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多項式

多項式. 設 n 為正整數或 0 ，且 a n 、 a n – 1 、 …… 、 a 2 、 a 1 、 a 0 為實數，則形如 f ( x )= a n x n + a n –1 x n – 1 + …… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 的式子， 稱為不定元 x 的多項式 。 當 a n ≠0 時，稱 f ( x ) 為 n 次多項式，以符號 deg f ( x ) = n 來表示 。. 設多項式 f ( x ) = ( a - 5) x 3 + 2 x 2 + 3 x + 5

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多項式

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  1. 多項式 設n為正整數或0，且an、an–1、 ……、a2、a1、 a0為實數，則形如 f (x)=an x n+an–1 x n–1+ ……+a2x2+a1x+a0的式子， 稱為不定元 x的多項式。 當an≠0時，稱f (x)為n次多項式，以符號 deg f (x) = n來表示。

  2. 設多項式 f (x) = (a-5) x3 + 2x2 + 3x + 5 (1)若a=5 (2)若a≠5，分別求此多項式的次數 (1) a = 5，∴ f (x)=2x2 + 3x + 5，deg f (x) = 2 (2) a≠ 5，∴ a-5 ≠ 0， deg f (x) = 3

  3. 多項式相等 設 f (x)=anxn+an–1xn–1+……+a1x+a0(an≠0) g (x)=bmxm+bm–1xm–1+……+b1x+b0(bm≠0) 若n = m且an= bm，an–1= bm–1，……，a0= b0 則 f (x)=g(x)

  4. 多項式的加法 設 f (x) = an xn+an–1xn–1+……+a1x+a0 g (x) = bm xm+bm–1xm–1+ ……+b1x+b0 當n ≥m時：f (x) + g(x) = an xn+an–1xn–1+ …… +am+1xm+1+(am+bm)xm+ ……+(a1+b1)x+(a0+b0) 當n < m時：f (x)+g(x) = bm xm+bm–1xm–1+ …… +bn+1xn+1+(an+bn)xn+ ……+(a1+b1)x+(a0+b0)

  5. (1) 橫式計算法： 原式 =6x3 - 2x + 1 - 2x2 - 2x - 6 = 6x3 – 2x2 – (2+1) x + (1-6) = 6x3 – 2x2 – 3x -5 (2) 直式計算法： 6x3 - 2x + 1 - ) 2x2 + x + 6 6x3 -2x2 - 3x- 5 ( 6x3 -2x+1 ) - ( 2x2 +x+6 )=?

  6. (3) 分離係數法：同直式計算法，但不寫出變數 x 遇缺項即補 0。 6 + 0 – 2 + 1 - ) 2 + 1 + 6 6 – 2 - 3 - 5

  7. 多項式的乘法 設 f (x) = anxn+an–1xn–1+ ……+a2x2+a1x+a0 g (x) = bmxm+bm–1xm–1+ ……+b2x2+b1x+b0 則f (x)與g(x)的乘積為 f (x)．g(x) = anbmxn+m+(an–1bm+anbm–1)xn+m–1+…… +(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0b1+a1b0)x+a0b0

  8. 求 f (x) = x2 + 4x –6 與 g (x) = 3x – 7的乘積f (x)‧g (x) 。 f (x)‧g (x) = ( x2 + 4x – 6 )(3x – 7) = ( x2 + 4x – 6 )‧(3x) + ( x2 + 4x – 6 )‧(-7) 〔分配律〕 = ( 3x3 + 12x2 -18x) + (-7x2 - 28x + 42 ) 〔分配律及指數律〕 = 3x3 + 5x2 – 46x + 42 〔多項式相加〕

  9. 【另解】計算過程有時也會用直式來寫：

  10. 令 f (x) = x2 +1 = 1 x2 + 0‧x + 1 g (x) = 4 - x+ 2x2 = 2x2 - x+ 4 則 ∴ ( x2 +1 )( 4 -x + 2x2 ) = 2x4 – x3 + 6x2 – x +4 利用分離係數法求 ( x2 +1 )( 4 -x + 2x2 )

  11. 多項式除法定理 設 f (x)、g(x)為二多項式，且g(x)≠0，則恰存在二多項式q(x)及r(x)滿足 f (x) = g(x)．q(x) + r(x) 其中r (x) = 0或deg r(x) < deg g(x)

  12. 我們用分離係數法解之： 商式 q(x) = x3 + 5x +15、餘式 r(x) = 30x –10 deg r(x) = 1 < deg g(x) = 3 設 f (x) = x5-3x4+6x3-10x+5，且 g (x) = x2-3x+1，試求f (x) ÷g (x)的商式及餘式。

  13. 如果利用分離係數法，則演算式為：

  14. (anxn+an–1xn–1+……+a1x+a0) ÷ (x–b) 綜合除法演算方法

  15. 設商式為 q(x)，餘式為r(x)，則 由上式可知， 利用綜合除法計算 ( 3x3-11x2+18x-3 ) ÷( x+ ) ，所得的商式除以 3，就是 q(x) ，而所得的餘式就是所求的餘式 r(x) ， 求 ( 3x3-11x2+18x-3 ) ÷( 3x+2 ) 的商式和餘式。

  16. 故 則商式 q(x) = = 餘式 r(x) =

  17. 1.　多項式 f (x)除以x–a，餘式為f (a) 2.a≠0，多項式 f (x)除以ax–b的餘式為f ( ) 餘式定理

  18. 求 ( x3 + 3x2 - x + 4 ) ÷( x+3 ) 的餘式。 設 f (x) = x3 + 3x2 – x + 4， 則由餘式定理知所求餘式為： f (-3) = (-3)3 + 3‧(-3)2 – (-3) + 4 = -27 + 27 + 3 + 4 = 7

