Résolution d’un programme linéaire

1. Résolution d’un programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices d’application

2. PROGRAMME LINÉAIRE • FONCTION OBJECTIF • Maximiser ou minimiser z = c1x1 +… + cnxn • Contraintes • a11x1 + … + a1nxn (, =, ) b1 • a21x1 + … + a2nxn (, =, ) b2 • am1x1 +… + amnxn (, =, ) bm • Contraintes de non-négativité • xj  0 ; j = 1, 2, 3, … n • avec • xj variables de décision (inconnues) • aij, bi, cj paramètres du programme linéaire

3. Méthode Graphique • Valable si 2 variables de décision seulement. • Le nombre de contraintes est quelconque. • Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.

4. Contrainte =inégalité à 2 variables • a1x1 + a2x2 <= b ; b > 0, a1 >0, a2 > 0 b/a2 x2 > b Demi-espace admissible <= b b/a1 x1

5. Maximisation sous contraintes x2 Fonction objectif Zone réalisable x1

6. l’optimum est un des points extrêmes x2 x1

7. Exemple 1 • Maximisation du profit • Contrainte de rareté d’une ressource • Contraintes de demande

8. Solution graphique de l’exemple 1 xC xB = 6000 xC = 1400 6000 192’000 4500 Solution optimale 3000 P 1500 SR 0 xB 9000 6000 7500 0 3000 4500 1500

9. Exemple 2 • MAXIMISER z = 3 x1 + 5 x2 • Contraintes : • x1 4 • 2 x2 12 • 3 x1 + 2 x2 18 • x1  0 ; x2  0

10. ZONE DE SOLUTION RÉALISABLE Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décision SR x2 8 6 4 2 x1 0 2 4 6 8 10

11. FONCTION OBJECTIVE Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremum x2 Solution optimale x1 = 2 x2 = 6 Max Z = 36 8 (2,6) 6 4 2 x1 0 2 4 6 8 10

12. Exemple 3 • Maximiser Z = x1 + 2x2 2x1 + x2 4 x1 + x2 8 -x1 + x24 x1 5 x1 0, x2 0

13. Exemple 3 (suite) x2 X1 = 2 X2 = 6 Z = 14 -x1 + x2 = 4 8 6 x1 = 5 4 SR x1 + x2 = 8 2 2x1 + x2 = 4 x1 0 2 4 6 8 10

14. Exemple de MINIMISATION • Minimiser Z = x1 – x2 Sachant que : ½ x1 + x2 8 -x1 + 8x2 40 x1 8 x2 8 x1 0, x2 0

15. PROBLÈME DE MINIMISATION X1 = 8 X2 = 6 Min Z = 2 x2 x2 = 8 8 6 -x1 + 8x2 = 40 SR 4 x1 = 8 2 ½x1 + x2 = 8 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x1

16. Cas possibles La zone SR peut être : • Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) • borné : le problème possède toujours au moins une solution optimale • non borné : selon la fonction objectif • Si MIN : il y a une solution finie • Si MAX : Solution non bornée

17. Le nombre de solutions optimales ? • Une seule. • Une infinité : si deux sommêts réalisent l’optimum (tout le segment reliant les deux sommêts optimaux)

18. Méthode du simplexe • Méthode algébrique • Méthode itérative

19. Etapes • Forme standard du PL • Tableau de départ du simplexe • Application de l’algorithme du simplexe

20. Forme standard d’un PL • Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : • x1  300 • x2  400 • x1 + x2  500 • 2x1 + x2  700 • x1  0 • x2  0

21. Inégalités  égalités • x1  300 x1 + e1 = 300 • x2  400 x2 + e2 = 400 • x1 + x2  500 x1 + x2 + e3 = 500 • 2x1 + x2  700  2x1 + x2 + e4 = 700 • ei = Variable d’écart.

22. Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : • x1 +e1 =300 • x2 +e2 = 400 • x1 + x2 +e3 = 500 • 2x1 + x2 +e4 = 700 • x1  0 ; x2  0 • ei  0 

24. Tableau de départ du simplexe

25. Changement de variable

26. Deuxième tableau

27. Changement de variable

28. Troisième tableau

29. Changement de variable

30. Quatrième tableau

31. Solution optimale En base : x1 = 200 e2 = 100  e1 = 100  x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900