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第 6 回　分散分析（第 7 章） Analysis of Variance

第 6 回　分散分析（第 7 章） Analysis of Variance. 回帰モデルにおける分散分析 回帰式の全体的な適合度（分散分析） 平方和の分解 Decomposition of Sum of Squares 全体の散らばり＝説明できた部分＋残差 対応のないデータと，対応のあるデータ 個人（個体）による違いを考える. 帰無仮説と対立仮説 Null Hypothesis and Alternate Hypothesis. A person has headache （pain in head)

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第 6 回　分散分析（第 7 章） Analysis of Variance

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  1. 第6回　分散分析（第7章）Analysis of Variance 回帰モデルにおける分散分析 回帰式の全体的な適合度（分散分析） 平方和の分解 Decomposition of Sum of Squares 全体の散らばり＝説明できた部分＋残差 対応のないデータと，対応のあるデータ 個人（個体）による違いを考える

  2. 帰無仮説と対立仮説Null Hypothesis and Alternate Hypothesis • A person has headache （pain in head) Before it, he drank a glass of bad wine. • Alternate Hypothesis: what is susceptive; The wine was the cause of the pain. (guilty) • Null Hypothesis: Opposite to that hypothesis; The wine was not the cause of the pain. (innocent)

  3. 棄却と採択Rejection of the Null Hypothesis • When we permit the Null Hypothesis, the probability of the realized event is calculated. • Calculate the probability of headache when he did not drink such a wine. • If the probability is too small (smaller than your critical probability), you can reject the null-hypothesis and approve the alternate hypothesis. • The wine was the cause of the pain. (guilty) • If the probability is not too small, you cannot say anything. (not actively approve the null hypothesis). • The wine was not the cause of the pain. (innocent)

  4. 連続変数と棄却域Critical Value forContinuous Variable • We take a continuous variable such as headache duration, we can set the critical region, more easily, based on the usual probability density. Probability Density under the Null Hypothesis 0.05 60min No-ache Ache Duration of headache If he had headache with certain large probability, when drinking no wine, we cannot reject the Null Hypothesis. 4

  5. F分布　（F distribution) 自由度(f1,f2)のF分布 • 確率密度関数 F分布もχ2分布と関係がある。 X, Y が独立でそれぞれ自由度f1, f2のχ2分布に従うとき、 は自由度(f1, f2) のF 分布に従う。 したがって2 つの標本群から計算した分散の比をとると、その統計量はF 分布に従う．

  6. F分布表　（F distribution)

  7. 目的変数をどの程度[記述]出来たか？ なる説明式がある場合 Xiによる説明式がない場合 回帰（Xiで説明 できた　y　から のずれ） yiの推計値 として、 平均値 y を 使うしかない Y Y 残差･誤差 X 回帰平方和 Regressed Sum of Squared 平均値周りの バラツキ（全平方和） Total Sum of Squares 決定係数 説明できた 平方和の割合 残差平方和 Error Sum of Squared

  8. 平方和（散らばり）の分解Decomposition of Sum of Squared 全体の散らばり（Total)を分解 説明できた散らばり（Regressed) 　　　＋残りの散らばり（Error) それぞれを平方和（Sum of Squared)で評価　ST=SR+SE 帰無仮説：SRとSEは統計的に同程度のもの そのときには、Fo＝VR/VEはF分布(自由度fR, fE)に従う 　　　　　　　ただしVR=SR/fR， VE=SE/fE

  9. 回帰による記述（説明）力の検定 • 回帰平方和が統計的に大きな意味を持っているか？ • 分散分析表を作り、F検定を行って判断する。 • 帰無仮説：回帰平方和は誤差平方和と同程度の大きさ • 　（回帰式は、誤差に比べて大きな説明力はない） • 対立仮説：回帰平方和は誤差平方和より大きい • 　（回帰式によって誤差よりもかなり大きい部分が説明できた）

  10. 回帰による記述（説明）力の検定例 • 帰無仮説：回帰平方和は誤差平方和と同程度の大きさ • 　（回帰式は、誤差に比べて大きな説明力はない）→棄却 • 対立仮説：回帰平方和は誤差平方和より大きい • 　（回帰式により、誤差よりもかなり大きい部分が説明できた） Multiple R-squared: 0.9511, Adjusted R-squared: 0.9348 F-statistic: 58.37 on 2 and 6 DF, p-value: 0.0001168

  11. 7.1一元配置法(対応なし)ｐ.159 • 指導法ごとに，テストの点数が異なるか?

