1 / 31

Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (metoda nulových bodů)

Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (metoda nulových bodů). Seminární práce číslo: 7 Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C. Rovnice v součinovém tvaru. Rovnice ve tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule“. Při hledání kořenů budeme řešit lineární rovnice.

tamra
Download Presentation

Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru (metoda nulových bodů)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru(metoda nulových bodů) Seminární práce číslo: 7 Zpracoval : Vladimír KORDÍK T-4.C

  2. Rovnice v součinovém tvaru • Rovnice ve tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule“. Při hledání kořenů budeme řešit lineární rovnice. • ,,Klíčem“ k řešení bude skutečnost: Součin několika čísel se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule.

  3. Rovnice v součinovém tvaru • Příklad : Řešte rovnici (x-2)*(2x-3)=0 řešení: Číslo x je řešením dané rovnice právě tehdy, když x-2=0 nebo 2x+3 =0 tj. x= -2 nebo x= -3/2 Množina všech řešení dané rovnice je {2,-3/2} – je to sjednocení množin všech řešení rovnic x-2=0 a 2x-3=0.

  4. Rovnice v součinovém tvaru • Příklad: 9-t² = t+3 Řešení: 9-t²=t-3 (3+t)*(3-t) = t+3 (3-t)*(t+3)-(t+3)=0 (t+3)*(3-t-1)=0 (t+3)*(2-t) =0 t = -3 nebo t = 2

  5. Rovnice v součinovém tvaru • Příklady na procvičení : • x*(x+2) = 0 • (2x+1)*(1/2*x-4)=0 c) (4-2y)*(-3y-4) =0 d) (2*√3 -6y)*(3y+3/4)=0

  6. Nerovnice v součinovém tvaru • Nerovnice, mají podobný tvar ,jako rovnice pouze místo znaku rovnosti je v nich některý ze znaků nerovnosti(<,>,<=,>=). Půjde tedy o nerovnice tvaru ,,součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů je větší než nula“. Při řešení budeme používat také metodu nulových bodů.

  7. Nerovnice v součinovém tvaru • Způsob řešení Součin dvou čísel je větší než nula, právě tehdy, když jsou buď oba činitelé větší něž nula, nebo oba menší než nula. Proto číslo x je řešením nerovnice (x-2)(2x+3)>0 právě tehdy, když x - 2 > 0 x – 2 < 0 a současně nebo a současně 2x +3 > 0 2x +3 < 0

  8. Nerovnice v součinovém tvaru Z první soustavy dostaneme x > 2 x > -3/2 přitom 2 > -3/2, takže množinou všech řešení této soustavy je interval L1 = (2,+∞) Z druhé soustavy vypočteme x < 2 x < -3/2 a protože -3/2<2, je množinou všech řešení této soustavy interval L2 = (-∞, -3/2). Množinou K všech řešení dané nerovnice je K = (-∞, -3/2) sjednocení (2,+∞).

  9. Nerovnice v součinovém tvaru Metoda nulových bodů Je použitelná pro řešení libovolné nerovnice v součinovém tvaru, v níž se vyskytují pouze lineární dvojčleny. Kromě toho, že součin několika čísel, z nichž alespoň jedno je 0, je nulový, při ní využíváme rovněž tuto vlastnost: Součin několika nenulových čísel je záporný právě tehdy, když lichý počet činitelů je záporný – jinak je součin kladný.

  10. Nerovnice v součinovém tvaru • Nulovým bodemlineárního dvojčlenu ax+b, kde a,b Є R, a se nerovná 0, je číslo –b/a. V žádném z intervalů (-∞, -b/a), (-b/a,+∞) nemění dvojčlen ax+b znaménko. Jestliže a > 0, je v prvním z těchto intervalů záporný a ve druhém kladný, jestliže a < 0, je to obráceně. Znaménka lze zjistit dosazením libovolného konkrétního čísla z některého z obou intervalů do příslušného dvojčlenu.

