementi • libro I, prop. 47 - 48 • libro VI, prop. 31 4. DIMOSTRAZIONI • cosa significa dimostrare • alcune dimostrazioni significative

6. 5. LA STORIA• le civiltà potamiche - Egiziani - Babilonesi - Indiani - Cinesi • Pitagora e la sua scuola 6. UN’INTRODUZIONE AI NUMERI IRRAZIONALI • la duplicazione del quadrato e la radice quadrata di 2 • costruzione della radice quadrata di n • aspetti naturalistici

7. 7. LEGAMI CON ALTRE DISCIPLINE • educazione artistica - origami - la spirale della Sagrada Familia • educazione tecnica “pesiamo” il teorema di Pitagora 8. BIBLIOGRAFIA ED ELENCO SITI

8. CIAO, SONO PIT!Ti accompagnerò alla scoperta del “Teorema di Pitagora”. Un teorema è un enunciato la cui validità è assicurata da una dimostrazione rigorosa. Quello di cui ci occuperemo riguarda la geometria e deve il suo nome ad un personaggio che conosceremo insieme: Pitagora. Durante l’esplorazione di questo mondo affascinante, fai attenzione ai miei consigli: ti aiuteranno a scoprire i segreti nascosti di tante figure, a capire meglio quello che ti verrà spiegato e a risolvere i problemi che incontrerai!

9. La chiave di accesso alla nostra avventura insieme è la tua voglia di metterti in gioco: benvenuto, allora, alla nostra prima sfida! 1. LA SFIDA

10. La sfida che ti propongo è questa: sai disegnare un quadrato che abbia area doppia rispetto a quella di un quadrato assegnato? Disegna un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno di area doppia.

11. Se ti sembra un problema inutile... … prova a pensare di essere un sarto e di aver cucito un fazzoletto che, alla fine, risulta essere troppo piccolo: cosa faresti se te ne commissionassero uno grande il doppio? E se tu fossi un geometra e dovessi preparare un preventivo per la recinzione di un appezzamento di terreno quadrato, di area doppia rispetto all’ultimo di cui ti sei occupato?

12. Se ci sei già riuscito… sei veramente incredibile! Se invece hai bisogno di una mano, prova a leggere qui sotto... Molti, al primo tentativo, quadruplicano il quadrato, invece di raddoppiarlo. Altri raddoppiano l’area, ma invece di disegnare un quadrato, disegnano un rettangolo. Prova a concentrarti e ad usare un po’ della fantasia che hai...

13. Devo pensare, devo provare e riprovare… Ma come faccio a non abbattermi?!... • Hai provato a suddividere il quadrato in altre figure più piccole? • Hai pensato che se il tuo quadrato contiene (ad esempio) quattro figure uguali il suo doppio ne dovrà contenere otto? • Hai provato con figure diverse… ad esempio con dei triangoli?

14. Congratulazioni! Sono sicuro che, a questo punto, hai trovato la soluzione. Prova a confrontarla con quella che ho trovato io…

15. Ti propongo ora un’altra sfida: sai disegnare un quadrato che abbia area dimezzata rispetto a quella di un quadrato assegnato? Se sei stato attento, non ti sarà difficile disegnare un quadrato sul tuo quaderno e poi disegnane uno che abbia area la metà.

16. 2. CASI PARTICOLARI - i quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo isoscele; - le terne pitagoriche; - una verifica numerica un po’ più generale.

17. Sono sicuro che sarai molto orgoglioso di aver risolto il problema della duplicazione del quadrato. Ora vorrei solo farti notare che si può leggere tale soluzione anche in un altro modo: dato un triangolo rettangolo isoscele, il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente alla somma dei due quadrati costruiti sui due cateti.

18. Ebbene: secondo te, questa proprietà (che abbiamo verificato valere per i triangoli rettangoli isosceli) sarà valida anche per altri triangoli rettangoli? Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che abbia i lati di 3 cm, 4 cm e 5 cm. Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti.

19. Se hai fatto i calcoli giusti, dovresti aver già verificato che, anche in questo caso particolare, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti.

20. Prova a disegnare sul tuo quaderno un triangolo che abbia i lati di 6 cm, 8 cm e 10 cm. Verifica che è rettangolo e poi vedi se il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente (o no) alla somma dei due costruiti sui suoi cateti. Ed ora, per allenarti ancora un po’, prova a verificare cosa succede per un triangolo che abbia i lati di 5 cm, 12 cm e 13 cm.

