MATRIKS

1. MATRIKS Trihastuti Agustinah

2. DEFENISI • Susunan segiempat (rectangular array) dari bilangan-bilangan • Ukuran (size) matriks: • banyaknya baris dan kolom • Matriks hanya memiliki 1 kolom  vektor kolom • Matriks hanya memiliki 1 baris  vektor baris • Notasi: • matriks huruf besar • kuantitas numerik dalam matriks  huruf kecil

3. Notasi entry • Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks Aaij • Matriks Amxn: • Notasi kompak [aij]mxn atau [aij] • Entri pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A juga dinotasikan: (A)ij = aij

4. Notasi (lanj.) • Notasi matriks baris dan kolom: • Huruf kecil cetak tebal • Contoh: • Matriks A dengan n-baris dan n-kolom • Matriks bujursangkar orde-n • Entri a11, a22, …, ann diagonal utama dari A

5. Operasi-operasi matriks (1) • Matriks A dan B adalah sama • Ukuran sama • Entri yang bersesuaian sama • Jadi, A=B ↔ (A)ij=(B)ij atau aij=bij • Contoh: • Jika x = 4, maka A=B

6. Operasi-operasi matriks (2) • Ukuran matriks A dan B adalah sama • Jumlah A+B • Matriks • Jumlahkan entri-entri yang bersesuaian • SelisihA–B

7. Operasi-operasi matriks (3) • A: matriks dan c: skalar • Hasilkali cA • Matriks • Perkalian tiap entri A dengan c

8. Contoh 1

9. Kombinasi linear • Matriks A1, A2, …, An berukuran sama • c1, c2, …, cn adalah skalar • Ekspresi disebut kombinasi linear dari A1, A2, …, An dengan koefisien c1, c2, …, cn

10. Contoh 2 • Matriksdari contoh 1 kombinasi linear dari A, B dan C dengan koefisien 2, -1 dan 1/3

11. Hasilkali matriks • Matriks Amxr dan Brxn • Hasilkali AB: • Contoh:

12. Partisi matriks (1) • Matriks dibagi / dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil • menyisipkan garis vertikal atau horizontal • diantara baris atau kolom • Contoh:

13. Partisi matriks (2) • Contoh:

14. Perkalian matriks melalui kolom dan baris (1) • Perkalian matriks tanpa menghitung semua hasilkalinya • Cara melakukan perkalian: Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B] Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

15. Perkalian matriks melalui kolom dan baris (2) • Jika matriks baris dari A: a1,a2, …, am dan matriks kolom dari B: b1,b2, …, bn • Maka: dan

16. Contoh 3 Matriks kolom ke-2 dari AB: Matriks baris pertama AB:

17. Perkalian matriks: kombinasi linear • Cara alternatif perkalian matriks

18. Contoh 4 • Perkalian matriks: • Dengan kombinasi linear

19. Contoh 4 (lanj.) • Perkalian matriks: • Dengan kombinasi linear

20. Sistem linear: bentuk matriks • Sistem persamaan linear • m persamaan • n unknown

21. Sistem linear (2) • Pers. matriks • Perkalian matriks

22. Sistem linear (3) • Notasi pers. matriks • Augmented matriks

23. Transpos • Definisi: jika A matriks mxn, maka transpos A, AT adalah matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom dari A • Transpos matriks A bujursangkar:

24. Trace • Matriks A bujursangkar • Trace A: jumlah dari entri-entri pada diagonal utama

25. Sifat-sifat operasi matriks • Asumsi ukuran matriks berikut sesuai • Operasi berikut adalah valid

26. Matriks nol • Matriks yang seluruh entrinya nol • Operasi matriks nol

27. Matriks identitas • Matriks bujursangkar dengan entri pada diagonal utama bernilai 1 dan yang lain nol • Notasi: I • Jika ukuran diperhatikan: In • A matriks mxn, maka

28. Invers matriks • A dan B matriks bujursangkar berukuran sama • Terdapat hubungan AB=BA=I • Maka A disebut dapat-dibalik (invertible) dan B disebut invers dari A • Contoh: matriks A dan B • Buktikan bahwa matriks B adalah invers dari A

