Ⅱ. 수와 식

1. 수학10-가 Ⅱ. 수와 식 백암고등학교 양상옥 김주택 김재정

2. 학습목표  다항식의 사칙연산과 인수분해를 할 수 있다. 또, 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있다. 유리식과 무리식의 계산을 할 수 있다.

3. 1. 실수와 복소수

4. m 정수 m, n (n≠0) 에 대하여 의 꼴로 나타낼 수 있는 수 n 1. 실수와 복소수 1. 실수와 복소수 실수의 분류 1] 실수의 연산 유리수 ▶ 실수의 분류 실수의 연산에 대한 성질 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 4] 복소수의 연산 무리수 순환하지 않는 무한소수로 유리수가 아닌 수 2. 다항식 3. 유리식과 무리식 실 수 유리수와 무리수를 통틀어서 실수라고 한다.

5. 정수 유리수 정수가 아닌 유리수 무리수 1. 실수와 복소수 1. 실수와 복소수 실수의 구조 1] 실수의 연산 ▶ 실수의 분류 양의 정수 (자연수) 1, 2, 3, … 0 음의 정수 -1, -2, -3, … 실수의 연산에 대한 성질 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 4] 복소수의 연산 (유한소수) 2. 다항식 실수 3. 유리식과 무리식 (순환소수) (순환하지 않는 무한소수)

6. 1. 실수와 복소수 실수의 구조 1. 실수와 복소수 1] 실수의 연산 ▶ 실수의 분류 실수의 연산에 대한 성질 실 수 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 유리수 4] 복소수의 연산 정 수 무 리 수 2. 다항식 정수가 아닌 유리수 음의 정수 0 자연수 (양의 정수) 3. 유리식과 무리식

7. 연 산 집 합 자 연 수 정 수 유 리 수 실 수 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈 1. 실수와 복소수 실수의 연산에 대한 성질 1-(1) 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 실수의 분류 ▶ 실수의 연산에 대한 성질 집합S의 임의의 원소a , b에 대하여 2] 실수의 대소관계 a , b  S일때 3] 복소수 4] 복소수의 연산 집합 S는 연산  에 대하여닫혀 있다 고 한다. 2.다항식 3.유리식과 무리식

8. ab = ba a+b = b+a a(bc) = (ab)c (a+b)+c = a+(b+c) (a+b)c= ac+bc a(b+c) =ab+ac 1. 실수와 복소수 실수의 연산에 대한 성질 1-(2) 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 실수 전체의 집합 R의 임의의 원소 a, b, c에 대하여 실수의 분류 ▶ 실수의 연산에 대한 성질 교환법칙 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 4] 복소수의 연산 2.다항식 결합법칙 3.유리식과 무리식 분배법칙

9. 1. 실수와 복소수 실수의 연산에 대한 성질 2 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 항등원 실수의 분류 ▶ 실수의 연산에 대한 성질 (1) 덧셈에 대한 항등원 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 a + 0 = 0 + a = a 0  R 4] 복소수의 연산 2.다항식 (2) 곱셈에 대한 항등원 3.유리식과 무리식 a ·1 = 1 · a = a 1  R

10. 1 1 1 a · = · a = 1  R _ _ _ a a a 1. 실수와 복소수 실수의 연산에 대한 성질 3 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 역원 실수의 분류 ▶ 실수의 연산에 대한 성질 (1) a 의 덧셈에 대한 역원 2] 실수의 대소관계 3] 복소수 –a R a + (–a) = (–a) + a = 0 4] 복소수의 연산 2.다항식 (2) a의 곱셈에 대한 역원 3.유리식과 무리식

11. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1. 실수와 복소수 실수의 대소 관계 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 음수 양수 원점 4] 복소수의 연산 2. 다항식 3. 유리식과 무리식 원점 : 0 양수 : 원점의 오른쪽 음수 : 원점의 왼쪽

12. 1. 실수와 복소수 실수의 기본 성질 1. 실수와 복소수 1] 실수의 연산 [1] 임의의 실수 a 에 대하여, 다음 중 단 하나만 성립한다. a > 0, a = 0, a < 0 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 4] 복소수의 연산 2. 다항식 [2] a > 0  –a < 0 3.유리식과 무리식 [3] a > 0, b>0  a+b > 0 , ab > 0

13. 1. 실수와 복소수 실수의 대소 관계 1 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 [1] a > b, b > c 이면a > c 3] 복소수 4] 복소수의 연산 [2] a > b 이면a+c > b+c 2. 다항식 [3] a > b 이고c > 0 이면ac > bc 3. 유리식과 무리식 [4]a > b 이고c < 0 이면ac < bc

