今日の目標

今日の目標 • 文脈自由文法の復習　　導出機構　　この講義（教科書）での用語の確認 • プッシュダウンオートマトンの復習　　非決定性　　用語の確認 • ある言語がＣＦＬでないことと、その証明法の理解 - 正則言語に対するポンピング補題の復習 - ＣＦＬに対するポンピング補題

文脈自由文法 英小文字英大文字 • 定義3.1.1 G=(∑, NT, R, S) ∑：　終端（記号）の有限集合　－アルファベット NT：　非終端（記号）の有限集合 R：　（生成）規則の有限集合規則：　 NT×（∑∪NT）* S∈NT：　初期記号 NT と(Σ∪NT)* の順序対 A → ab, A →aAb, A→BC,A→ε

導出機構 ・文形式：　∈（∑∪NT)* 正しい文の中間的な形式・1ステップで導出可能：　　「A→ｚ」∈Rであるとき u=xAy からｖ=xzy が1ステップで導出可能（「u⇒ｖ」）・導出可能： u0⇒u1, u1⇒u2, ……, un-1⇒un(n≧0) であるとき u=u0　から　v=un　が導出可能（「u⇒* v」) ・文法Gにより生成される（導出可能な）言語： L(G)={ w | w ∈ ∑*, S ⇒* w }

S Vp Np V Np N N John bought car 構文解析解析木（構文木）最左導出：　 S ⇒ NpVp ⇒ NVp ⇒ John Vp ⇒ John VNp ⇒ Johnbought Np ⇒Johnbought N ⇒ John bought car 最右導出：　 S ⇒ NpVp ⇒ NpVNp ⇒ NpVN ⇒ NpV car⇒ Npbought car ⇒N boughtcar ⇒ John bought car

S S S S if if (C) (C) if if (C) (C) S S else else S S 曖昧な文法 • ２つ以上の解析木を持つ記号列を生成する文法 S→ if (C) S else S, S→if (C) S

スタック a プッシュホップ a プッシュダウンオートマトン（PDA) • 非決定性有限オートマトン＋スタック有限制御部非決定的動作読み取りヘッド a b a b b a b a a 入力テープ

プッシュダウンオートマトン M=(Q, ∑, Γ, s0, Δ, F) Q: 状態の有限集合 ∑: 入力アルファベット s0∈Q: 初期状態 F⊆Q: 適格状態（受理状態）の集合 Γ: スタック記号の（有限）集合 Δ: （Q×（∑∪{ε}）×Γ*）×（Q×Γ*）の部分集合

プッシュダウンオートマトン 遷移関係　((s, a, β), (q, γ))：　状態 s で，　読取りヘッドが読んでいる入力記号が a で，　スタックトップにβという記号列があるとき，「入力記号 a を消費して，　　状態qに遷移し，　　スタックトップのβを記号列γで置き換える」ことができる（非決定性） a = ε の場合：入力記号に依存せず，入力を消費しない遷移 β = ε の場合：スタックの記号列に依存しない遷移

「様相」と「1ステップ導出」 • 様相　（s, u, α) s: 有限制御部の状態、 u: 入力テープの残り α: スタック上の記号列（左端がスタックトップ） • 様相C1=(s, au, αΘ)から様相C2=(q, u, βΘ)へ • 1ステップ導出可能（C1C2） • 　　「((s, a, α), (q, β)∈ Δ」のときかつそのときのみ

受理 • PDAが記号列 w を受理 • (s0, w, ε)=C0 C1 Cn=(p, ε, ε) • p∈F（適格状態） • L(A): PDA A の受理する記号列の集合 • 空スタック受理PDA • 　適格状態とそうでない状態を区別せず「空スタック」のみを受理条件とするPDA • 　定理　「任意のPDAから、同じ言語を受理する空スタック受理PDAを構成できる」 …

CFGとPDAの表現能力 • 文脈自由文法（CFG）とプッシュダウンオートマトン(PDA)の表現能力が一致する　 - CFGで表現できるものはPDAで表現できる - PDAで表現できるものはCFGで表現できる • 証明はパス

正則言語に関するポンピング補題 Lが正則ならば、以下を満たすnが存在 |w|≧n, w∈Lならばｗは以下を満たすような w=xyzに分解可能 (a) ｙ≠ε (b) |xy|≦n (c) xyiz∈L (for all i≧0) 証明：　Lが無限集合の場合 Lが正則であることより、Lを受理するDFAA　が存在する．Aの状態数を n とする． |w|≧n, w∈Lなる w=w1w2…wm(m≧n) を考える．

n+1個の状態 Aによるｗの受理 w1 w2 wn+1 wm wn-1 wn … … s Aの状態数がnなので、同じ状態があるはず

同じ x z y Aによるxy*zの受理 wn wn+1 wm … … … … s * 0回以上繰り返し可 |xy|≦n,|y| > 0 Aは xy*z を受理、すなわち xy*z∈L

文脈自由言語の場合 正則ではDFAによる受理を考えたがＣＦＬではCFGにおける導出を考える簡単のため「A→B」のような規則　（単記号規則）「A→ε」のような規則　（ε規則）はないものとする

同じ S ⇒* uAz A ⇒* uvAyz A ⇒* uvxyz 0回以上繰り返し可 S ⇒* uAz ⇒* uvAyz ⇒* uv2Ay2z ⇒* uv3Ay3z …… ⇒* uviAyiz ⇒* uvixyiz CFGにおける導出十分長い導出を考えれば同じ非終端が２回以上登場単記号規則，ε規則がないので v≠ε またはy≠ε

ＣＦＬに関するポンピング補題 LがＣＦＬならば、以下を満たすnが存在 |w|≧n, w∈Lならば、ｗは以下を満たすような w=uvxyzに分解可能 (a) v≠ε またはｙ≠ε (b) |vxy|≦n (c) uvkxykz∈L (for all k≧0)

最長の径路 （長さ|NT|+1以上） A 長さ |NT|+1以下 A |vxy|≦f(G)|NT| n 図3.8w=uvxyz　の解析木 S |w| > f(G)|NT| f(G): ファンアウト　規則の右辺の　　　　　最大長 u v x y z

ポンピング補題の使い道 • ある言語が文脈自由言語でないことの証明例3.6.1: {ak bk ck | k=0,1,2,…} 例3.6.2: {w | w ∈ {a,b,c}*, ｗは同数の a,b,c を含む} 例3.6.3: {tt | t ∈ {a,b}*}

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