第五章 定积分及其应用

1. 第五章 定积分及其应用 • 定积分是积分学中最重要的概念之一，同导数概念一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的。用定积分的方法能解决大量的科学技术及经济管理中的计算问题。 • 本章将学习定积分的概念、性质、计算及其在几何、物理等方面的应用。

2. 内容提要 第一节　定积分的概念 第二节　微积分基本公式 第三节　定积分的换元法 第四节　定积分的分部积分法 第五节　无穷区间上的广义积分 第六节　定积分的应用举例

3. 第一节 定积分的概念 • 重点：定积分的概念和性质 • 难点：定积分概念的理解

4. y a o b x 一、两个实例 实例1（求曲边梯形的面 积）

5. 在初等数学中，以矩形面积为基础，解决了较复杂的直边图形的面积问题.现在的曲边梯形有一条边是曲线，所以其面积就不能按照初等数学的方法来计算.困难就在于曲边梯形底边（区间）上的高是变化的，而且这种变化规律不是线性的.但由于曲线是连续的，所以当在上的变化很小时，相应的高的变化也很小.由于这个想法，可以用一组平行于轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，只要分割的充分细，每个小曲边梯形就很窄，则其高的变化就很小，

6. y y a a o o b b x x 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

7. 曲边梯形如图所示，

8. 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为

9. 实例二、求变速直线运动的路程 • 思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。

10. 部分路程值 某时刻的速度 （1）分割 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值

11. 二、定积分的定义 定义

12. 被积函数 积分变量 被积表达式 记为 积分和 积分上限 积分下限

13. 注意：

14. 三、存在定理 定理1 定理2

15. 四、定积分的几何意义

16. 几何意义： a b

17. 例1、用定积分表示下列图中阴影部分的面积

19. 解：根据定积分的几何意义，解题如下：

21. 五 定积分的性质 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．

22. 性质1 证

23. 性质2 证

24. 性质3 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性）

25. 性质4 证

26. 性质5（定积分中值定理） 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知

27. 使 即 积分中值公式的几何解释：

28. 第二节 微积分基本公式 • 重点：牛顿—莱布尼兹公式 • 难点： 积分上限的函数

29. 一、问题的提出 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为

30. 二、积分上限函数及其导数 考察定积分 积分上限函数 记

31. 积分上限函数的性质 证

32. 由积分中值定理得

36. （2）

38. 　分母的导数为 所以有

39. 三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（微积分基本公式） 证

40. 令 令 牛顿—莱布尼茨公式

41. 微积分基本公式表明： 求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意

42. 例４　计算下列定积分 （1） (2) (3) (4) (5)

46. 第三节 积分的换元法 • 重点与难点： • 掌握定积分的换元积分公式 牛顿－莱布尼茨公式把定积分的计算问转化为求原函数（不定积分）的问题，因而求不 定积分的各种具体方法经过适当的变化，都可 用于求定积分，本节我们来学习定积分的换元 法.

49. 解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。解法2要比解法1简便些，因为它省去了变量回代这一步。 一般的，定积分的换元法可表述为：

50. 把原变量 （1）用 时，积分限也要换成相应于新变量 换成新变量 回代，而直接代入新变量 的上下限，然后相减就 定积分的换元法有两个特点： 的积分限.即所谓的“换元必换限.”（２）求出 的一个原函数后，不必象不定积分那样再把原变量 可以了。