  11. Nerovnice v součinovém tvaru • Příklad nerovnice (4-7x)(x+1)(10x-7)(π-x)=<0 • Řešení: Nulové body lineárních dvojčlenů na levé straně dané nerovnice , jsou postupně 4/7, -1, 7/10, π. Seřaďme je podle velikosti -1<4/7<7/10<π Těmito nulovými body je množina reálných čísel R rozdělena na pět intervalů. Sestavíme tabulky zachycující ,,chování“ všech čtyř lineárních dvojčlenů i jejich součinu [označme ho jako L(x) ] v těchto intervalech a v nulových bodech:

  12. Nerovnice v součinovém tvaru

  13. Nerovnice v součinovém tvaru • Při vyplňování posledního řádku tabulky jsme vycházeli z toho, že součin čtyř čísel, z nichž alespoň jedno je nula, je nulový a že součin čtyř nenulových čísel je záporný tehdy, když lichý počet těchto čísel je záporný. • Z tabulky vidíme, že číslo x splňuje danou nerovnici, tj. L(x)<=0; právě tehdy, když x є <-1,4/7>υ<7/10,π >

  14. Nerovnice v součinovém tvaru • Řešte nerovnice: a) (x-2)*(x+1) > 0 b) (y+3)*(y-1/2) >= 0 c) (z+1/2)*(z-1/2) <=0 d) (1-x)*(x+√2) > 0 e) (3-5y)*(3+5y)<= 0

  15. Rovnice v podílovém tvaru • Rovnice budou mít tvar ,,zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů, rovná se nule“. • Budeme používat ekvivalentní úpravu: vynásobení obou stran rovnice (vynásobení rovnice) stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a různý od nuly pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme.

  16. Rovnice v podílovém tvaru • Příklad: (2x+5) /(3x-6) = 0 Aby měl zlomek smyl, musí jeho jmenovatel být různý od nuly. V našem případě musí být 3x – 6 ≠ 0, tj. x≠2. Zlomek se rovná nule právě tehdy, když se rovná nule právě tehdy, když se rovná nule jeho čitatel. Proto jediným kořenem dané rovnice je číslo x = -5/2; je totiž řešením rovnice 2x+5=0 a je různé od čísla 2.

  17. Rovnice v podílovém tvaru • Rovnice (3x-2)/(x+5) = 2 1. způsob řešení –Ekvivalentními úpravami dostaneme : (3x-2)/(x+5) =2 (3x-2)/(x+5)-2 =0 (3x-2-2(x+5)) /x+5 =0 (x-12)/(x+5) =0 Daná rovnice mají jediné řešení x = 12.

  18. Rovnice v podílovém tvaru • 2. způsob řešení – Aby zlomek v dané rovnici měl smysl, musí být x ≠-5. Rovnici tedy řešíme v množině R \ {-5}. Vynásobíme ji výrazem x+5, který je pro každé x є R\ {-5} různý od nuly (v množině R \ {-5} jde proto o ekvivalentní úpravu): (3x-2) /(x+5) = 2 /*(x+5) 3x-2 = 2*(x+5) x = 12

  19. Rovnice v podílovém tvaru • Příklady: a) (7x+3)/(x+√2) =0 b) (x-3)/(x-4) = ½ c) (x-3)/(x-4) = 1 d) (x-√5)/(x+√5) = √5

  20. Nerovnice v podílovém tvaru • Půjde o nerovnice ve tvaru ,,zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů, je větší než nula“ • Ekvivalentní úpravy: - vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahující neznámou, který je definován a kladný pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme (znak nerovnosti se nemění)

  21. Nerovnice v podílovém tvaru - vynásobení obou stran nerovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a záporný pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme, a současné obrácení znaku nerovnosti v nerovnici.

