§1.4 晶体结构的对称性

1. §1.4晶体结构的对称性 平移操作______周期平移T， 分数周期平移T/n 晶体操作 点操作（至少一点不动） _____旋转、反演、镜象等

2. 一.基本点对称操作 1.旋转操作：将晶体绕某轴旋转一定角度 后，晶体能自身重合的操作。 若转动的角度θ＝2π/n ,则称该轴为n度旋转轴。 由于晶体周期性的制约，晶体只有1，2，3，4，6五种转轴，常用C1，C2，C3，C4，C6表示。请看动画《对称操作》 说明：传统的讲法认为，晶体不存在五重轴。 2

4. 2.中心反演对称性(用i表示) 以晶体中一点O为中心。将晶体中的位矢r变为－r以后，晶体完全重合的操作。 O点称为反演中心。 请看动画GT009b

5. 3.镜象操作－－－用σ表示 在晶体中选一平面，以这平面为镜面进行镜象操作，若操作后晶体能自身重合，则说该晶体具有镜象操作对称性。 若镜面是与X轴垂直的Y－Z面，镜象操作相当于坐标变换：x -x, y,z不变。 请看动画《GT009》

6. 4.旋转－反演操作（象转操作） 若绕某轴旋转θ＝2π/n 角度后再经中心反演，晶体能自身重合，则称该操作为旋转－反演操作，此轴称为n度旋转－反演轴。n=1,2,3,4,6.分别用C1，C2，C3，C4，C6表示。 可以证明， C1 i C2 σ镜面垂直于转轴

7. C3 C3 i(表示联合操作） 类似，C6 C3 σ（ σ与C3轴垂直） 以上要求左、右互为充要条件，且C3 ,C6与C3为同一转轴。 注意： 与C4,i并不互为充要条件。 请看动画GT021a和GT021b。

8. 可选以下操作为晶体结构基本点对称操作 C1，C2，C3，C4，C6，i,σ, C4 共八个 把晶体按照点对称性进行分类，可分成 32类,称为32种点群， 把B格子按照点对称性进行分类，可分成 7类，称为七种晶系。 45

9. 二.分数周期平移T/n 平移：a.周期平移T，晶体自身重合； b.分数周期平移T/n，本身并不能使晶体 自身重合，而与转动或镜象操作结合后 才能使晶体重合，即二者结合构成一个 操作。 1.n度螺旋轴U：绕轴旋转2π/n，再沿该轴平移 L×T/n，其中T为轴方向的周期，n=1,2,3,4,6， L为小于n的整数。

11. 2.滑移反映面 先经过某面进行镜象操作，再沿平行于该面的某个方向平移T/2后，晶体自身重合，则称该面为滑移反映面。（见图）

13. 考虑了平移操作后，晶体共有230种对称类型，称为230种空间群考虑了平移操作后，晶体共有230种对称类型，称为230种空间群 B格子共有14种对称类型，称为14种B格子。

14. 晶体结构 点群数 32 空间群 230 布拉菲格子 7 （七种晶系） 14 （十四种B格子） 四.七种晶系和十四种布拉菲格子

15. 讨论：超出空间群的结构 1. Penrose拼砌图和准晶

17. 在急冷的Al-Mn合金中获得了具有二十面体对称性(包括五重对称轴)、斑点明锐的电子衍射图。可认为，这是三维准周期结构，简称准晶(quasicrystal)。在急冷的Al-Mn合金中获得了具有二十面体对称性(包括五重对称轴)、斑点明锐的电子衍射图。可认为，这是三维准周期结构，简称准晶(quasicrystal)。

18. 2．色群和磁结构 如果我们将太极图沿垂直于图面的轴旋转180’，再引入一个新的对称操作：黑白颠倒，图形就可以复原。

20. 黑白群也可以看作三维空间群朝四维的推广，而第四个维度限于两种值：黑与白，正与反。当然可以推广到多种颜色。还可以是波函数的相位、自旋、电荷符号等。这类广义的对称群被称为色群。黑白群也可以看作三维空间群朝四维的推广，而第四个维度限于两种值：黑与白，正与反。当然可以推广到多种颜色。还可以是波函数的相位、自旋、电荷符号等。这类广义的对称群被称为色群。 磁结构是由磁性材料的晶体结构加上磁性原子的磁矩构成的。磁对称群是一种色群，第四个变量为磁性原子的自旋。在一般的对称操作基础上，加上使磁矩反转的操作，可把230种空间群增加到能描述铁磁和反铁磁性晶体对称性的1651个对称群，这还不包括螺旋磁结构。

21. 3．无公度调制结构

22. 无公度调制是指在基本晶格(周期为a)上附加一个周期为 的某种调制，／a为无理数，就得到无公度调制，得到的相为无公度相 。 在无公度相中，调制只对基本晶格产生另一周期的微扰，基本晶格的衍射图样仍然保留，但在正常衍射斑点之间偏离有理分数处出现卫星斑点。 无公度相严格来讲也是一种准周期结构 。 30