21. Ti sarai reso conto che in tutti questi casi si ottiene un triangolo rettangolo, per il quale il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti. Terne di numeri naturali di questo tipo sono dette terne pitagoriche. In altre parole, tre numeri naturali a, b e c formano una terna pitagorica se

22. Per ora abbiamo incontrato queste terne pitagoriche: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13). Ce ne sono altre? Che ne dici? 24 25 7

23. Probabilmente sarai già riuscito a trovare tantissime terne pitagoriche. Se vuoi un consiglio, fermati qua: tutto il tempo della tua vita non ti basterebbe per trovarle tutte, perché sono infinite…! Infatti, comunque presi due numeri naturali x e y si ha che i numeri a = x2 - y2 b = 2 x y c = x2 + y2 costituiscono una terna pitagorica.

24. Abbiamo allora visto che per infiniti triangoli rettangoli (tutti quelli i cui lati hanno le misure corrispondenti ai numeri di una terna pitagorica) il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due costruiti sui cateti. Ora scopriremo, facendo qualche misura, che i triangoli rettangoli per cui vale questa proprietà sono… ancora di più!

25. Ebbene, anche se abbiamo visto che per infiniti triangoli rettangoli il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti, nulla ci permette ancora di dire che ciò avviene per tutti i triangoli rettangoli. Sarà così o non sarà così? Chi ce lo assicura? È quello che vedremo insieme, se hai la pazienza e la voglia di continuare questo viaggio con me!

26. 3. IL TEOREMA DI PITAGORA... … PRESENTATO DA EUCLIDE!

27. Incontriamo adesso un nuovo personaggio, che ci illustrerà come ha dimostrato il nostro ormai noto teorema di Pitagora. Avete idea di chi possa essere? Provate a pensare, forse lo avete già incontrato… …vi dicono niente le parole assiomi, nozioni comuni, Elementi…? Adesso dovreste proprio avere capito di chi stiamo parlando! Si tratta di Euclide!

28. EUCLIDE IV - III sec. a.C. Euclide è l’autore del trattato di geometria più diffuso nel mondo; ciò nonostante sono pochissime le informazioni che possediamo circa la sua vita. Secondo quanto si legge nel Commentario al primo libro degli Elementi di Proclo (V sec. d.C.), Euclide è vissuto tra il IV e il III secolo a.C. ad Alessandria, in Egitto, e appartiene a quel periodo che è noto come età aurea della matematica greca. Dopo aver ricevuto la sua formazione ad Atene, presso la scuola di Platone, viene chiamato ad Alessandria, maggior centro culturale dell’antichità, per insegnare matematica.

29. Di questo periodo, si narrano due aneddoti che ci forniscono qualche notizia sul temperamento di questo personaggio. Alla richiesta del sovrano Tolomeo di fornirgli una facile introduzione alla geometria, Euclide risponde che non esistono vie regie che portano a tale disciplina. In un’altra occasione, ad una alunno che chiede quali vantaggi si possono trarre dallo studio della geometria, Euclide fa dare, da un suo servo, una moneta per sottolineare che l’allievo ha bisogno di trarre un vantaggio pratico da ciò che impara e poi lo caccia via.

30. Ad Alessandria Euclide scrive gli Elementi, che diventeranno l’opera matematica più nota e conosciuta, tanto da essere il testo più tradotto dopo la Bibbia. Si tratta di un manuale introduttivo allo studio della matematica, costituito da 13 libri che trattano rispettivamente di: • libri I - VI: geometria piana; • libri VII - IX: teoria dei numeri; • libro X: le grandezze incommensurabili; • libri XI - XIII: geometria solida. Il Teorema di Pitagora viene enunciato e dimostrato nella proposizione 47 alla fine del libro I.

31. A testimonianza delle numerosissime traduzioni degli Elementi in svariate lingue, voglio mostrarti questa immagine che illustra la prima proposizione del primo libro degli Elementi di Euclide, tradotti in cinese nei primi anni del XVII secolo dal gesuita Matteo Ricci.

32. Un’altra edizione molto interessante degli Elementi è questa versione in lingua inglese a colori, dovuta a Oliver Byrne, che risale al 1847.

33. Ti mostro ora le proposizioni degli Elementi che riguardano il teorema di Pitagora. Le cito dalla edizione in italiano dell’UTET curata da Attilio Frajese e Lamberto Maccioni.

34. Libro I, proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.

35. Con la proposizione 48 del libro I, Euclide risponde a questo problema: dato un triangolo e costruiti i quadrati sui suoi lati, se la somma di due dei quadrati è uguale al terzo, possiamo affermare con certezza che il triangolo è rettangolo? ?

36. Libro I, proposizione 48 Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l’angolo che è compreso dai due rimanenti lati del triangolo è retto.

