Bézier und NURBS

1. Bézier und NURBS Kurven & Flächen Vortrag von Stefan Endler 06.01.2005 Computergraphik Seminar WS 2004/05 Prof. Elmar Schömer

2. Inhalt Historie Kurven Flächen

3. Historie • Römerzeitalter: Benutzung eines Templates um Schiffsrippen herzustellen • 13. – 16. Jh.: Weiterentwicklung durch die Venezianer • 1752: Erstes auftreten eines „splines“. Vortrag über Kurven und Flächen

4. Historie • Mathematik: • 1959: Paul de Faget de Casteljau wird bei Citröen angestellt und beginnt seine Forschung. • 1960: P. Bézier beginnt seine Forschung bei Peugeot • 1960: C. de Boor angestellt bei General Motors entdeckt B-spline Kurven Generalisierung zu NURBS (NonUniform Rational B-splineS) Vortrag über Kurven und Flächen

5. Historie • 1971: Erste Konferenz in Paris mit u.a. P.Bézier • 1974: Erste Schritte in CAGD (Computer Aided Geometric Design) von R.Barnhill und R.Riesenfeld an der Universität von Utah • 1979: Erstes Buch von I.Faux und M.Pratt. „Computational Geometry for Design and Manufacture“ Vortrag über Kurven und Flächen

6. Kurven • Nicht Rationale Bézier Kurven • Rationale Bézier Kurven • Eigenschaften von Kurven • NURBS Vortrag über Kurven und Flächen

7. Nicht Rationale Bézier Kurven • Bernstein Polynome • Definition • De Casteljau Algorithmus • Degree Elevation Vortrag über Kurven und Flächen

8. Bernstein Polynom • Allgemeine Darstellung von Bernstein Polynomen: • Rekursiv: Vortrag über Kurven und Flächen

9. Bézier Kurve Definition einer Bézier Kurve: • bi sind hierbei die Punkte • n gibt den Grad der Kurve an Vortrag über Kurven und Flächen

10. Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: • Gegeben sind die Kontrollpunkte • Gesucht sind die Punkte der Kurve an der Stelle t. • Formel: • In jedem Schritt wird aus 2 Punkten, ein neuer definiert in Relation t : (1-t) Vortrag über Kurven und Flächen

11. Bézier Kurve Subdivision: Beispiel: Kurve mit Grad 4 Vortrag über Kurven und Flächen

12. Bézier Kurve Degree Elevation • Technik zum Erhöhen des Grades einer Kurve • Formel: wobei b-1 = bn+1 = 0 BezierKurve.exe Vortrag über Kurven und Flächen

13. Rationale Bézier Kurve • Definition • De Casteljau • Weight Points • Anwendungsbeispiel Vortrag über Kurven und Flächen

14. Rationale Bézier Kurve Definition einer rationalen Bézier Kurve: • wi ist das Gewicht für den bi-ten Punkt • Sind alle wi = 1, so erhält man die bekannte nicht rationale Bézier Kurve Vortrag über Kurven und Flächen

15. Rationale Bézier Kurve Der de Casteljau Algorithmus: • Es gibt 2 Varianten des Algorithmus: • Alle Punkte werden umgewandelt zu homogenen Koordinaten • Formel: wobei Vortrag über Kurven und Flächen

16. Rationale Bézier Kurve • Weight Points ist eine Möglichkeit der Geometrischen Umsetzung von Gewichten • Definition von Weigth Points: • Umrechnung zu Gewichten: RationalBezierCurve.exe Vortrag über Kurven und Flächen

17. Rationale Bézier Kurve Anwendungsbeispiel • Conics werden durch 3 Punkte und einem Gewicht repräsentiert • w0 = w2 = 1 • Es ergeben sich 3 Fälle von Kurven: • w1 < 1  Ellipse • w1 > 1  Hyperbel • w1 = 1  Parabel Vortrag über Kurven und Flächen

18. Eigenschaften • Endpoint interpolation: • x(0) = b0 • x(1) = bn • Symmetrie: bo,…,bn und bn,…,b0 beschreiben die gleiche Kurve • Konvexe Hülle Die Kurve liegt auf jeden Fall im Kontrollpolygon, welches die Punkte bi bilden. • … Vortrag über Kurven und Flächen

19. NURBS • Definition • B-Spline Basic Function Vortrag über Kurven und Flächen

20. NURBS Definition einer NURBS Kurve • m gibt den Grad der Kurve an • di sind die „de Boor“ Punkte (i = 0,…,n) • wi sind die Gewichte • Knot Sequence: Vortrag über Kurven und Flächen

21. B-Spline Basic Function • Wichtige Funktion für die Darstellung von NURBS • Rekursive Formel: wobei Vortrag über Kurven und Flächen

22. B-Spline Basic Function Vortrag über Kurven und Flächen

23. Flächen • Viereckige Bézier Flächen • Dreieckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

24. Viereckige Bézier Flächen Hyperbolic Paraboloid • Einfachste Form von Bézier Flächen dargestellt durch 4 Punkte • Verallgemeinerung: oder umgeschrieben Vortrag über Kurven und Flächen

25. Viereckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

26. Dreieckige Bézier Flächen • Definition: • Bivariate Bernstein Polynomials: Vortrag über Kurven und Flächen

27. Dreieckige Bézier Flächen Vortrag über Kurven und Flächen

28. Vielen Dank für ihre Aufmerksamkeit