Granica funkcji

1. Granica funkcji a wykres. Asymptoty Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2. Ucząc się szkolnej matematyki, poznaliśmy kilkanaście funkcji, a w przyszłości poznamy dalsze. W związku z tym nasuwa się pytanie : czy własności tych funkcji trzeba „ wkuwać na blachę ?” Odpowiedź jest oczywista. Nie. Wystarczy „ widzieć” wykresy i umieć własności funkcji odczytać z wykresu. Gdy padnie pytanie o własności najprostszej funkcji homograficznej, wystarczy wiedza, którą mogą mieć uczniowie szkoły podstawowej. Niektórzy zdziwią się. Gdzie funkcja homograficzna w podstawówce ? . Obliczając pola prostokątów, mamy narysować możliwie dużo prostokątów o polu 12 12 Boki prostokata oznaczmy symbolami x , y . Zatem umieszczonych jak na rysunku. x , y - wielkości Ile jest takich prostokątów ? . odwrotnie proporcjonalne Nieskończenie wiele. 6 funkcja homograficzna Wierzchołki prostokątów . 4 nie leżących na osiach, . połączmy linią krzywą. . 2 . I mamy jedną gałąź hiperboli i jej asymptoty. 4 6 12 2

3. Jak algebraicznie znaleźć asymptoty wykresu funkcji ? O tym dowiemy się w tej prezentacji. y b x a Na układzie widzimy proste , które są szczególnie położone względem Jak wiemy , takie proste nazywamy asymptotami . Na układzie widzimy asymptotę poziomą , wykresu funkcji . pionową i ukośną . Teraz pozostaje zdefiniować co to znaczy , że prosta jest asymptotą . Z taką sytuacją , niektórzy spotkali się już w szkole podstawowej , Znając pojęcie granicy funkcji , umowy same się narzucają . gdy poznali krzywą zwaną hiperbolą . jest asymptotą poziomą wykresu Popatrzmy jak na animacji zmieniają się wartości funkcji , Zapiszmy to symbolicznie . gdy argumenty dążą do Rzędne punktów wykresu dążą do Popatrzmy , jak na jest asymptotą pionową wykresu animacji zmieniają się wartości funkcji gdy argumenty dążą do Rzędne punktów dążą do lub Zapiszmy to symbolicznie .

4. y b x a jest asymptotą ukośnąwykresu Przybliża się do asymptoty . Co dzieje się z wykresem funkcji ? Czyli , gdy argument rośnie do nieskończoności , odległość punktów wykresu od asymptoty dąży do zera. Ponieważ obliczanie tej odległości jest niewygodne, lepiej jest wyznaczyć długość tego odcinka. Jego długość, która wynosi też dąży do zera. Co zapisujemy

5. Sformułowaliśmy więc definicję asymptoty ukośnej. jest asymptotą ukośną wykresu Po określeniu asymptot, zapytajmy, jak te asymptoty znaleźć. Asymptoty poziome wyznaczamy obliczając granice w Jak zbadać gdzie i czy są asymptoty pionowe ? Pamiętając, że podstawowe funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach, asymptot pionowych należy szukać w punktach nieokreśloności obliczając granice ( najczęściej jednostronne ) w tych punktach. Gdy nie ma asymptot poziomych, wtedy mogą być asymptoty ukośne. Jak je znaleźć ? Niestety, definicja nic o tym nie mówi. Wiemy jaki warunek ta asymptota musi spełniać, ale nie wiemy jak tej prostej poszukać. Prawdę powiedziawszy, to nic nowego. Takich sytuacji było niemało. Od określenia stycznej do okręgu w szkole podstawowej, do ostatnio sformułowanych definicji granicy ciągu czy funkcji.

6. Musimy poszukać sposobu znajdywania tych asymptot. Wiemy, że musi zachodzić warunek Z niego być może zdołamy wyznaczyć typu Mamy po jednej stronie granicę a po drugiej stronie 0. Pomysł co zrobić, by pozbyć się nasuwa się natychmiast. Obie strony równości „ podzielić ” przez , czyli przez z twierdzeń o granicach f. bo Gdy znamy , z warunku definicyjnego, łatwo znajdziemy Znaleźliśmy sposób wyznaczenia asymptoty ukośnej. Zdobytą wiedzę zastosujmy w zadaniach.

7. Zad. 1 Znajdź asymptoty wykresu funkcji Wyznaczamy dziedzinę. Wykres funkcji nie ma asymptoty poziomej. Czy ma asymptotę pionową? Wykres funkcji posiada asymptotę pionową obustronną. Badamy, czy są asymptoty ukośne. Wykres funkcji ma asymptotę ukośną lewostronną

8. Analogicznie obliczamy Wykres funkcji ma asymptotę ukośną prawostronną * * * Zad. 2 Znajdź asymptoty wykresu funkcji Wyznaczamy dziedzinę. Wykres funkcji nie ma asymptoty poziomej. Obliczając granice w punktach nieokreśloności, dowiemy się, czy są asymtoty pionowe. + + - - nie istnieje Wykres mianownika Istnieją granice jednostronne. Wykres ma dwie asymptoty pionowe:

9. Badamy, czy są asymptoty ukośne. Wykres funkcji niema asymptoty ukośnej. * * * Mam nadzieję, że śledzący tą prezentację nie będą zdziwieni faktem, że asymptota przecina wykres funkcji, co było widać na animacji. W konsekwencji, warto postawić pytanie, czy wykres funkcji, może mieć z asymptotą nieskończenie wiele punktów. Definicja nico tym nie mówi. Czy istnieje taka krzywa ? Ruch drgający zanikający. Istnieje. Trzeba uruchomić wyobraźnię . ………. Zgodnie z definicją asymptoty odległość punktów krzywej od prostej dąży do zera, czyli jest asymptotą.

10. Czy wszyscy muszą się uznać pokazaną prostą za asymptotę ? Jeżeli zgodzili się na naszą definicję to tak. Jeżeli nie, to musi iść do innej piaskownicy i tam bawić się z tymi, którzy mają inną definicję asymptoty. Przyponijmy nasze definicje asymptot : jest asymptotą poziomą wykresu jest asymptotąpionową wykresu jest asymptotą ukośną wykresu Granica funkcji okazała się konieczna do wykazania ważnej własności, jaką jest asymptotyczna zbieżność funkcji.

11. Znajdywanie asymptot wykresów jest wstępem do badania przebiegu zmienności funkcji za pomocą pojęć analizy matematycznej. Badając monotoniczność funkcji z rozczarowaniem stwierdziliśmy, że definicja nie wystarcza by wykazać ją dla wielu funkcji o nawet prostej postaci. A chcielibyśmy znaleźć ekstrema funkcji, punkty przegięcia, wypukłości wykresu funkcji. Przed nami zatem, daleka droga by skonstruować narzędzia, które pozwolą zbadać interesujące własności funkcji. Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji