Wavelets: introducción

1. Wavelets: introducción • Considera una pieza de música: al analizarla usando Fourier podemos determinar en qué clave musical está, pero no podemos distinguir entre música clásica y hard rock. • Por lo tanto, el orden de las notas es tan importante como su distribución. • Lo que podemos hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el órden. Este tipo de análisis se conoce como la transformada de Gabor (aplicar ventana a datos). • Pero este tipo de análisis es imperfecto, ya que el ritmo de las notas no es constante. Se puede extraer mucha más información. • Para ver esto, recuerda que Heisenberg nos enseñó que DtDw ≥ p. • Así que la resolución temporal y la resolución en frecuencias están acopladas, y se obtiene la máxima información para DtDw = p. • ¿Existen métodos de análisis que alcanzan este máximo? Si, hay toda una clase de métodos (Fourier es uno de ellos pero alcanza la máxima resolución espectral sacrificando la resolución temporal).

2. Wavelets: ideas centrales • El análisis de wavelets: • Proporciona información sobre el espectro en función del tiempo. • La resolución espectral de una frecuencia f es: Df  f • La resolución temporal de esta misma frecuencia es: Dt  1/f (DtDf = cst). • Gráficamente: Dt Df ¿Cómo sería esta gráfica para la transformada de Gabor? ¿Qué información se pierde? Frecuencia Tiempo

3. Wavelets: ideas centrales • De alguna manera, esta forma de descomponer la señal es “ideal” o “natural”:los eventos de baja frecuencia suelen durar en el tiempo, mientras que los eventos de frecuencia alta suelen ser breves (piensa en “eddies” turbulentos, remolinos). • Este análisis está especialmente indicado para señales con “intermitencias” o “pulsos”: eventos que ocurren de manera no periódica. Para este tipo de señales, Fourier nos proporciona muy poca información, al perder casi toda información temporal. • Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitentes: si añadimos un impulso localizado en el tiempo a una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarán.

4. Wavelets: ideas centrales • En particular, pensando en sistema dinámicos: • Cuando un sistema es lineal y los modos de vibración son modos propios del sistema, entonces el análisis de Fourier proporciona mucha información sobre los mismos. • Pero si, por el contrario, los modos no son modos propios, entonces la descomposición en modos (propios) no revela ninguna información interesante, ya que mezcla la información de los varios modos de oscilación (que no son modos propios). • Y sabemos que sistemas no lineales con disipación no tienen modos propios, así que ninguna descomposición global en el espíritu del análisis de Fourier tendrá éxito. • Por tanto, en este caso uno se debe limitar a una expansión local en modos, que es lo que hace el análisis de wavelets. Esta descomposición local (como un desarollo tipo Taylor) funciona porque:el sistema dinámico puede aproximarse linealmente en un entorno de un punto (siempre que la no-linealidad del sistema no es demasiado fuerte).

5. * Transformadas generalizadas • Definición general de la transformada lineal de una función (Fourier, Gabor, wavelet,...): • 1/a juega el papel de w • w: función de peso/ventana (normalmente una Gaussiana) • ¡La propiedad de escalado caracterizalos wavelets, no la función y particularelegida!

6. * * * * Transformadas generalizadas • Como veremos más adelante, esta propiedad de escalado (“scaling”) es muy apropiada para el estudio de señales con auto-similaridad (estructura a muchasescalas, o sin escala –tamaño– definida). Encontraremos este tipo de señales en el estudio de caos y turbulencia. • Nota que la transformada: • se puede considerar un producto interior: • (teoría de funciones). Visto así, cualquier transformada de una función puede considerarse un cambio de base siempre que las funciones base sean ortonormales (esto es necesario para conservar la información):

7. Transformadas generalizadas • Esta exigencia (ortonormalidad) se cumple automáticamente para Fourier. • Se cumple sólo aproximadamente para Gabor. • Se cumple para los wavelets si se imponen algunas condiciones adicionales a la función y(ver más adelante). • Hay una cuarta transformada que se puede definir de una forma natural en el formalismo de productos interiores: la transformada identidad. Es la transformación trivial con • que transforma x(t) en x(t). • La transformada de wavelets está a mitad de camino entre la transformada de Fourier (con Dt = ∞ y Df = 0)* y la identidad (con Dt = 0 y Df = ∞)*. Es un compromiso entre resolución temporal y resolución en frecuencias. * Señal de N puntos que dura un tiempo T: Fourier: Dt = T y Df = 1/2T. Identidad: Dt = T/N y Df = N/2T.

