1 / 55

Bby 252 AraştIrma yöntemlerİ DağIlIMLAR , OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI

Bby 252 AraştIrma yöntemlerİ DağIlIMLAR , OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI. DERS İÇERİĞİ. Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı Örneklem uzayı Faktörüyel , Permütasyon , Kombinasyon Koşullu olasılık Raslantı değişkeni Bir değişkenin dağılımı O lasılık dağılımları B inom dağılımı

sybil
Download Presentation

Bby 252 AraştIrma yöntemlerİ DağIlIMLAR , OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bby 252 AraştIrmayöntemlerİDağIlIMLAR, OlasILIK ve OLASILIK DağILIMLARI

  2. DERS İÇERİĞİ • Olasılık, ortaya çıkışı ve anlamı • Örneklem uzayı • Faktörüyel, Permütasyon, Kombinasyon • Koşullu olasılık • Raslantı değişkeni • Bir değişkenin dağılımı • Olasılık dağılımları • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım • Örneklem dağılımları • Ki-kare dağılımı • t dağılımı • F dağılımı

  3. OlasILIK KAVRAMI • Ortaya çıkışı • 1654 • Kumarbaz, Fransız MereŞövalyesi AntonieCombauld • Şans oyunlarındaki gerçek olasılığı öğrenme isteği • Bu amaçla Pascal ve Fermat ile iletişim • 1713 – Bernoulli’nin olasılık kuramı ile ilgilenmeye başlaması Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95

  4. OlasILIK • Raslantı ve kesin olmayan olaylar • Rasgele deney: Çeşitli sonuçlar verebilen bir deneyin herhangi bir tekrarında hangi sonucun elde edileceği tamamen şansa bağlı ise • Olasılık böyle durumlarda ortaya çıkan belirsizliği sayısal olarak ifade etmek için geliştirilmiş bir düşünce aracı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 95

  5. ÖRNEKLEM UZAYI • S • Bir denemenin tüm olası sonuçlarından oluşan küme • Bir zar atma denemesinde örneklem uzayı • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • Bir paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı • S={Yazı, Tura} • Üç paranın bir defa atılması deneyi için örneklem uzayı • S={YYY, TYT, YTT, TTY, YYT, YTY, TYY, YYY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

  6. ÖRNEKLEM UZAYI • Bir zar atma denemesinde, • Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları birbirine eşit • S={1, 2, 3, 4, 5, 6} • 1/6 • İçinde 7 beyaz, 6 kırmızı, 8 yeşil top bulunan bir torbadan, bir top çekildiği zaman , • S={Beyaz, Kırmızı, Yeşil} • Örneklem uzayının noktalarının olasılığı birbirinden farklı • Beyaz top gelme olasılığı 7/21, kırmızı top gelme olasılığı 6/21, yeşil top gelme olasılığı 8/21 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

  7. soru 1 • İki zarın birlikte atılması durumunda örneklem uzayı nedir? Örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir? • Bir paranın iki defa atılması deneyi için örneklem uzayındaki noktaların olasılıkları nedir?

  8. ÖRNEKLEM UZAYI • Olay: Örneklem uzayındaki noktaların bir alt kümesi • Rasgele olay: Gerçekleşmesi raslantıya bağlı olaylar • Bir zarın atılmasında, A çift sayı gelme olayı ise, • A={Çift sayı}={2, 4, 6} • İki para atma denemesinde, • S={YY, YT, TY, TT} • B, en az bir yazı gelmesi olayı ise, • B={En az bir yazı}={YY, YT, TY} Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 96

  9. N Faktörİyel • n! • 1’den n’ye kadar olan pozitif tamsayıların çarpımı • n!=1.2. … .n=n(n-1)(n-2) … 2.1 • 0!=1 • 1!=1 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98

  10. PERmütasyon • Sıra Düzen • n farklı nesnenin k (kn) tanesi sıralanırsa elde edilecek değişik düzenlerin sayısı • nPk= n! / (n-k)! , k<n ise, • nPk= n! , k=n ise. • A, B, C gibi 3 öğrenci bir sırada kaç farklı şekilde oturabilir? • 3!=6 • ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 98

  11. KOMBİnasyon • Birleşim • n farklı nesneden düzenleme sırasına bakılmadan r tanesinin seçimi • nCr= n! / r!(n-r)! • 3 kitap arasından 2’sinin seçilmesi durumunda • 3!/2!(3-2)!=3 • Kombinasyonlar • AB, AC, BC • Permütasyonlar • AB, BA – AC, CA – BC, CB Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 99

  12. olasILIK • Bir denemede n tane sonuç varsa, her sonucun ortaya çıkma olasılığı eşit ve ilgilenilen sonuç sayısı m ise bu olayın olasılığı, • P(m)=İlgilenilen olayın sonuç sayısı/Olası tüm sonuçların sayısı=m/n • Olasılık daima 0 ile 1 arasında bir değer alır • 0P1 • Olasılık uzayı: Olasılık fonksiyonunun belirtildiği örneklem uzayı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 100

