Pojem FUNKCE v matematice

1. Pojem FUNKCE v matematice definice základní pojmy vlastnosti Mgr. Vladimír Wasyliw

2. Definice • Každé zobrazení množiny reálných čísel A na množinu reálných čísel B nazýváme funkce • Funkcí tedy rozumíme předpis, který každému prvku z množiny A přiřazuje právě jeden prvek z množiny B

3. Označení • Funkce označujeme malými písmeny (nejčastěji f, g, h…) • Prvky množiny A nazýváme proměnné a označujeme x • Prvky množiny B nazýváme funkční hodnoty a označujeme y • Funkci jedné proměnné pak zapisujeme ve tvaru y = f(x)

4. Definiční obor, obor hodnot • Množinu A (množinu všech prvků x) nazýváme definiční oborfunkce f, označujeme D(f) • Množinu všech hodnot y přiřazených prvkům x nazýváme obor hodnot funkce f, označujeme H(f)

5. Graf funkce • Množinu všech bodů [x,y] = [x, f(x)] nazýváme grafem funkce f • Můžeme jej znázornit např. v pravoúhlé soustavě souřadnic

6. Určení funkce • Funkce je jednoznačně určena předpisem a definičním oborem • Pokud definiční obor není zadán, rozumíme jím maximální možnou množinu prvků, pro které je možné daný předpis smysl • Určit definiční obor znamená určit maximální množinu prvků, pro které má daný předpis smysl

7. Zadání funkce • Nejčastější zadání funkce je funkčním předpisema příp. definičním oborem (např. y = 3x2 + 5, y = cos x, y = 5x+2) • Funkce může být také zadána přímo grafem • Další možností zadání funkce je výčtem všech prvků [ x, f(x)]- např. tabulkou

8. Rovnost funkcí • Dvě funkce f, g jsou si rovny, jestliže a/ mají totožný definiční obor D(f) = D(g) b/ pro každý bod definičního oboru mají shodné funkční hodnoty f(x) = g(x) • Grafy sobě rovných funkcí jsou totožné

9. Sudá funkce • Funkci nazýváme sudou, jestliže platí: • pro každé xD(f) je také –xD(f) • pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) • Graf sudé funkce je souměrný podle osy y

10. Lichá funkce • Funkci nazýváme lichou, jestliže platí: • pro každé xD(f) je také –xD(f) • pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) • Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic

11. Funkce rostoucí • Funkci nazýváme rostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

12. Funkce neklesající • Funkci nazýváme neklesající, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

13. Funkce klesající • Funkci nazýváme klesající, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

14. Funkce nerostoucí • Funkci nazýváme nerostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

15. Funkce monotónní • Funkci nazveme monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající • Funkci nazveme ryze monotónní, jestliže je rostoucí nebo klesající

16. Funkce omezená zdola • Funkce je omezená zdola, jestliže existuje takové číslo d, že  x  D(f): f(x)  d

17. Funkce omezená shora • Funkce je omezená shora, jestliže existuje takové číslo h, že  x x1: f(x)  h

18. Funkce omezená • Funkci nazýváme omezená v definičním oboru, jestliže je současně omezená shora i zdola

19. Funkce prostá • Funkci nazýváme prostá, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí x1  x2  f(x1)  f(x2)

20. Funkce periodická • Funkci nazýváme periodická, jestliže existuje reálné číslo p takové, že  x  D(f): f (x  p) = f(x)