Klasa 1 1

1. Klasa 11 Układ współrzędnych

2. Przestrzeń i Układ Odniesienia. Przestrzeń jest kreowana przez obiekty, które się w niej znajdują. Czy można określić odległość w świecie składającym się z dwu obiektów: punktu i jego pustego otoczenia? Dwa punkty wyznaczają prostą. Trzy nie leżące na jednej prostej wyznaczają płaszczyznę. Cztery punkty nie leżące na jednej płaszczyźnie wyznaczają przestrzeń trójwymiarową. Układ odniesienia tworzą te punkty, które uznajemy za nieruchome.

3. Układ Kartezjański Prostokątny Prawoskrętny Współrzędne punktu zapisujemy: (X,Y,Z) Układ Kartezjański Prostokątny Lewoskrętny Współrzędne punktu zapisujemy: (X,Y,Z) Układ współrzędnych.

4. Układ współrzędnych c. d.inne układy współrzędnych Układ Skośnokątny Układ biegunowy Zapis współrzędnych (x,y) Zapis współrzędnych (r,a)

5. Droga a Przesunięcie Różnica pomiędzy drogą a przesunięciem:

6. Droga a Przesunięcie Drogę można przedstawić jako „sumę” nieskończonej ilości nieskończenie małych przesunięć. Suma tych przesunięć równa jest całkowitemu przesunięciu

7. Klasa 12 wektory

8. Wektory i skalary Wielkości skalarne to: masa, temperatura, powierzchnia, wartość szybkości, praca itp.. Wielkości skalarne są całkowicie określone przez podanie liczby i jednostki. Na przykład: 2kg, 300C, 2cm2 itp.. Do pełnego określenia wielkości wektorowej należy oprócz wielkości liczbowej i jednostki podać kierunek i zwrot. Wielkościami wektorowymi na przykład są: przesunięcie, prędkość, przyspieszenie, siła itp.. Na przykład: przemieściłem się o 2 m, poruszając się na kierunku północ-południe w stronę północy. Dwa metry to wartość wektora przesunięcia. Północ-Południe to zwrot tego wektora. Wyrażenie „w stronę północy” określa zwrot tego wektora. Wektor to odcinek z wyróżnionym początkiem i końcem. Wartość wektora to jego długość (w odpowiednich jednostkach). Kierunek wektora to prosta na której leży i wszystkie proste do niej równoległe. Zwrot określa jak względem siebie zorientowane są początek i koniec tego wektora Wyjątek stanowi wektor o długości równej zero. (ma dowolny kierunek i zwrot)

9. Działania na wektorach ; informacje wstępne xp, yp – odpowiednio współrzędne na osiach X i Y początku wektora r. xk, yk – odpowiednio współrzędne na osiach X i Y końca wektora r. [(xk-xp) ; (yk-yp)] – zapis wektora r, (xk-xp) – współrzędna tego wektora na osi X, (yk-yp) – współrzędna tego wektora na osi Y. Inny sposób zapisu: jeśli wektor i oraz wektor j są jednostkowymi wektorami leżącymi odpowiednio na osiach X i Y to możemy zapisać: (xk-xp) i + (yk-yp) j = r Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa długość – wartość wektora r jest równa: {(xk-xp)2 + (yk-yp)2}1/2 = IrI

10. Działania na wektorach ; dodawanie Niech współrzędne wektora r1 wynoszą odpowiednio xr1 i yr1 czyli r1=[xr1; yr1] i niech analogicznie r2=[xr2; yr2]. Wówczas: r1 + r2 = [(xr1 + xr2) ; (yr1 + yr2)]

11. Działania na wektorach ; mnożenie i dzielenie przez skalar Mnożenie przez liczbę dodatnią powoduje odpowiednie wydłużenie lub skrócenie wektora. Niech wektor r = [4;-3], długość tego wektora (42+(-3)2)1/2 = 5 Po przemnożeniu przez 2: 2r = [2.4 ; 2.(-3)] = [8;-6], długość tego wektora wynosi (82+(-6)2)1/2 = 10 Po podzieleniu przez 2 lub, inaczej, pomnożeniu przez 0,5: 0,5r = [0,5.4 ; 0,5.(-3)] = [2;-3/2], jego długość wynosi (22+(-3/2)2)1/2 = 5/2 Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną oprócz skutków jak przy mnożeniu przez liczbę dodatnią, powoduje dodatkowo zmianę zwrotu wektora uzyskanego w wyniku działania w stosunku do wektora przed wykonaniem tego działania.

