在國一時，我們曾經學過乘法分配律，現在，我們再透過長方形的面積公式來說明，會讓這公式更容易理解。

2. 在國一時，我們曾經學過乘法分配律，現在，我們再透過長方形的面積公式來說明，會讓這公式更容易理解。在國一時，我們曾經學過乘法分配律，現在，我們再透過長方形的面積公式來說明，會讓這公式更容易理解。 1. 下圖1的長方形中，長是 a、寬是(b＋c)，面積表示成 a．(b＋c)，省略乘號記為 a(b＋c)。經由面積計算，我們可以知道： a(b＋c)＝ab＋ac，這就是乘法對加法的分配律。

3. 2. 圖2的長方形中，長是 a、寬是(b－c)，面積表示成 a．(b－c)，省略乘號記為 a(b－c)。經由面積計算，我們可以知道： a( b－c)＝ab－ac，這就是乘法對減法的分配律。 事實上，不管 a、b、c 所代表的數是正數或負數，下列式子恆成立。 a(b＋c)＝ab＋ac ； a(b－c)＝ab－ac

4. 下圖中，一個大長方形可以分割成邊長為 a 的正方形與長、寬分別為 a、b的長方形，原來大長方形的面積如何表示呢？在空格中，填入適當的文字符號。 a ab 面積＝　　　×(　　　＋　　　)＝　　　　＋ a b a2

5. 透過面積拼湊，認識(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd透過面積拼湊，認識(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 取出附件一，將這四塊小長方形合併成一個新的大長方形，並完成下面的表格。(以 a、b、c、d 表示) a＋b c＋d b d ac ad bc bd ac bc bd ad

6. 由於大長方形面積＝四塊小長方形面積之和，所以我們可以知道：由於大長方形面積＝四塊小長方形面積之和，所以我們可以知道： (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 同樣的，不管 a、b、c、d 所代表的數是正數或負數，(a＋b)(c＋d)與ac＋ad＋bc＋bd 的值都是相等的。 另外，我們也可以仿照數字的分配律，來看乘法對加法的分配律： (a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 即(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 接下來，來看看下面的例題。

7. ⑴ 51×501 ＝51×(500＋1) ＝51×500＋51×1 ＝25500＋51 ＝25551 例1 利用分配律求值 計算下列各式的值。 ⑴ 51×501 ⑵ 解

8. 仿照上面的算法，計算下列各式的值。 ⑴ 61×99 ⑵ ＝61×(100－1) ＝61×100－61×1 ＝6100－61 ＝6039

9. 右圖是一個邊長為 101 的正方形，它的面積是 1012，由右圖可知，邊長為 101 的正方形是由邊長為 100 的正方形，加上兩個長、寬分別為 100 和 1 的長方形和一個邊長為 1 的正方形所拼成。 從面積來看可以得到： 1012＝(100＋1)2＝1002＋2×100×1＋12

10. 同樣的方法，也可以應用在其他數字平方的計算上。例如：邊長為(a＋b)的大正方形，是由一個邊長為 a 的正方形，加上兩個長、寬分別為 a、b 的長方形和一個邊長為 b 的正方形組合而成的，如下圖。 從面積來看可以得到： (a＋b)2＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2

11. 也可以將(a＋b)2 看成(a＋b)×(a＋b)，直接用乘法分配律的規則來計算： (a＋b)(a＋b)＝a×(a＋b)＋b×(a＋b) ＝a2＋ab＋ba＋b2 ＝a2＋2ab＋b2 其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到： 和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

12. 例2 和的平方公式 如果將和的平方公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成什麼樣的式子呢？ 解 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑ x y x x y y 得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2。