14. 1. 실수와 복소수 실수의 대소 관계 2 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 [1] a  a 3] 복소수 4] 복소수의 연산 [2] a  b이고 b  a이면 a = b [3] a  b이고 b  c이면a  c 2. 다항식 3. 유리식과 무리식

15. 1. 실수와 복소수 복소수 1. 실수와 복소수 1] 실수의 연산 제곱하면 –1이 되는 새로운 수를 생각하여, 그 하나를 i로 나타내기로 한다. 즉, 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 ▶ 복소수 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 이다. 이 때, i 를 허수단위라고 한다. 2.다항식 한편, 제곱해서 -1이 된다는 뜻으로 3.유리식과 무리식 과 같이 나타내기도 한다.

16. 그러면 의 근은 = - = = - - = - x 1 i x 1 i 또는 a+bi 꼴로 나타내어지는 수 임의의 실수 a, b에 대하여 1. 실수와 복소수 복소수 (계속) 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 ▶ 복소수 복소수가 서로 같을 조건 임을 알 수 있다. 4] 복소수의 연산 2.다항식 허수부분 3.유리식과 무리식 a+ b i 실수부분

17. 실수 복소수 순허수 허수 순허수가 아닌 허수 1. 실수와 복소수 복소수 (계속) 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 a + 0i 3] 복소수 ▶ 복소수 bi (b0) 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 a + bi (a0, b 0) 2.다항식 3. 유리식과 무리식 복소수a + bi 허수(b0) 순허수 (a =0) 실수 (b=0)

18. 1. 실수와 복소수 i 의 성질 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 ▶ 복소수 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 2. 다항식 3.유리식과 무리식

19. n i 의 성질 1. 실수와 복소수 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 ▶ 복소수 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 2.다항식 3. 유리식과 무리식

20. n i 의 순환도 1. 실수와 복소수 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 ▶ 복소수 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 2.다항식 3. 유리식과 무리식

21. a+bi=c+dia = c,b = d a, b, c, d가 실수일 때 1. 실수와 복소수 복소수가 서로 같을 조건 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 두 복소수가 a + bi와 c + di의 실수부분과 허수부분이 각각 같을 때, 두 복소수는 서로 같다고 한다. 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 복소수 ▶ 복소수가 서로 같을 조건 4] 복소수의 연산 2.다항식 3. 유리식과 무리식

22. 1. 실수와 복소수 복소수의 사칙계산 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 복소수의 덧셈 / 뺄셈 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 더하거나 뺀다. 4] 복소수의 연산 ▶ 복소수의 사칙계산 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 2.다항식 3. 유리식과 무리식

23. 1. 실수와 복소수 복소수의 사칙계산 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 복소수의 곱셈 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 4] 복소수의 연산 ▶ 복소수의 사칙계산 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 2. 다항식 3.유리식과 무리식

24. 의 켤레복소수 1. 실수와 복소수 복소수의 사칙계산 1. 실수와 복소수 1] 실수의 연산 켤레복소수 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 복소수에서 허수부분의 부호를 바꾼 것 4] 복소수의 연산 ▶ 복소수의 사칙계산 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 기 호 2. 다항식 3.유리식과 무리식

25. 1. 실수와 복소수 복소수의 사칙계산 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 복소수의 나눗셈 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 각각 곱하여 분모를 실수로 만든다. 4] 복소수의 연산 ▶ 복소수의 사칙계산 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 2.다항식 3.유리식과 무리식

26. 1. 실수와 복소수 복소수의 연산 법칙 1. 실수와 복소수 1] 실수의 연산 복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소  ,  ,  에 대하여 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 [1] 닫혀있다  + C ,   C 4] 복소수의 연산 복소수의 사칙계산 [2] 교환법칙  + =  +  ,   =   ▶ 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 [3] 결합법칙 ( + )+ =  +( + ), (  )  =  (  ) [4] 분배법칙  ( + )=   +   , ( + )  =   +   2. 다항식 3. 유리식과 무리식

27. (단a+bi 0) 1. 실수와 복소수 복소수의 항등원과 역원 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 3] 복소수 임의의 복소수 a+bi 에 대하여 4] 복소수의 연산 복소수의 사칙계산 [1] 항등원덧셈에 대한 항등원 :0 곱셈에 대한 항등원 : 1 ▶ 복소수의 연산 법칙 음수의 제곱근 [2] 역 원a+bi 의 덧셈에 대한 역원 :–(a+bi ) a+bi 의 곱셈에 대한 역원 : 2.다항식 3.유리식과 무리식