8. Ejemplos de y Wavelet Gabor Menor escala (a) o mayor frecuencia (w)

9. Definiciones de wavelets • Haciéndo un paréntesis en cuanto a la ortonormalidad (que volveremos a abordar cuando nos referimos de la transformada discreta, igual que pasó con Fourier), la transformada de wavelets contínua es: • (Se escribe ya* en lugar de yapara indicar “complejo conjugado”, así generalizando a y’s complejos, igual que se hace con Fourier). • Escribiendo esto usando transformadas de Fourier: “Filtro”

10. Definiciones de wavelets • S(a,t) se puede entender como la versión filtrada de x(t), usando un filtro de “escala a”, que es un filtro de paso-banda centrado en la frecuencia w = 1/a. • La expresión anterior sirve para deducir que la transformada de wavelets, promediada sobre la variable t, se aproxima al espectro de Fourier (como era de esperar). • En otras palabras, la forma del espectro de wavelets promediada es igual que la forma (suavizada con el filtro de los wavelets) del espectro de Fourier.

11. Definiciones de wavelets • Se supone siempre que x(t) es una señal que es “integrable al cuadrado”. • La función y debe cumplir el siguiente requisito: cy = • Esto garantiza cierta localización en el espacio de frecuencias y permite la inversión de la transformada. • Se supone que y también está localizado en el tiempo. • Matemáticamente, no hay más exigencias. ¡Por tanto, la funciones admisibles como wavelets son muchas! • El requisito de arriba significa que el componente cero de la transformada de Fourier del wavelet debe ser cero, así que el promedio debe ser cero.

12. Definiciones de wavelets • El factor 1/a no es necesario. Se usa también 1/a o 1, pero 1/a garantiza que la norma L2 de la señal es igual que la de la transformada. • La transformada es invertible, y la inversa es: • donde cy es la constante de normalización de la condición de admisibilidad. • Así, la señal es una superposición lineal de wavelets ya,t con coeficientes S(a,t). • En el espacio de wavelets, el elemento de “volumen” natural es: dtda/a2, invariante bajo cambios en tiempo o escala (ya que DtDw = cst.).

13. La transformada discreta • La transformada discreta de wavelets surge al restringir los parametros a y t a ciertos valores discretos. • La elección más común es la rejilla diádica: con su inversa función por definir • Estas transformadas se pueden definir inluso para funciones no-ortogonales. • Nosotros sin embargo exigiremos ortogonalidad, lo que nos lleva al concepto del análisis multi-resolución.

14. La transformada discreta y ortogonal: FWT • El análisis de wavelets tomó vuelo cuando se descubrió que de hecho existen funciones ortogonales de este tipo. • Esto conlleva: • Conservación de información • Posibilidad de construir algoritmos rápidos • En suma, esto puso el análisis de wavelets al mismo nivel que el de Fourier. • Entre los wavelets ortogonales se distinguen: • wavelets de soporte compacto • otros wavelets • Los wavelets de soporte compacto sólo difieren de cero en un intervalo finito, y permiten algoritmos de transformación incluso más rápidos que la FFT.

15. Wavelets de soporte compacto • Todos los wavelets se caracterizan por dos funciones, conocidos como: • La función de escala madre, f • El wavelet madre, y • Ejemplo: el “Haar” wavelet = “Daubechies” wavelet de orden 0: función de escala wavelet f y 0 1 0 1 “integrar” “diferenciar”

16. Wavelets de soporte compacto • Los wavelets de Daubechies son los más conocidos. Se muestra y: orden 12 orden 4 • Son fractales. Su estructura surge automáticamente a partir de las reglas de escalado y ortonormalidad. • Sus derivadas no son contínuas (es una característica de wavelets de soporte compacto).