  13. olasILIK • 200 ailenin çocuk sayısına göre dağılımları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin 4 çocuklu olma olasılığı nedir? • P(4)=20/200=1/10 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 101-102

  14. KOŞULLU olasILIK • Bir olayın gerçekleşmesi, başka bir olayın gerçekleşmesi koşuluna bağlı ise • P(B/A)=P(AB)/P(B) Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104

  15. KOŞULLU olasILIK A • 80 ailenin ekonomik durumu ve istedikleri çocuk sayıları verilmiştir. Rasgele seçilen bir ailenin zengin olduğu bilindiğine göre, istediği ideal çocuk sayısının 1 olması olasılığı nedir? • P(A/B) = (12/80) / (22/80) = 12/22 B Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 104-105

  16. RASLANTI Değİşkenİ • Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinmeyen bir değişken • Bir olasılık uzayında her basit rasgele olaya sayısal değer atayan bir fonksiyon • Bir kavşağa bir dakikada gelen araba sayısı, bir yıldaki yağışlı günlerin sayısı, bir noktadaki rüzgar hızı, bir akarsudaki akımın debisi, belli bir bileşiğin alkol yüzdesi, belli sayıdaki ailede kız çocuk sayısı, tüberkülozlu hastaların akciğerlerindeki leke sayısı, bir zar atma denemesinde çift sayıların gelmesi Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105

  17. RASLANTI Değİşkenİ • İki parayı atma denemesinde X raslantı değişkeni tura sayısını göstersin • S = {YY, YT, TY, TT} • X = {0, 1, 2} • Kesikli raslantı değişkeni: Xraslantı değişkeninin olası değerleri sayısı sonlu ya da sayılabilir sonsuzlukta ise • Kız çocuk sayısı, tura sayısı • Sürekli raslantı değişkeni: Xraslantı değişkeninin tanım bölgesi bir aralık ya da aralıklar kümesi ise • Zaman, ağırlık, yükseklik Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 105-107

  18. soru 2 • Bir önceki slayttaki bilgileri dikkate alarak, • İki tura gelmesi olasılığı nedir? • Bir tura gelmesi olasılığı nedir? • Hiç tura gelmemesi olasılığı nedir? • En az bir tura gelmesi olasılığı nedir?

  19. olasIlIkDağIlImlarI • Bir torbada bulunan eşit sayıdaki yeşil ve beyaz toplardan rasgele 3 top seçilsin • S = {YYY, YYB, YBY, YBB, BYY, BYB, BBY, BBB} • İlgilenilen sonuç yeşil top sayısı olduğunda Xraslantı değişkeni, • X = {0, 1, 2, 3} Son sütundaki olasılıkların oluşturduğu dağılım «Olasılık Dağılımı» Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

  20. olasIlIkDağIlImlarI • Kesikli raslantı değişkeni • Olasılık fonksiyonu • Sürekli raslantı değişkeni • Olasılık yoğunluk fonksiyonu Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

  21. olasIlIkDağIlImlarI • Binom dağılımı • Poisson dağılımı • Normal dağılım

  22. BİnomdağILIMI • Kesikli raslantı değişkenlerinin oluşturdukları bir dağılım • İki olası sonuç ile ilgilenir • Erkek-kız, yazı-tura, başarılı-başarısız, sağlam-bozuk, ölü-canlı, olumlu-olumsuz Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 108-109

  23. BİnomdağILIMI • Bir para atma deneyinde iki sonuç vardır: yazı ya da tura • Paranın ilk atılmasında yazı gelmesi olasılığı 1/2=p • Birinci atışta yazı ikinci atışta yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2=p² • Üç atışın üçünde de yazı gelmesi olasılığı 1/2.1/2.1/2=p³ • Bu deney n kez yinelendiğinde yazı sayısı X bir binomraslantı değişkenidir • n denemede x tane yazı ve (n-x) tane tura gelmesi olasılığı • x tane yazı ve (n-x) tane tura n!/(x!(n-x)!) farklı düzende ortaya çıkar Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111

  24. BİnomdağILIMI • Sonuç olarak, n denemede x yazı gelmesi (n-x) tura gelmesi olasılığı, • ( n!/(x!(n-x)!) ) . Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 111

  25. POİSSON dağILIMI • Önemli bir kesikli dağılım • Az raslanan fakat her defasında belirli bir olasılıkla meydana gelen olaylarının oluş sayılarının dağılımı • Belli bir zaman aralığında bir telefon kulübesine gelen konuşma sayısı, bir grup maldan alınan örneklemden çıkacak bozuk mal sayısı, bir fabrikada dokunan kumaşlar arasında günlük raslanan hatalı kumaş sayısı gibi kesikli raslantı değişkenlerinin dağılımı • Olasılık fonksiyonu /, x=0,1,2,… (e=2,72) • 𝜆, belli bir zaman aralığında ya da belli bir yerde istenen olayın ortalama ortayaçıkma sayısı, 𝜆=n.p Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 116