12. Działania na wektorach ; odejmowanie Niech współrzędne wektora r1 wynoszą odpowiednio xr1 i yr1 czyli r1=[xr1; yr1] i niech analogicznie r2=[xr2; yr2]. Wówczas: r1 - r2 = [(xr1 - xr2) ; (yr1 - yr2)] Odjęcie wektora r2 od wektora r1 polega na pomnożeniu wektora r2 przez -1 a następnie dodaniu tak otrzymanego do r1.

13. Działania na wektorach ; skalarne mnożenie wektorów. W wyniku mnożenia skalarnego dwu wektorów otrzymujemy skalar. W przypadku jak na rysunku wektor a razy wektor b = długość wektora a razy długość rzutu b na kierunek a W przypadku jak na rysunku wektor a razy wektor b = -długość wektora a razy długość rzutu b na kierunek a Oczywiście mnożenie skalarne wektorów jest przemienne Wektor a razy wektor b = wektor b razy wektor a

14. Działania na wektorach ; skalarne mnożenie wektorów c.d. Jeśli kąt pomiędzy wektorami a i b jest równy a, to długość rzutu wektora a na kierunek wektora b jest równa wartości bezwzględnej iloczynu długości wektora a i cosinusa kąta a. I rzut a na kierunek b I = I ab I = I a cos a I = I a I I cos a I analogicznie: I ba I = I b I Icos a I Ponieważ i więc: a b = I a I I b I cos a

15. Działania na wektorach ; skalarne mnożenie wektorów c.d. a b = ax bx + ay by W wypadku przedstawionym na rysunku: a b = (1-(-2))(4-(-2)) + (1-3)(5-3) = 14 Dla wektorów w trójwymiarowej przestrzeni: a b = ax bx + ay by + az bz Ostatecznie zapamiętać należy: a b = I a I I b I cos a = ax bx + ay by + az bz

16. Mnożenie skalarne wektorów przykład. Wektory a i b mają taką samą długość (10). Kąt pomiędzy wektorami wynosi 60o. Kąt pomiędzy każdym z wektorów a osią X wynosi 30o. Wówczas: a = [5(3)1/2 ; 5], b = [5(3)1/2 ; - 5] a b = 5(3)1/2 5(3)1/2 + 5(-5) = 50 Można policzyć inaczej: a b = 10.10.cos(60o) = 50

17. Wektorowe mnożenie wektorów Iloczynem wektorowym dwóch wektorów u i w nazywamy funkcję wektorową określoną wzorem: Długość wektora v będącego iloczynem wektorowym wektorów u i w wyraża się wzorem: Uwaga: + + + - - -

18. Klasa13 Względność ruchu. Szybkość.

19. Względność ruchu To czy poruszam się czy nie, zależy od wybranego układu odniesienia, do którego na sztywno przymocowany jest układ współrzędnych. Stojąc na Ziemi jestem względem niej nieruchomy, jednocześnie poruszam się z szybkością około 30 km/s wraz z Ziemią po orbicie dookoła Słońca. Opisy sytuacji, opisy przebiegów procesów, będą różne gdy obserwacje przeprowadzą obserwatorzy związani na stałe z różnymi układami odniesienia. Skutki, wyniki tych procesów nie zależą od obranego układu odniesienia. Inną szybkość motorówki płynącej po rzece zaobserwuje obserwator stojący na brzegu, inną znajdujący się na tratwie płynącej z nurtem tej rzeki. Obaj Jednak będą zgodni co do tego, w którym miejscu rzeki się ona znajduje. Do transformacji pomiędzy różnymi układami odniesienia jeszcze wrócimy. Na razie przyjmujemy, że czas we wszystkich układach odniesienia płynie tak samo. Założenie to jest przyjęte w tak zwanej Transformacji Galileusza.