13. 例3 和的平方公式 利用和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，計算下列各式的值。 ⑴ 5042⑵ 20.32 解 ⑴ 504＝500＋4，將 a 看成 500， b 看成 4，可得 5042＝(500＋4)2 ＝5002＋2×500×4＋42 ＝250000＋4000＋16 ＝254016 ⑵ 20.3＝20＋0.3，將 a 看成 20， b 看成 0.3，可得 20.32 ＝(20＋0.3)2 ＝202＋2×20×0.3＋0.32 ＝400＋12＋0.09 ＝412.09

14. 例 3 中，我們計算 5042時，是將 504 拆成 500 與 4 的和。如果拆成其他兩數的和，再利用和的平方公式來算，算出來的值是不是一樣呢？你認為哪一種拆法比較好？說說你的想法。 如果拆成其他兩數的和，再用和的平方公式來算，算出來的結果是一樣的。 我們將 504 拆解成 500 與 4 的和，是因為 5002比較容易計算。

15. 利用和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，計算下列各式的值。利用和的平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，計算下列各式的值。 ⑴ 6012 ⑵ 5.72 ＝(600＋1)2 ＝6002＋2×600×1＋12 ＝361201 ＝(5＋0.7)2 ＝52＋2×5×0.7＋0.72 ＝32.49

16. 例4 和的平方公式的應用 計算下列各式的值。 ⑴ 612＋2×61×39＋392⑵ 解 ⑴ 612＋2×61×39＋392 ＝(61＋39)2 ＝1002 ＝10000

17. 計算下列各式的值。 ⑴ 442＋2×44×6＋62 ⑵ 8.92＋2×8.9×1.1＋1.12 ＝(44＋6)2 ＝502 ＝2500 ＝(8.9＋1.1)2 ＝102 ＝100

18. 在和的平方公式中，我們知道邊長為(a＋b)的正在和的平方公式中，我們知道邊長為(a＋b)的正 方形是由一個邊長為 a 的大正方形、一個邊長為 b 的小正方形，以及兩個長、寬分別為 a、b 的長方形組合而成。接下來，我們將利用同樣的這四個圖形，來探討邊長為(a－b)的正方形面積應該如何表示。 如右圖，邊長為 a 的大正方形面積比邊長為(a－b) 的正方形面積多出了一塊 L 型區域。這個區域正好是兩個長、寬分別為 a、b 的長方形所疊合成的，重疊部分正好是邊長為 b 的小正方形。

19. 也就是說： 即　 L 型區域面積＝兩個長、寬為 a、b 的 － 重疊部分的小長方形面積正方形面積 ＝ 2×a×b－ b2 ＝2ab－b2 所以　邊長為(a－b)的正方形面積＝邊長為 a 的大正方形面積 － L 型區域面積 　即 　(a－b)2＝ a2－ (2ab－b2) ＝a2－2ab＋b2

20. 也可以將(a－b)2 看成(a－b)×(a－b)，直接用乘法分配律的規則來計算： (a－b)×(a－b)＝a×(a－b)－b×(a－b) ＝a2－ab－ba＋b2 ＝a2－2ab＋b2 其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到： 差的平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2

21. 例5 差的平方公式 如果將差的平方公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成什麼樣的式子呢？ 解 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 ↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑ x y x x y y 得(x－y)2＝x2－2xy＋y2。

22. ⑵ 由於 ，將 a 看成 10， b 看成 ，可得 例6 差的平方公式 利用差的平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，計算下列各式的值。 ⑴ 1992⑵ 解 ⑴ 由於 199＝200－1，將 a 看成 200， b 看成 1，可得 1992＝(200－1)2 ＝2002－2×200×1＋12 ＝40000－400＋1 ＝39601

23. 例 6 中，我們計算 1992時，是將 199 拆成 200 與 1 的差。如果拆成其他兩數的差，再利用差的平方公式來算，算出來的值是不是一樣呢？你認為哪一種拆法比較好？說說你的想法。 如果拆成其他兩數的差，再利用差的平方公式來算，算出來的值是一樣的。我們將 199 拆解成 200 與 1 的差，是因為 2002比較容易計算。