  22. Nerovnice v podílovém tvaru • Příklad : (x-2)/(x+6) >= -2 1. řešení-Ekvivalentními úpravami dostaneme : (x-2)/(x+6) >= -2 (x-2)/(x+6) + 2 >=0 (x – 2 + 2*(x+6))/(x+6) >=0 (3x+10)/(x+6) >=0 Zlomek je nezáporný právě tehdy, když buď je čitatel nezáporný a jmenovatel kladný, nebo čitatel nekladný a jmenovatel záporný. Tak dostaneme dvě soustavy lineárních nerovnic:

  23. Nerovnice v podílovém tvaru 3x+10 >=0 3x +10<= 0 x +6 > 0 x +6 < 0 Množinou všech řešení první soustavy je interval L1 = <-10/3,+∞), a druhé soustavy L2 = (-∞,-6). Množina K všech řešení dané nerovnice je sjednocení těchto intervalů : K= L1 υ L2 = (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)

  24. Nerovnice v podílovém tvaru • 2.řešení- Řešení metodou nulových bodů. Množinu reálných čísel R rozdělíme na tři intervaly nulovými body -10/3, -6 lineárních dvojčlenů v čitateli a jmenovateli příslušného zlomku. V tabulce zachytíme ..chování“ obou lineárních dvojčlenů i jejich podílu:

  25. Nerovnice v podílovém tvaru Z posledního řádku tabulky vyčteme, že zlomek (3x+10)/(x+6) je nezáporný právě tehdy, když x є (-∞,-6) υ <-10/3,+∞)

  26. Nerovnice v podílovém tvaru Při řešení nerovnice pomocí metody nulových bodů. Při vyplňování posledního řádku tabulky jsme vycházeli z následujících poznatků. Pro zlomek, který má v čitateli i jmenovateli číslo nebo součin několika čísel ,platí: • Je-li alespoň jeden z činitelů ve jmenovateli nulový, není zlomek definován (nemá smysl) • jsou-li všichni činitelé ve jmenovateli nenuloví a alespoň jeden činitel v čitateli nulový, je zlomek roven nule • Jsou-li všichni činitelé v čitateli i jmenovateli nenulový, potom zlomek je záporný právě tehdy, když lichý počet těchto činitelů je záporný – jinak je zlomek kladný.

  27. Nerovnice v podílovém tvaru • 3.řešení- Aby měl zlomek v dané nerovnici smysl, musí být x ≠-6. Nerovnici tedy řešíme v množině R\{-6}. Chceme-li ,,odstranit“ zlomek, musíme nerovnici vynásobit výrazem x+6. Abychom to mohli udělat, musíme vědět, jaké má tento výraz známého. Proto množinu R\{-6} rozdělíme na dva diskjunktní intervaly (-∞,-6) a (-6,+∞).

  28. Nerovnice v podílovém tvaru • a) Uvažujeme x є(-∞,-6). Potom x+6 <0 a při vynásobení dané nerovnice tímto výrazem musíme obrátit znak nerovnosti: (x-2)/(x+6) >= -2 /*(x+6)<0 x-2 <= -2*(x+6) x <= -(10/3) Z čísel x є(-∞,-6) jsou tedy řešením dané nerovnice ta, pro která platí x <= -(10/3), tj.čísla x є(-∞,-6) ∩ (-∞,-10/3> = (-∞,-6).

  29. Nerovnice v podílovém tvaru • b) Nyní uvažujme x є(-6,+∞). Tentokrát je x+6>0 a znak nerovnosti zůstane při násobení výrazem x+6 zachován: (x-2)/(x+6) >= -2 /*(x+6)>0 x >= -(10/3) V intervalu (-6, +∞) dostáváme řešení x є(-∞,-6) ∩ <-10/3, +∞) = <-10/3,+∞).

  30. Nerovnice v podílovém tvaru Množinou K všech řešení dané nerovnice získáme jako sjednocení množin jejich řešení v obou uvažovaných řešení : K= (-∞,-6) υ <-10/3, +∞)

  31. Nerovnice v podílovém tvaru • Řešte nerovnice : a) (x+4)/(2+x) <0 b) (2x+3)/(x-2) >0 c) (5-z)/(z-2π) >=0 d) (z+1)/(√5 -2z) <=0

More Related