  26. POİSSON dağILIMI • Bir kavşakta haftada ortalama kaza sayısı 3’tür. Bir haftada 5 kaza görülmesi olasılığı nedir? • 𝜆=3 • /5 Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 117

  27. NorMALdağILIM • Hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılım • 18.yy’da ölçüm hatalarının dağılımı olarak ortaya çıkmış • İlk olarak 1733 yılında DeMoivre tarafından matematiksel olarak tanımlanmış • 1775, Laplace - bu dağılım üzerine çalışmalar • 1809, Gauss – Normal dağılım ile ilgili ilk basılı eser • Gauss Dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123

  28. NorMALdağILIM • İstatistikte önemli bir yerinin olmasının nedeni • Yapılan birçok gözlem sonucunun çan biçiminde bir dağılım vermesi • Çoğu dağılımın denek sayısı arttıkça normal dağılıma yaklaşması • Sürekli raslantı değişkeni ---olasılık yoğunluk fonksiyonu • İki parametresi • Kitle ortalaması 𝜇 • Kitle varyansı𝜎² - ortalama etrafındaki yayılmayı gösterir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 123-124

  29. NorMALdağILIM

  30. NorMALdağILIM • Ortalamaya göre simetrik • Bir değişken normal dağılıma sahip ise, • Aritmetik ortalama = tepe değeri = ortanca Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 124-125; Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250

  31. NorMALdağILIM

  32. NorMALdağILIM

  33. NorMALdağILIM

  34. NorMALdağILIM

  35. NorMALdağILIM

  36. NorMALdağILIM

  37. NorMALdağILIM • Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %68,26 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 2 standart sapma eklenip, 2 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %95,44 • Normal dağılıma sahip bir değişkene 1 standart sapma eklenip, 1 standart sapma çıkarılarak bulunan iki değer arasında kalanların oranı %99,74 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 250-252

  38. NorMALdağILIM Soru: hastaların iyileşme süresi ortalama 20 gün ve varyansı 25 gün olan bir normal dağılım ise, iyileşme oranı 15 ile 25 gün arasında olan hastaların oranı nedir? Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 251

  39. NorMALdağILIM • Normal dağılım eğrisinin şekli ortalama ve varyans parametreleri tarafından belirlenmekte Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 253

  40. NorMALdağILIM • Ortalamalar aynı, varyanslar farklı ise

  41. NorMALdağILIM

  42. NorMALdağILIM • Ortalamalar farklı, varyanslar aynı ise

  43. STANDART NorMALdağILIM • Ortalaması 1, varyansı 0 olan standart normal dağılım

  44. ÖRneklemdağILIMlarI • Örneklem üzerinde çalışılıyorsa • İstatistik • Farklı örneklemlerden hesaplanabilecek istatistik değerlerinin dağılımı • Örneklem dağılımı: Aynı kitleden alınmış aynı büyüklükteki örneklemlerden bulunan değerlerin/istatistiklerin olasılık dağılımı Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 157

  45. Z dağILIMI • Standart normal dağılıma sahip değişkenlerde alan hesabı için kullanılmakta • Normal dağılıma sahip değişkenler aşağıdaki gibi standart normal dağılıma sahip değişkenlere dönüştürülerek kullanılır • (X-Ortalama) / Varyans Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262

  46. Z dağILIMI • İlaçla tedavi edilen hastaların iyileşme süresine göre dağılım ortalaması 20 gün, varyansı 25 gün olan bir normal dağılımdır. 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı nedir? 20 22 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262-263

  47. Z dağILIMI P(x<22) = P(Z<0,40) = ? Z tablosundan Z<0,40 değerinin bulunması gerek Z tablosu - P(x<22) = P(Z<0,40) =0,6554 = %66 22 günden daha kısa sürede iyileşme olasılığı %66 Standart normal dağılıma dönüştürme (22-20) / 5 = 0,40 0 0,4 Kaynak: Esin, Ekni ve Gamgam, 2006, s. 262

  48. Ödev Aynı soru için aşağıdaki olasılıkları bulunuz. a. 28 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? b. 18 günden daha fazla sürede iyileşme olasılığı? c. 15 günden daha az sürede iyileşme olasılığı? d. 21 gün ile 26 gün arasında iyileşme olasılığı? e. 14 gün ile 23 gün arasında iyileşme olasılığı? Teslim tarihi: 25 Nisan 2013 - Perşembe

  49. Kİ-KARE DaĞILIMI • 1889, Karl Pearson • Ki-kare tablosu • Ortalaması 0, varyansı 1 olan normal dağılıma sahip raslantı değişkenlerinin toplamı ile elde edilir Kaynak: Apaydın, Kutsal ve Atakan, 1994, s. 158

More Related