20. Zadanie przykładowe – wioślarz i rzeka.. Rzeką, pod prąd, płynie wioślarz. Rzeka płynie z szybkością Vrz względem brzegu. Wioślarz względem wody płynie z szybkością Vw, to znaczy taką szybkość rozwijałby względem brzegu gdyby woda była nieruchoma. Ponieważ płynie pod prąd to względem brzegu porusza się z szybkością Vw – Vrz. (Warto w tym miejscu zastanowić się co mamy na myśli używając powyższych symboli, Vw – Vrz może mieć wartość dodatnią lub ujemną, w zależności od tego, która z tych wartości jest większa.) W pewnym momencie z łodzi wypadło koło ratunkowe. Po upływie czasu T od tego zdarzenia wioślarz zorientowawszy się zawrócił. Po jakim czasie od zawrócenia wioślarz dotrze do koła? Zakładamy, że zawracanie trwało tak krótko iż czas jego trwania jest pomijalnie mały oraz, że płynąc po koło rozwija względem wody tę samą szybkość Vw.

21. Zadanie przykładowe – wioślarz i rzeka.. – rozwiązanie, sposób pierwszy. Rozwiązując zadanie będę badał położenie koła i wioślarza w układzie odniesienia związanym z brzegiem. Przyjmuję układ współrzędnych związany z brzegiem, o osi X równoległej do brzegu i skierowanej zgodnie z nurtem rzeki. Niech początek układu znajduje się w miejscu w którym wypadło koło. Przy tych założeniach, od momentu zgubienia do zawrócenia współrzędne położenia wioślarza i koła zmieniają się jak następuje: Xk = Vrz.t a w momencie zawracania Xkz = Vrz.T Xw = (Vrz –Vw).t wynoszą: Xwz = (Vrz –Vw).T Analogicznie współrzędne te w chwili dotarcia wioślarza do koła wynoszą: Xks = Vrz.T + Vrz.ts Xws = (Vrz –Vw).T + (Vrz + Vw).ts gdzie ts oznacza czas pomiędzy zawróceniem i spotkaniem wioślarza z kołem. Ponieważ spotkanie oznacza znalezienie się w tym samym miejscu w tym samym czasie więc: Vrz.T + Vrz.ts = (Vrz –Vw).T + (Vrz + Vw).ts Po redukcji: 0 = –Vw.T + Vw.ts . Stąd wniosek, że T = ts co stanowi rozwiązanie.

22. Zadanie przykładowe – wioślarz i rzeka.. – rozwiązanie, sposób drugi. Rozwiązując zadanie będę badał położenie koła i wioślarza w układzie odniesienia związanym z wodą. W tym układzie odniesienia koło jest nieruchome. Wioślarz najpierw oddala się od koła z szybkością Vw a następnie przybliża z tą samą szybkością. Staje się oczywiste, że czas od zgubienia koła do zawrócenia jest równy czasowi od zawrócenia do spotkania z kołem. Ciekawe, że analogiczne zadanie: „Pociąg jedzie z szybkością Vrz. W pociągu idzie w kierunku przeciwnym do kierunku jazdy człowiek z szybkością Vw (względem pociągu). W pewnym momencie gubi kółko od kluczy. Po czasie T orientuje się, że zgubił kółko. Zawraca i idzie z tą samą szybkością. Po jakim czasie od zawrócenia dotrze on do zguby.” z reguły rozwiązywane jest w układzie związanym z pociągiem a nie z Ziemią, względem której porusza się ten pociąg.