17. Descomposicón de una señal en wavelets • Como ejemplo, usamos el wavelet más sencillo: el wavelet de Haar. • Señal de 16 puntos: el nivel más alto de wavelets es 4 (24 = 16) señal • La señal puede descomponerse así: donde los factores s son, exactamente: f4

18. Descomposicón de una señal en wavelets • Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, f2iky f2i+1k, se pueden escribir como la suma de:una funcion de escala de nivel k-1 y un wavelet de nivel k-1: = + f2i+1k f2ik fik-1 yik-1 • Así, la expresión para x(t) se puede escribir:

19. Descomposicón de una señal en wavelets • La denominación “s” y “d”es tradicional. • s: “smooth” o “sum” • d: “detail” o “difference” • Es evidente que el procedimiento de descomposición se puede repetir recursivamente para niveles más bajos (al menos es evidente para señales con un número de puntos que es una potencia de 2; nos limitaremos a este caso). • La recursión termina al llegar al nivel 0. Este nivel representa la transformada completa de wavelets. Para este ejemplo: donde: • Como era de esperar, el número total de coeficientes de wavelets es:1+1+2+4+8=16, igual que el número de puntos de la señal.

20. Descomposicón de una señal en wavelets • Invirtiendo el proceso anterior, se obtiene la transformada inversa de wavelets. • También es recursiva. Empezando al nivel más bajo (0), se obtiene el nivel inmediatamente superior mediante: • (estas fórmulas valen sólo para los wavelets de Haar) • El procedimiento anterior vale para el wavelet de Haar, que tiene un soporte de dos puntos (un wavelet consiste de 2 valores). • Se puede generalizar fácilmente a wavelets que tienen un soporte de más puntos. Las sumas y restas se deben calcular sobre el número de puntos del soporte.

21. Wavelets de Daubechies • Como ejemplo de la contrucción de wavelets más interesantes que los de Haar, construiremos los de Daubechies. • Para tomar un caso sencillo, construiremos el wavelet de Daubechies de soporte N=4. • Entoces, la función de escala madre de cada nivel j debe construirse a partir de cuatro funciones de escala de nivel j-1: • Similarmente, el wavelet madre se construye así: • Ortogonal a la función de escala; es complementario, también conocido como “el filtro dual”: f suaviza (paso-bajo), pero y differencia (paso-alto).

22. Wavelets de Daubechies • Tomando las definiciones anteriores como una prescripción iterativa para la construcción de los wavelets, y aplicándolas repetidas veces sobre una función arbitraria inicial, esta evolucionará hacia la función escala y wavelet deseados. • Sin embargo, se puede proceder de manera más sistemática. Integrando la ecuación para f a ambos lados, se obtiene: y por tanto • Esta condición garantiza la conservación de área para la función de escala, al reescalarla. • Es la primera condición que deben cumplir los coeficientes ck.

23. Wavelets de Daubechies • Los wavelets de soporte N tienen N coeficientes, así que para definirlos inequívocamente hay que encontrar N ecuaciones para los coeficientes. Ya tenemos una (conservación de área). • Se puede obtener otra condición a partir del espectro de la función de escala: • Usando la definición de f: • Definiendo:

24. Wavelets de Daubechies y con se obtiene • Esta sumatoria infinita debe ser finita. Daubechies impone un cero de orden N en el punto w = 2p: para m = 0, ... , N

25. Wavelets de Daubechies • Esta condición se concoce como la condición de precisión (accuracy condition), ya que esta elección garantiza la mejor precisión posible en la representación de una función por wavelets, cuando la función es un polinomio. • Finalmente, hay otra condición más general para garantizar que la inversa de la transformada de wavelets, escrita como una multiplicación de matriz, es igual a la traspuesta de la transformada directa (A-1 = AT) – en otras palabras, que la transformada sea ortogonal. Es la condición de ortogonalidad: m > 0 • Aunque hay ahora N+1 ecuaciones, existen dependencias entre ellas de tal forma que hay una ecuación redundante.