  12. 変動の分解 ＝ ＋ 観測値 全体平均 全体変動 ＝ ＋ 全体変動 群間平均 群内変動(残差)

  13. 平方和の評価 ＝ ＋ 全体変動 群間平均 群内変動(残差) 平方和　322 平方和　184 平方和　138 分散16.94＝322/19 分散61.3-184/3 分散8.6=138/16 自由度19＝20-1 自由度3＝4-1 自由度16=4(5-1) 13 F=61.33/8.625=7.11

  14. F分布表　（F distribution) 7.11 3.24 Under the null-hypothesis, The Ratio of Variance goes beyond the observed value (7.111) with Probability smaller than 0.05. You can reject the null-hypothesis: The inter-group variation is statistically different from the inner-group. 14 7.111＞F(0.05:3,16)＝3.24

  15. Rによる計算　aov() > 統計テスト2 [1] 15 9 18 14 18 13 8 8 12 7 10 6 11 7 12 10 7 3 5 7 > 指導法2 [1] A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D Levels: A B C D > oneway.test(統計テスト2~指導法2,var.equal=TRUE) One-way analysis of means data: 統計テスト2 and 指導法2 F = 7.1111, num df = 3, denom df = 16, p-value = 0.002988 > summary(aov(統計テスト2~指導法2)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 指導法2 3 184.000 61.333 7.1111 0.002988 ** Residuals 16 138.000 8.625 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 >

  16. 7.2一元配置法(対応あり)ｐ.175 3科目に対する好意度の評価 16

  17. 変動の分解 ＝ ＋ 観測値 全体平均 全体変動 全体変動 ＝ ＋ ＋ 17 条件(科目間) 個人差(個人間) (残差)

  18. 平方和の評価 ＝ ＋ ＋ 全体変動 条件(科目間) 個人差(個人間) (残差) 平方和　22.53 平方和　6.133 平方和　45.06 平方和　73.73 分散11.267 分散　0.767 分散11.267 自由度 14＝15-1 自由度2＝3-1 自由度4＝5-1 自由度8=4(3-1) Fo=11.267/0.767=14.69>F(2,8,0.05)=4.64 18 Fo=11.267/0.767=14.69>F(4,8,0.05)=3.84

  19. Rによる計算　aov() > 好意度 [1] 7 8 9 5 6 5 4 7 1 3 8 6 7 2 5 > 科目 [1] 線形代数 線形代数 線形代数 線形代数 線形代数 微分積分 微分積分 微分積分 微分積分 [10] 微分積分 確率統計 確率統計 確率統計 確率統計 確率統計 Levels: 確率統計 線形代数 微分積分 > 人 [1] 田中 岸 大引 吉川 荻野 田中 岸 大引 吉川 荻野 田中 岸 大引 吉川 荻野 Levels: 荻野 岸 吉川 大引 田中 > summary(aov(好意度~科目)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 科目 2 22.533 11.267 2.6406 0.1121 Residuals 12 51.200 4.267

  20. Rによる計算　aov() > summary(aov(好意度~人)) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 人 4 45.067 11.267 3.9302 0.03603 * Residuals 10 28.667 2.867 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > summary(aov(好意度~科目+人) ) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) 科目 2 22.533 11.267 14.696 0.002095 ** 人 4 45.067 11.267 14.696 0.000931 *** Residuals 8 6.133 0.767 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

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