第 16 章 达朗伯 ( D ′ Alembert) 原理

1. ※引 言 ※几个工程实际问题 ※质点的惯性力与动静法 ※质点系的达朗伯原理 ※刚体惯性力系的简化 ※动绕定轴转动刚体的轴承动反力 ※结论与讨论 第16章达朗伯( D′Alembert)原理

2. 引 言  引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理（动静法）。  达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问 题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。  达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求 解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求 解动应力。

3. 几个工程实际问题

4. 几个工程实际问题 爆破时烟囱怎样倒塌

5. 几个工程实际问题

6. F ma z FI FN m A s O y x §16-1 惯性力·质点的达朗伯原理 根据牛顿定律 ma ＝ F + FN F + FN－ ma ＝0 FI＝－ ma F + FN＋FI＝0 非自由质点的达朗伯原理 F —— 主动力； 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。 FN —— 约束力； FI —— 质点的惯性力。

7. 动静法 应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法 FI＝－ ma F + FN＋FI＝0 1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。 非自由质点达朗贝尔原理的投影形式

8. 离心调速器 例 题 1 m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 已知： x1 O1 FI l l 求： －  的关系。   A  B FT3 FT1 ′ FT2 l l B C C m1g m2g FT1 y1 解：1、分析受力：以球B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和约束力 2、分析运动：施加惯性力。 球绕O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为 FI＝m1l 2sin 重锤静止，无惯性力。

9. FI FT3 FT1 ′ FT2 B C m1g m2g FT1 3、应用动静法： 对于球 B 对于重锤 C

10. y O 平衡位置 例 题 2 振动筛 y＝a sin  t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率

11. y FN FI m a y mg 平衡位置 O 解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。 (a) 当其在平衡位置的上方 FI＝ma 2sin t 应用动静法 颗粒脱离台面的条件 FN＝0， sin t＝1时，  最小。

12. y mg 平衡位置 O FN y a m FI (b) 当其在平衡位置的下方 解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 颗粒在平衡位置以下时不会 脱离台面。

14. F1 FI1 m1 a1 FN1 FNi ai mi FIi FI2 Fi FN2 m2 F2 a2 §16-2 质点系的达朗伯原理 质点系的主动力系 质点系的约束力系 质点系的惯性力系 对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到

15. 例 题 3 已知：m，l，  ， 求：BC绳的张力及A 处约束反力。 FT B C  FAy A FAx x B FI mg  dFI A 解： 取AB 杆为研究对象 分析AB 杆的运动，计算惯性力

16. FT B C  FAy A FAx x B FI mg  dFI A

17. 例 题 4 已知：m，R， 。 求：轮缘横截面的张力。 R O  FIi y d  x O FT FT 解： 取上半部分轮缘为研究对象

18. §16-3 刚体惯性力系的简化 刚体惯性力系特点  刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及 刚体上各点的绝对加速度有关。 FIi＝－miai  对于平面问题(或者可以简化为平面问题)， 刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。  对于一般问题，刚体的惯性力为体积力， 组成空间一般力系。

19. m1 m2 m aC mn FI1 a1 a2 FI2 FIR an FIn  惯性力系的主矢 惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。  惯性力系的主矩－惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。 1、刚体作平动 刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。

20. mi C C MIO MIO       O O O 2、刚体绕定轴转动

21. C MIC MIO     O O 当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。

22. MIC C  aC 3、刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。

23. 已知：m , h , , l。 B 例 题 5 D 求：A、D处约束反力。 h A  a B D FI C FAy FN A mg FAx 其中： 解： 取 AB杆为研究对象

24. B D FI C FAy FN A mg FAx 其中：

25. b 例 题 6 已知：m , h ,a , b, f。 求：为了安全运送货物，小车的 amax。 C h a FI C mg D F d FN 解： 取 小车杆为研究对象 货物不滑的条件：F≤ f FN ， a≤ f g 货物不翻的条件：d ≤ b/2， a≤ bg/h 为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。