24. 利用差的平方公式，計算下列各式的值。 ⑴ 4982 ⑵ ＝(500－2)2 ＝5002－2×500×2＋22 ＝248004

25. ⑵ 由於 ，將 a 看成 10， b 看成 ，可得 例6 差的平方公式 利用差的平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，計算下列各式的值。 ⑴ 1992⑵ 解 ⑴ 由於 199＝200－1，將 a 看成 200， b 看成 1，可得 1992＝(200－1)2 ＝2002－2×200×1＋12 ＝40000－400＋1 ＝39601

26. 利用差的平方公式，計算下列各式的值。 ⑴ 4982 ⑵ ＝(500－2)2 ＝5002－2×500×2＋22 ＝248004

27. 例7 差的平方公式的應用 計算下列各式的值。 ⑴ 2112－2×211×11＋112⑵ 31.42－2×31.4×1.4＋1.42 解 ⑴ 2112－2×211×11＋112 ＝(211－11)2 ＝2002 ＝40000 ⑵ 31.42－2×31.4×1.4＋1.42 ＝(31.4－1.4)2 ＝302 ＝900

28. 計算下列各式的值。 ⑴ 932－2×93×3＋32 ⑵ ＝(93－3)2 ＝902 ＝8100

29. 玉華買了一塊正方形的布，在布的右下方剪了一個小正方形做成杯墊，其餘的打算拿來做成窗簾，所以將布重新併成一個長方形，如下圖。原來的面積與重新排成的面積有什麼關係呢？玉華買了一塊正方形的布，在布的右下方剪了一個小正方形做成杯墊，其餘的打算拿來做成窗簾，所以將布重新併成一個長方形，如下圖。原來的面積與重新排成的面積有什麼關係呢？

30. 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 1. 在一個邊長為 a 的大正方形紙片中，將紫色區域的小正方形剪下，剩餘的面積該如何用 a 和 b 來表示呢？ a2－b2 2. 將剩餘的部分重新分割成甲和乙兩部分，如下圖，並重新組合成一個長方形，組合後的長方形面積如何用 a 和 b 來表示？ (a＋b)(a－b)

31. 3. 由前兩題的結果，比較(a＋b)(a－b)與 a2－b2 的大小關係。 (a＋b)(a－b)＝a2－b2

32. 由於分割重組後，面積沒有改變，所以(a＋b)(a－b)與 a2－b2代表的數是一樣的，即(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 我們也可以將(a＋b)(a－b)用乘法分配律的規則計算： (a＋b)(a－b)＝a(a－b)＋b(a－b) ＝a2－ab＋ba－b2 ＝a2－b2 其實不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數，我們都可以得到： 平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2

33. 例8 平方差公式 如果將平方差公式中的 a 與 b 分別用 x 與 y 代入，可寫成什麼樣的式子呢？ 解 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ x y x y x y 得(x＋y)(x－y)＝x2－y2。

34. 例9 平方差公式 利用平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2，計算203×197。 解 由於 203×197＝(200＋3)(200－3)， 將 a 看成 200，b 看成 3， 可得 203×197 ＝(200＋3)(200－3) ＝2002－32 ＝40000－9 ＝39991

35. 利用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，計算下列各式的值。利用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，計算下列各式的值。 ⑴ 301×299 ⑵ ⑶ 10.5×9.5 ＝(10＋0.5)(10－0.5) ＝102－0.52 ＝99.75 ＝(300＋1)(300－1) ＝3002－12 ＝89999

36. 例10 平方差公式的應用 計算下列各式的值。 ⑴ 1012－1002⑵ 2192－1192 解 ⑴ 將 a 看成 101，b 看成 100，可得 1012－1002＝(101＋100)(101－100) ＝201×1 ＝201 ⑵ 將 a 看成 219，b 看成 119，可得 2192－1192＝(219＋119)(219－119) ＝338×100 ＝33800