  19. 設 f (x) = 4x2 + x -5 ， 則由餘式定理知所求餘式為： 求 ( 4x2 + x -5 ) ÷( 2x+1 ) 的餘式。

  20. 此題若使用餘式定理將 x= –2代入被除式，將會遭遇數字太大不易計算之問題，所以我們使用綜合除法計算之。 餘式為 15 求 ( 359x5+697x4-38x3+13x2+27x+49 ) ÷( x+2 )的餘式。

  21. 設 f (x)為一多項式。若 f (x) 除以 x+1 得餘式為5，且 f (x) 除以 x-2 得餘式為8，求f (x) 除以 (x+1)(x-2)的餘式。 設 f (x) = (x+1)(x+2) ‧q(x) + mx + n， 其中 q(x)為商式，m、n為常數， 將 x = -1和 x = 2分別代入 f (x)中， ∵ f (-1) = 5、f (2) = 8 f (-1) = (-1+1)(-1-2)‧q(-1)+m‧(-1)+n = 5 ∴ f (2) = (2+1)(2-2)‧q(2) + 2m + n = 8 -m + n = 5 解得 m = 1，n = 6 2m + n = 8

  22. 因式與倍式 設f (x)、g(x)、q(x)均為多項式，且g(x)≠0 若 f (x) = g(x)．q(x) 則稱g(x)為f (x)的因式(或f (x)為g(x)的倍式)

  23. 1.x–a是多項式 f (x)的因式　 　　f (a)=0 2.ax–b是多項式 f (x)的因式　 f ( )=0 因式定理

  24. 若 x 能整除 x3 + kx2 – 1求 k的值。 由因式定理 13 + k – 1 = 0 => k = 0

  25. -m + n = 0 m + n = -2 f (-1) = 1 – m – 1 + n = 0 f (1) = 1 + m + 1 + n = 0 => 解得m = -1，n =-1 若f (x) = x4 + mx3 + x + n能被x+1 和 x-1整除，求m、n的值。

  26. 整係數一次因式檢驗法 設 f (x)=anxn+an–1xn–1+……+a1x+a0是一個整係數n次多項式，若整係數一次式ax–b為 f (x)的因式，且a、b互質，則a為an的因數且b為a0的因數。

  27. 設 ax–b為f (x) 的因式，且a、b互質 • 由因式檢驗法知 a|10，b|2 • ∴ a的可能值為 1，2，5，10；b的可能值為1，2 • (a,b)的可能組合為 (1,1) ，(1,2) ，(2,1) ，(5,1) ，(5,2) ，(10,1) • ax-b可能為 x±1，x±2，2x±1，5x ±1，5x ±2，10x±1 將 = ±1， ±2， ± ， ± ， ± ， ± 代入f (x)中， • f (1)=0，f ( )=0，f ( )=0 故 f (x)的一次因式有 x-1，2x+1，5x-2 求f(x) = 10x3 – 9x2 –3x + 2 的整係數一次因式。

  28. 代數方法解應用問題步驟 1.　認清題意，依題意設定適當的未知數 2.　由選定之未知數依題意中的關係，列 出方程式 3.　解方程式，求出未知數所代表的數值 4.　檢驗所求的答案是否合理及滿足題意

  29. 小音有一筆錢，第一天他花去了100元後，補進了餘額的三分之一。第二天他又花了100元，又補進了餘額的三分之一，第三天他又花了100元後，還是補上餘額的三分之一，結果他的錢數恰好是原來的兩倍，問他原有多少錢？小音有一筆錢，第一天他花去了100元後，補進了餘額的三分之一。第二天他又花了100元，又補進了餘額的三分之一，第三天他又花了100元後，還是補上餘額的三分之一，結果他的錢數恰好是原來的兩倍，問他原有多少錢？ 1.小音有一筆錢 => 設錢數為 x元 2.第一天花100元 => x-100 補進餘額的 1/3 => x-100+

  30. 3.第二天花100元 => 補進餘額的 1/3 => 4.第三天花100元 => 補進餘額的 1/3 => 5.最後錢數為原有的 2倍 => 若我們要求原來的錢數時，僅需解出上面最後一個方程式即可。

  31. ax2+bx+c = 0 (a、b、c為實數且a≠0)的公式解為 x= 一元二次方程式求解公式

  32. 用配方法解2x2+3x-1=0

  33. 利用公式解下列各一元二次方程式： (1) x2-8x-20=0 (2) 2x2-2x-3=0 (1)

  34. (2)

  35. 一元二次方程式根的判別 設ax2+bx+c=0(a、b、c為實數且a≠0) 1.　當b2–4ac>0時：方程式有相異二實數根 2.　當b2–4ac=0時：方程式有相等二實根 3.　當b2–4ac<0時：方程式無實數解

  36. (1) (2) (3) 判別下列各方程式何者有實根？ (1) x2+6x+9 = 0 (2) x2+3x+6 = 0 (3) x2-3x-1=0

  37. 若α、β為二次方程式ax2+bx+c=0之二根，則α+β= ，αβ= 一元二次方程式根與係數的關係

  38. 若α、β為 之二根，求： (1)α+β (2) αβ (3)α2+β2 (4) (1) (2) (3) (4)

  39. 以下列二數為根，試造一整係數方程式。 (1) 5，-2 (2) (1) (2)

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