26. Wavelets de Daubechies • Ahora podemos juntar todas las condiciones y calcular los coeficientes. N = 4: c0 + c1 + c2 + c3= 2 c0– c1 + c2– c3= 0 – c1 + 2c2– 3c3= 0 c0 c2+ c1c3= 0 c02+ c12 + c22+ c32= 2 N = 2: c0 + c1= 2 c0– c1= 0 c02+ c12= 2 etc. c0 = (1+√3)/4 c1 = (3+√3)/4 c2 = (3–√3)/4 c3 = (1–√3)/4 c0 = c1= 1

27. Wavelets de Daubechies • Los wavelets definidos así tienen unas propiedades extraordinarias: Ortogonalidad frente a desplazamiento en el mismo nivel Ortogonalidad entre niveles diferentes

28. Otros tipos de wavelets • Los wavelets de Daubechies son compactos en el “tiempo”, y por tanto tienen unaextensión infinita en el espacio de “frecuencias” (debido a DtDw ≥ p). • Esto se manifiesta en la naturaleza no-suave (no diferenciable) de los mismos. • Existen otros muchos wavelets que son compactos en el espacio de “frecuencias” (suaves) y que por ello se extienden hacia infinito en el “tiempo”. • Tienen la desventaja que no existen algoritmos muy rápidos para la transformación (los más rápidos están basados en la FFT), y la ventaja de ser diferenciables. • Ejemplos: • Wavelet armónico • Wavelet de Meyer

29. Uso práctico en el análisis de datos • Representación de las frecuencias presentes en una señal frente al tiempo. • Lo que se representa es el cuadrado de los coeficientes de wavelets. • ¡La “rejilla” de representación no es uniforme! d03 d13 d23 d33 d43 d53 d63 d73 log2(frecuencia) d02 d12 d22 d32 d01 d11 d00 s00 tiempo

30. El análisis de datos • Volvemos a los wavelets continuos. • Al ser más suaves y al no estar limitadas a ciertas posiciones en el plano tiempo/frecuencia (la rejilla diádica de los wavelets ortogonales), a veces son preferibles sobre los ortogonales, incluso si los cálculos tardan mucho más. • Debido al hecho de que las señales experimentales están siempre contaminadas con ruido, los coeficientes S oscilarán mucho, especialmente para las frecuencias altas (a pequeño). • Para suavizar este problema, a veces se promedian los coeficientes sobre intervalos T. El intervalo de suavizado debe ser menor que el evento más rápido que se quiere seguir.

31. El análisis de datos • Si elegimos el tiempo T centrado en un tiempo T0: • T: {T0 – T/2 ≤ t ≤ T0 + T/2} • se puede calcular el espectro cruzado • y suavizado de wavelets así: • y el espectro cruzado, suavizado, • y con retraso: • y lo mismo se puede hacer para todas las demás cantidades (coherencias, ...) • Este procedimiento, además, permite definir un nivel de error para los estimados espectrales obtenidos: suponiendo que el error relativo máximo en un coeficiente S es 1, y que el suavizado sobre el tiempo T involucra N coeficientes independientesS, el error relativo en el espectro suavizado C es 1/√N. • La exigencia de que los coeficientes sean independientes se traduce en que su separación temporal debe ser t = a/2. Por tanto, una estimación del error relativo es:

32. Uso práctico Seno con frecuencia variable como: f = 1000/(10+t)

33. 0.001 0 -0.001 -0.002 -0.003 200 150 2 4 6 8 100 50 Uso práctico: ejemplo Señal con altas y bajas frecuencias Resultado del análisis con wavelets: es posible seguir las frecuencias dominantes en el tiempo frecuencia tiempo

34. El análisis de datos • Es posible adaptar el tipo de wavelet a las necesidades del análisis. Es decir, elegir un tipo de wavelet similar al tipo de pulso que se espera detectar en la señal. • Por ejemplo, la función de autocorrelación de las fluctuaciones de densidad en plasmas de fusión tiene este aspecto: • Esto indica que esta es la forma dominante de las fluctuaciones (similar a un solitón). Por tanto, se podrían analizar estas fluctuaciones con un wavelet que tiene esta forma aproximadamente (“Mexican hat”).