Mittelwert und Standardabweichung

1. Mittelwert und Standardabweichung

2. Inhalt • Wiederholte Messungen • Mittelwert • Standardabweichung • Gauß- und Normalverteilung

3. Messwerte sind durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert • Trägt man die Anzahl der in einem Intervall gefundenen Messwerte gegen die Messwerte auf, dann erhält man eine „Verteilung“ bzw. ein „Histogramm“ • Man nimmt mit Gauß an: • jede Messung zeigt zufällige Abweichungen von einem – unbekannten- idealen, wahren Wert • Die Anzahl der Messwerte mit zunehmendem Abstand vom idealen Wert nimmt gemäß der „Gauß-Verteilung“ ab Verteilung, Mittelwert und Standardabweichung

4. Mittelwert und Standardabweichung zu Messdaten

5. Standardabweichung des Mittelwerts Folge: Um die Standardabweichung des Mittelwerts auf die Hälfte zu reduzieren, ist die vierfache Anzahl von Beobachtungen erforderlich

6. Wahrscheinlichkeiten, Messwerte innerhalb eines Intervalls von ±1, ±2, ±3 Standardabweichungen um den Mittelwert zu erhalten Beispiel: Bei 1000-facher Wiederholung der gleichen Messung sind 997 Messwerte innerhalb eines Intervalls der Breite von ± drei Standard-Abweichungen um den Mittelwert zu erwarten, nur 3 mit einem größeren Abstand

7. Die Gaußverteilung In der Grafik: μ= 0, σ= 1 Standard-abweichung σ Mittelwert µ Die Theorie beruht auf der Annahme, die Verteilung der Messwerte folge einer Gauß-Verteilung

8. Von der Gaußverteilung zur Wahrscheinlichkeit Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Die Gaußverteilung φ(x) zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichte. φ(x0)·Δxist die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x im Intervall zwischen x0- Δx/2 und x0+ Δx/2 zu erhalten

9. Wahrscheinlichkeit eines Messwerts Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 φ(x0) = 0,13 Intervall Δx = 0,5 Diese Fläche zeigt die Wahrscheinlichkeit Messwert x0 = 1,5 Die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert zwischen 1,5 und 2 zu erhalten, beträgt 0,065 -Bei 1000 „identischen“ Messungen werden 65 Messwerte zwischen 1,5 und 2 erwartet-

10. Normierte Gaußverteilung und ihr Integral, die „Normalverteilung“ Φ(x0) = 0,93 Mittelwert der Messungen μ= 0, Standard-abweichung σ= 1 Φ(x0) ist die Wahrscheinlichkeit, x<x0 zu erhalten Messwert x0 = 1,5 Die Normalverteilung Φ(x) ist das Integral über die normierte Gaußverteilung φ(x). Φ(1,5) zeigt die Wahrscheinlichkeit, bei mehrfacher Wiederholung der gleichen Messung einen Messwert x kleiner als1,5zu erhalten

11. Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - N·σ) < x < (µ + N·σ) zu erhalten 68% für N = 1 95% für N = 2 99,7% für N = 3 68 % der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet 95 % innerhalb der zweifachen, 99,7% der dreifachen Standardabweichung

12. Berechnung der Standardabweichung (1) • Bild erscheint nach Klick auf das Funktions-Zeichen • Das Beispiel enthält an der Mess-Strecke zum Weg-Zeitgesetz erfasste Daten

13. Berechnung der Standardabweichung (2) • Auswahl der Daten mit der Maus

14. Berechnung der Standardabweichung (3) • Fertig! Auf analoge Weise wurde zuvor der Mittelwert berechnet

15. Zusammenfassung • Die Messung eines Wertes x werde mehrfach wiederholt • Der Mittelwert µ ist ein Quotient, • Zähler Summe über alle Messwerte x, • Nenner Anzahl der Messwerte • Die Standardabweichung σ ist einQuotient, • Zähler: Wurzel aus der Summe über alle Quadrate der Differenzen zwischen den Messwerten x und dem Mittelwert µ, • Nenner: Wurzel aus der Anzahl der Messwerte, -1 • Legt man ein Intervall der Breite ±N·σ um den Mittelwert µ, dann erwartet man bei mehrfacher Wiederholung der Messung für • N=1 68 % • N=2 95 % • N=3 99,7 % der Messwerte innerhalb, den Rest außerhalb des Intervalls

16. finis Wahrscheinlichkeiten, Messwerte x mit (µ - N·σ) < x < (µ + N·σ) zu erhalten 68% für N = 1 95% für N = 2 99,7% für N = 3 68% der Messwerte werden innerhalb der einfachen Standardabweichung erwartet