37. 計算下列各式的值。 ⑴ 642－362 ⑵ 9992－12 ＝(64＋36)(64－36) ＝100×28 ＝2800 ＝(999＋1)(999－1) ＝1000×998 ＝998000

38. 例11 利用差的平方公式解應用問題 王伯伯有一塊邊長 20 公尺的正方形土地， 他規劃在土地內部開闢一條寬 1.5 公尺的 L 型健康步道，如右圖，那麼剩餘土地的 面積是多少平方公尺？ 解 剩餘土地的面積 ＝(20－1.5)2 ＝202－2×20×1.5＋1.52 ＝400－60＋2.25 ＝342.25 所以剩餘土地的面積為 342.25 平方公尺。

39. 所以加了拼布之後的桌墊面積為 平方公分。 瑩芳在一個邊長 16 公分的正方形桌墊 外加了一條寬 134公分的 L 型拼布， 如右圖，加了拼布之後的桌墊面積是 多少平方公分？ 加了拼布之後的桌墊面積

40. 例12 利用平方差公式解應用問題 佳菁做教室佈置，在壁報紙上畫了兩個半徑 分別是 45 公分和 25 公分的圓，如右圖， 並將兩個圓之間的區域貼上亮片，那麼 貼亮片的區域面積是多少平方公分？ 解 貼亮片的區域面積 ＝大圓面積－小圓面積 ＝452π－252π ＝(452－252)π ＝(45＋25)(45－25)π ＝70×20×π ＝1400π 所以貼亮片的區域面積為 1400π 平方公分。

41. 如右圖，有兩個邊長分別為 公分和 公分的正方形，求斜線部分的面積？ 斜線部分的面積 所以斜線部分的面積為 1020 平方公分。

42. 1 乘法對加法的分配律 不論 a、b、c、d 所代表的數是正數、0 或負數， (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd。 例 計算 ，可以看成

43. 2 和的平方公式 不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。 例 計算 2052， 可以看成(200＋5)2＝2002＋2×200×5＋52。

44. 3 差的平方公式 不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數， (a－b)2＝a2－2ab＋b2。 例 計算 1992， 可以看成(200－1)2＝2002－2×200×1＋12。

45. 4 平方差公式 不論 a、b 所代表的數是正數、0 或負數， (a＋b)(a－b)＝a2－b2。 例 計算 205×195， 可以看成(200＋5)(200－5)＝2002－52。

46. 1 把相等的式子連起來。 ●2002＋42 ⑴ (200＋4)2● ●2002＋2×200×4＋42 ●3002－62 ⑵ (300－6)2● ●3002－2×300×6＋62 ●3002－2×300×6－62 ●2×(319－119) ⑶ 3192－1192 ● ●(319－119) 2 ●(319＋119) (319－119)

47. 計算下列各式的值。 ⑴ 100.22 ⑵ 9.92 ⑶ 99992－99982 ⑷ 2 ＝(100＋0.2)2 ＝1002＋2×100×0.2＋0.22 ＝10040.04 ＝(10－0.1)2 ＝102－2×10×0.1＋0.12 ＝98.01 ＝(9999＋9998)(9999－9998) ＝19997×1 ＝19997

48. 2 ⑸ ⑹77.72－2×77.7×7.7＋7.72 ＝(77.7－7.7)2 ＝702 ＝4900

49. 3 如果 10042＝10002＋A，則 A 的值為何？ 10042＝10002＋A A ＝10042－10002 ＝(1004＋1000)(1004－1000) ＝2004×4 ＝8016 另解： 10042＝(1000＋4)2 ＝10002＋2×1000×4＋42 ＝10002＋8016 所以 A＝8016

50. 4 ⑴ 計算(a＋1)(a－1)－a2的值。 ⑵ 計算 2007×2005－20062的值。 (a＋1)(a－1)－a2＝a2－1－a2＝－1 2007×2005－20062＝(2006＋1)(2006－1)－20062＝－1