37. Con la proposizione 31 del libro VI, Euclide risponde a questo problema: sui lati del triangolo rettangolo, devo costruire proprio dei quadrati? Il teorema non vale se costruisco altre figure? ?

38. Libro VI, proposizione 31 Nei triangoli rettangoli la figura descritta sul lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma delle figure simili e similmente descritte sui lati che comprendono l’angolo retto.

39. Cliccando su queste immagini puoi verificare quanto Euclide dice nella proposizione 31 per due casi particolari.

40. 4. IL TEOREMA DI PITAGORA? DIMOSTRAMELO! Fin da prima di Euclide, i matematici non si sono accontentati di accorgersi di alcune proprietà dei numeri e delle figure geometriche, bensì hanno sentito l’esigenza di dimostrarle. Ma cosa vuol dire dimostrare?

41. Prova a pensare con i tuoi compagni al significato di questo verbo. Non si tratta di vedere chi per primo indovina la definizione esatta, ma di provare insieme a riflettere sui diversi modi e sulle diverse occasioni in cui ciascuno di voi ha usato, sentito o letto questa parola. Datevi tempo e scrivete su un foglio di carta le cose che vi vengono in mente.

42. Ora provate a cercare su un vocabolario della lingua italiana i significati di questa parola e confrontateli con quelli che avevate trovato voi.

43. Io, sul Vocabolario della lingua italiana di Nicola Zingarelli edito da Zanichelli, ho trovato questi significati: 1) mostrare o manifestare apertamente uno stato, una qualità, un sentimento e sim., con fatti, parole, segni esteriori; 2) provare la verità di un enunciato, di una tesi, di una dottrina e sim. fornendo le necessarie prove; 3) spiegare, insegnare, far vedere; 4) scoprire; 5) prendere parte ad una dimostrazione pubblica.

44. Nessuno di questi significati è quello a cui pensano i matematici quando parlano di dimostrazioni. È vero però che alcune parole usate dal vocabolario possono esserci utili per avvicinarci al significato specifico che vogliamo dare a questo verbo. Probabilmente alcune di queste parole chiave si trovano anche tra le definizioni o i sinonimi che avete dato voi: • mostrare - manifestare - far vedere; • provare - prove; • scoprire; • insegnare - spiegare; • apertamente - con segni esteriori.

45. L’idea di “mostrare” è importante: ci dice che una dimostrazione deve essere chiaramente comprensibile a chi la fa e a chiunque la legga. Anche quando si fa riferimento ai “segni esteriori” si intende dare importanza al fatto che una dimostrazione deve essere comunicabile: non può essere qualcosa che abbiamo solo in mente o solo nel cuore. Quando si parla di “prove” si sottolinea il fatto che una dimostrazione deve essere convincente, non deve lasciare spazio a dubbi o perplessità. Infine le dimostrazioni ci rendono sicuri delle nostre scoperte e ci permettono di insegnarle anche agli altri.

46. Per i matematici dimostrare significa passare da certe premesse accettate, che chiamiamo ipotesi, a una proposizione, che chiamiamo tesi, attraverso una sequenza finita di ragionamenti logici. L’ipotesi, la tesi e la dimostrazione costruita da un matematico per passare dalla prima alla seconda costituiscono un teorema.

47. Vediamo ora qual è l’ipotesi e qual è la tesi del teorema di Pitagora (proposizione 47 del libro I di Euclide). Successivamente vedremo tanti diversi modi di dimostrarlo. Anzi: prima di guardare le dimostrazioni che ti propongo io, datti da fare per inventarne una tu! Ipotesi: ABC è un triangolo rettangolo, retto in A. Tesi: il quadrato costruito sull’ipotenusa BC è equivalente alla somma di quelli costruiti sui cateti AB e AC.

48. Abbiamo analizzato insieme la proposizione 47evidenziando ipotesi e tesi.Prova a fare lo stesso con la proposizione 48. Quali analogie puoi trovare? Prova a confrontare l’ipotesidell’uno con la tesi dell’altroe viceversa...

49. Avrai certamente notato che l’ipotesi della proposizione 47 corrisponde alla tesi della 48 e l’ipotesi della 48 alla tesi della 47.Non è uno scioglilingua!Se in questo modo ti ho confuso le idee, chiariscitele con il seguente schema: ABC è un triangolo rettangolo in A 47 48 Il quadrato costruito su BC è equivalente alla somma di quelli costruiti su AB e AC.

50. Proposizioni come la 47 e la 48 del I libro degli Elementi si dice che sono l’una l’inversa dell’altra.