28. [1] [2] –a 의 제곱근은 1. 실수와 복소수 음수의 제곱근 1.실수와 복소수 1] 실수의 연산 2] 실수의 대소 관계 a > 0 일 때 3] 복소수 4] 복소수의 연산 복소수의 사칙계산 복소수의 연산 법칙 ▶ 음수의 제곱근 2.다항식 3.유리식과 무리식

29. 2. 다항식

30. 2. 다항식 다항식의 차수 1.실수와 복소수 2. 다항식 단항식 : 수 또는 문자의 곱으로 된 식 1] 다항식의 연산 다항식 : 몇 개의 단항식의 합으로 나타내어진 식 ▶ 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 항 : 다항식을 이루고 있는 각 단항식 다항식의 덧셈과 뺄셈 상수항 : 주어진 문자를 포함하지 않은 항 다항식의 곱셈 다항식의 나눗셈 계 수 : 문자를 제외한 나머지 부분 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 다항식의 차수 3. 유리식과 무리식 다항식의 각 항의 차수 중에서 가장 큰 것을 그 다항식의 차수라고 한다.

31. 예 예 2. 다항식 다항식의 정리 방법 1.실수와 복소수 2. 다항식 동류항 1] 다항식의 연산 다항식의 항 중에서 어떤 특정한 문자에 대한 차수가 같은 항 다항식의 차수 ▶ 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 차례로 쓰는 방법 내림차순 다항식의 곱셈 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 한 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 차례로 쓰는 방법 오름차순 3. 유리식과 무리식

32. 2. 다항식 다항식의 덧셈의 성질 1.실수와 복소수 2. 다항식 동류항끼리 더하거나 뺀다. 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식 A, B, C에 대하여 [1]닫혀있다A+B도 다항식이다. [2]교환법칙A+B = B+A [3]결합법칙(A+B)+C = A+(B+C) 다항식의 정리 방법 ▶ 다항식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 곱셈 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 < 다항식의 덧셈 뺄셈 방법 > 3. 유리식과 무리식 (1) 다항식을 한 문자에 관하여 정리한다. (2) 동류항끼리 계산하여 간단히 한다.

33. 2. 다항식 다항식의 덧셈의 성질 1.실수와 복소수 2. 다항식 단항식의 곱셈은 다음과 같은 지수법칙을 이용한다. 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 ▶ 다항식의 곱셈 다항식의 곱셈의 성질 다항식의 나눗셈 다항식 A, B, C에 대하여 [1] 닫혀있다AB도 다항식이다. [2] 교환법칙 AB = BA [3] 결합법칙 (AB)C = A(BC) [4] 분배법칙 A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC + BC 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

34. [1] [2] [3] [4] 2. 다항식 곱셈공식 1 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 ▶ 다항식의 곱셈 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

35. [5] [6] 2. 다항식 곱셈공식 2 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 ▶ 다항식의 곱셈 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

36. 2. 다항식 다항식의 나눗셈 1.실수와 복소수 2. 다항식 다항식을 단항식으로 나눌 때에는 다음 지수법칙을 이용한다. 즉, m, n이 자연수이고 a0 일 때 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 다항식의 곱셈 ▶ 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

37. 2. 다항식 다항식의 나눗셈 (계속) 1.실수와 복소수 2. 다항식 다항식을 다항식으로 나눌 때에는, 먼저 주어진 각 다항식을 내림차순으로 정리한 다음 자연수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산한다. 1] 다항식의 연산 다항식의 차수 다항식의 정리 방법 다항식의 덧셈과 뺄셈 몫 다항식의 곱셈 ▶ 다항식의 나눗셈 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식 나머지

38. 2. 다항식 항등식의 성질 1.실수와 복소수 2. 다항식 항등식 1] 다항식의 연산 주어진 식의 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 참이 되는 등식 2] 나머지 정리 ▶ 항등식의 성질 미정계수법 x에 대한 항등식 나머지정리 조립제법 3] 인수분해 4] 약수와 배수 항등식 3. 유리식과 무리식 등식 방정식

39. 2. 다항식 미정계수법 1.실수와 복소수 2. 다항식 항등식의 성질을 이용하여 등식의 미지의 계수를 정하는 방법 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 항등식의 성질 ▶ 미정계수법 나머지정리 조립제법 같 다 3] 인수분해 4] 약수와 배수 ∴ , 3. 유리식과 무리식