29. Sifat-sifat invers (1) • Jika B dan C adalah invers dari A, maka B=C. Buktikan! • Perkalian A dengan invers A = matriks identitas • AA-1 = I atau A-1A = I • A dan B berukuran sama • AB dapat-dibalik • (AB)-1 = B-1A-1

30. Contoh 4 • Matriks:  • Invers dari matriks tersebut • dan

31. Sifat-sifat invers (2) • Matriks A orde-2 berikut dapat dibalik bila ad–bc≠0 • Rumus:

32. Pangkat dari matriks (1) • A matriks bujursangkar • A0=I • n>0 • Jika A dapat-dibalik, pangkat negatif dari A:

33. Pangkat dari matriks (2) • Jika A dapat-dibalik, maka • A-1 dapat-dibalik dan (A-1)-1 = A • An dapat-dibalik dan (An)-1 = (A-1)n • k: skalar, matriks kA dapat-dibalik dan • Contoh: • Dapatkan A-3

34. Sifat-sifat transpos • Ukuran matriks memungkinkan terjadinya operasi berikut: • ((A)T)T = A • (A  B)T = AT  BT • (kA)T = kAT • (AB)T = BTAT • Jika A dapat-dibalik, maka AT juga dapat-dibalik (AT)-1 = (A-1)T

35. Matriks elementer • Matriks nxn disebut matriks elementer: diperoleh dari matriks identitas In melalui satu operasi baris elementer • Contoh matriks elementer dan operasinya • Kalikan kedua dari I2 dengan -3 • Pertukarkan baris kedua dengan baris keempat dari I4

36. Matriks elementer • Contoh matriks elementer dan operasinya • Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama • Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

37. Note: Operasi baris elementer: • Kalikan baris dengan konstanta tidak nol • Pertukarkan dua baris • Tambahkan perkalian baris pada baris lainnya

38. Perkalian matriks dengan matriks elementer • Matriks elementer E: hasil operasi baris pada Im • A: matriks mxm • EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama seperti pada A • Contoh: matriks

39. Perkalian matriks dengan matriks elementer • Matriks elementer E: • Tambahkan 3 kali baris pertama dari I3 pada baris ketiga • Matriks EA: • Tambahkan 3 kali baris pertama pada baris ketiga dari A

40. Metode membalik matriks (invers) • Cara mendapatkan invers dari matriks A • Lakukan operasi baris elementer  reduksi A menjadi I • Lakukan operasi yang sama pada I • Prosedur: • Bentuk matriks: [A | I] • Lakukan operasi baris sehingga A tereduksi menjadi I • Matriks yang diperoleh memiliki bentuk [I | A-1]

41. Prosedur: invers matriks • Contoh: dapatkan invers dari Bentuk matriks [A : I] Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

42. Prosedur: invers matriks Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga Kalikan baris ketiga dengan -1 Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama

43. Prosedur: invers matriks Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Invers A:

44. Matriks tidak dapat-dibalik • Matriks Anxn tidak dapat-dibalik • Tidak dapat direduksi menjadi In • Bentuk reduksi eselon baris minimal ada satu baris nol • Komputasi dihentikan • Contoh:

45. Matriks diagonal • Matriks bujursangkar • Entri nondiagonal utama bernilai nol • Dnxn: • Ditulis juga dalam bentuk:

46. Matriks diagonal • Dapat-dibalik ↔ seluruh entri diagonal utama tidak ada yang bernilai nol • Invers matriks diag. • Pangkat matriks diag.:

47. Perkalian matriks dengan matriks diag. • Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kiri: tiap entri diagonal dikalikan dengan baris matriks A yang bersesuaian • Perkalian matriks A dengan matriks diag. dari sisi kanan: tiap entri diagonal dikalikan dengan kolom A yang bersesuaian

48. Matriks segitiga (triangular) • Lower triangular • Upper triangular

49. Matriks simetris • Matriks bujursangkar • A = AT • Jika dan hanya jika aij= aji • Contoh:

50. Hasilkali matriks • Matriks Amxndan ATnxm • Hasilkali AAT (berukuran mxm) dan ATA (berukuran nxn) • matriks bujursangkar • simetris • Contoh: • Dapatkan AAT dan ATA