26. 例 题 7 已知：AB杆质量为m,长为l=2r , A B l 圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。 r 求：A 端的约束反力。  O  FAy MA A C B FAx mg O MIO 解： 取 AB 杆为研究对象 （1）分析运动，施加惯性力。

27. FAy MA A C B FAx mg O MIO

28. MIC FAy MA A C B FAx mg （2）将惯性力系向质心C简化。

29. 例 题 8 已知：A物体与轮 C的质量 M 均为m，BC 杆的质量为m1，长为l，在轮 C上作用一主动力偶 M 。 C B 求：（1）A物体上升的加速度； （2）B端的约束反力。 l FCy M A FCx C MIC mg 其中： A mg FIA 解： （1）取 A物体与轮C为研究对象

30. FCy M FCx C MIC mg 其中： A mg FIA

31. B C m1g ' ' MB FCx FCy FBy FBx （2）取 BC杆为研究对象

32. 例 题 9 A B O 已知：两均质直杆自水平位置 无初速地释放。 求： 两杆的角加速度和 O、A处的约束反力。 MI2 FI2 FI1 MI1 1 2 A B FOx O mg mg FOy 解: (1)取系统为研究对象

33. MI2 FI2 2 FAx mg FAy (2) 取AB 杆为研究对象 A B

34. MI2 FI2 2 FAx mg FAy (2) 取AB 杆为研究对象 A B

35. MI2 FI2 FI1 MI1 1 2 A B FOx O mg mg FOy (3)取系统为研究对象

36. 例 题 10 O 质量为m和2m，长度分别为l和2l的匀 质细杆OA 和AB 在A 点光滑铰接，OA 杆的A端为光滑固定铰链，AB杆的B端 放在光滑水平面上。初瞬时，OA杆水 平，AB杆铅直。由于初位移的微小扰 动，AB杆的B端无初速地向右滑动， 试求当OA杆运动到铅垂位置时，A点 处的约束反力。  A B 解: (1)取系统为研究对象，由动能定理得：

37. O  1 FAx ′ A 2 FIy MIC FAy ′ A FIx C B FAx 2mg FNB FAy (2)取OA杆为研究对象 (3)取AB 杆为研究对象

38. O  1 A 2 2 A C B A B (4)对AB 杆进行运动分析 取A点为基点，研究B点 取A点为基点，研究C点

39. O  1 FAx ′ A 2 FIy MIC FAy ′ A FIx C B FAx 2mg FNB FAy (2)取OA 杆为研究对象 (3)取AB杆为研究对象

40. 解得： O  1 FAx ′ A 2 FIy MIC FAy ′ A FIx C B FAx 2mg FAy FNB

41. 偏心状态 理想状态 FI1 FI1 m m FRA FRB A A B B m m   FI2 FI2 §16-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力 FI1>FI2 FI1＝FI2

42. 偏角状态 既偏心又偏角状态 FI1 FI1 m m FRB FRB A A B FRA B   FRA m m FI2 FI2

43. 一般状态 z ri mi MIO FIi ri FIR O  y  x

44. z ri mi MIO FIi ri FIR O  y  x

45. z ri mi MIO FIi ri FIR O  y  x

46. z A FAy FAx MIO MO FR O  y  FIR x B FBy FBx FBz

47. z A FAy FAx MIO MO FR O  y  FIR x B FBy FBx FBz 根据达朗伯原理，可列写下列六个方程： 由此可求得轴承动反力

48. 动反力→由主动力引起的静反力 +惯性力引起的附加动反力 要使附加动反力等于零，必须有：

49. 要使附加动反力等于零，必须有： 结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条 件是：转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。 通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。 避免出现轴承附加动反力的条件是：刚体转轴应为刚体的中心惯性主轴。

50. 结论与讨论  引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗伯原理。  达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的 动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外 一类方法。  达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求 解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求 解动应力。