40. 2. 다항식 미정계수법 (계속) 1.실수와 복소수 x에 대한 다항식f(x) 를 x에 대한 일차식 x–로 나눈 몫을 q(x), 나머지를 R (R는 상수)라고 하면 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 항등식의 성질 ▶ 미정계수법 나머지정리 조립제법 이 식은 항등식이므로,x= 를 대입하면 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

41. 2. 다항식 나머지정리 1.실수와 복소수 2. 다항식 나머지정리 1] 다항식의 연산 x에 대한 다항식f(x)를 일차식 x–로 나눌 때의나머지는 f() 2] 나머지 정리 항등식의 성질 → 다항식 f(x)를 x–로 나눌 때의 나머지 f()가 0이면, f(x)는 x–로 나누어 떨어진다. 미정계수법 ▶ 나머지정리 조립제법 3] 인수분해 인수정리 4] 약수와 배수 x에 대한 다항식f(x)가 일차식x–로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은,f()=0 3. 유리식과 무리식

42. 로 나누면 을 2. 다항식 조립제법 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 항등식의 성질 미정계수법 나머지정리 ▶ 조립제법 3] 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

43. x–2=0 x=2 몫 : 2. 다항식 조립제법 사용방법 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 3 4 5 6 항등식의 성질 미정계수법 + + + 나머지정리 6 2 20 50 ▶ 조립제법 2 2 2 3] 인수분해 3 10 25 56 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식 나머지 : 56

44. 예 인수 : 2. 다항식 공식을 이용한 인수분해 1.실수와 복소수 2. 다항식 인수분해 1] 다항식의 연산 한 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것 2] 나머지 정리 3] 인수분해 인수 ▶ 공식을 이용한 인수분해 복잡한 식의 인수분해 곱을 이루는 각 식 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식 인수분해 전 개

45. [1] [2] [3] [4] 2. 다항식 인수분해공식 (1) 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 3] 인수분해 ▶ 공식을 이용한 인수분해 복잡한 식의 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

46. [5] [6] 2. 다항식 인수분해공식 (2) 1.실수와 복소수 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 3] 인수분해 ▶ 공식을 이용한 인수분해 복잡한 식의 인수분해 4] 약수와 배수 3. 유리식과 무리식

47. 2. 다항식 복잡한 식의 인수분해 1.실수와 복소수 2. 다항식 (1) 치환 이용 1] 다항식의 연산 다항식 중 공통부분은 치환하여 전개한다. 2] 나머지 정리 3] 인수분해 공식을 이용한 인수분해 (2) 한 문자로 내림차순 정리 ▶ 복잡한 식의 인수분해 4] 약수와 배수 복잡한 식(2개 이상의 문자, 5항 이상의 다항식)일 때 3. 유리식과 무리식  차수가 낮은 한 문자에 관하여 내림차순으로 정리  공통부분이 있으면 치환하여 인수분해 한다. 상수항이 길면 상수항만 따로 인수분해한 다음 전체를 인수분해 한다.

48. 로 놓고 인수분해 한다. (방법1이 안될 때) 완전 제곱형으로 고쳐 꼴로 변형한 다음 인수분해 한다. 2. 다항식 복잡한 식의 인수분해 1.실수와 복소수 2. 다항식 (3) 복이차식 꼴 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 방법1 3] 인수분해 공식을 이용한 인수분해 ▶ 복잡한 식의 인수분해 4] 약수와 배수 방법2 3. 유리식과 무리식 ※ 인수정리와 조립제법을 이용하면 인수분해하기 쉽다.

49. 2. 다항식 다항식의 약수와 배수 1.실수와 복소수 정수의 경우와 마찬가지로, 다항식 A가 다항식 B와 C의 곱으로 나타내어질 때, 즉 A=BC일 때, B를 A의 약수, A를 B의 배수라 한다. 2. 다항식 1] 다항식의 연산 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 ▶ 다항식의 약수와 배수 최대공약수와 최소공배수 B, C의 배수 3. 유리식과 무리식 A = BC A의 약수

50. 2. 다항식 다항식의 약수와 배수 (계속) 1.실수와 복소수 2. 다항식 공약수 1] 다항식의 연산 두 개 이상의 다항식의 공통인 약수 2] 나머지 정리 3] 인수분해 4] 약수와 배수 공배수 ▶ 다항식의 약수와 배수 두 개 이상의 다항식의 공통인 배수 최대공약수와 최소공배수 최대공약수 3. 유리식과 무리식 공약수 중에서 차수가 가장 높은 것 최소공배수 공배수 중에서 차수가 가장 낮은 것 서로 소 두 다항식의 공약수가 상수인 두 다항식