23. szybkość Jeśli potrafimy odróżnić stan ruchu od bezruchu to możemy zastanowić się co to jest szybkość. Załóżmy, że punkt porusza się po prostej. Wraz z czasem zmienia on swoje położenie. Położenie określamy podając współrzędną. Obserwujemy więc zmiany współrzędnej położenia tego punktu wraz z upływem czasu. Niech w czasie: Dt = tko – tpo położenie to ulegnie zmianie o: Dx = xk – xp gdzie: tko i tpo to czas odpowiednio końca i początku obserwacji a xk i xp to współrzędne jakie miał ten punkt w momencie zakończenia i rozpoczęcia tej obserwacji. Zauważmy, że zmiana czasu (Dt) zawsze jest większa od zera, natomiast znak zmiany położenia (Dx) jest dodatni lub ujemy w zależności od tego, w którą stronę wybraliśmy dodatni zwrot osi współrzędnych. Jeżeli zwrot osi jest zgodny z kierunkiem, w którym porusza się punkt to Dx > 0. Jeżeli zwrot osi jest przeciwny do kierunku ruchu to Dx < 0.

24. szybkość Wyrażenie nazywamy współrzędną wektora prędkości wzdłuż osi X. Wartość bezwzględną tego wyrażenia, będziemy nazywać wartością rzutu wektora prędkości na oś X. Obie te (różne) wielkości nazywać będziemy szybkością punktu wzdłuż osi X. Prędkość V = [ , , ] = [vx, vy, vz ] jest wielkością wektorową. Wyrażenie: (Vx2+Vy2+Vz2)1/2 >0 to wartość tego wektora, szybkość.

25. szybkość Wielkość , możemy obliczać dla Dt o różnych wartościach. Zazwyczaj tak obliczona szybkość, z jaką porusza się ciało wzdłuż osi X, ulega zmianie w zależności od długości przedziału czasu, w którym została wyliczona. Zmniejszając Dt dążymy do wyrażenia ,które nazywamy Szybkością chwilową. Wyrażenie nazywamy szybkością średnią. Szybkość średnia zazwyczaj nie jest średnią arytmetyczną szybkości z jakimi poruszało się ciało. Przykład: Człowiek najpierw przejechał z szybkością 100km/h, 10km jadąc na motorze. Następnie poruszając się w tym samym kierunku przeszedł dalsze 10km wlokąc się z szybkością 1km/h. Z jaką średnią szybkością przebył on całą drogę równą 20km? Pierwsze 10km przebył w 0,1h (10km:100km/h). Następne 10km przebył w 10h (10km:1km/h). Łączne przemieszczenie 20km nastąpiło w ciągu 10,1h. Zatem ,czyli średnia szybkość, jest równa około 1,98km/h (20km:10,1h)

26. Klasa14 Czytanie i rysowanie wykresów • droga lub położenie w zależności od czasu • szybkość w zależności od czasu • droga lub położenie w zależności od szybkości • szybkość w zależności od drogi lub położenia.

27. Czytanie i rysowanie wykresów Wykresy rysujemy i czytamy przy użyciu układu współrzędnych, np. dwu osi prostopadłych względem siebie: • oś pionowa, na której (zwyczajowo) umieszczamy zmienne zależne i • oś pozioma, na której umieszczamy zmienne niezależne. Przygotowane poniżej układy współrzędnych dają możliwość przedstawienia kolejno zależności: drogi od czasu, położenia od czasu, szybkości od czasu i położenia w zależności od szybkości.

28. Czytanie i rysowanie wykresów Na wykresie przedstawiono w sposób wyidealizowany zależność położenia od czasu pewnego punktu względem określonego układu odniesienia. Z wykresu tego wywnioskować można, że: Nie wiemy co działo się z punktem przed rozpoczęciem siódmej sekundy, licząc wstecz od momentu określonego jako chwila „0”. W okresie pomiędzy –7 a -4 sekundą ciało spoczywało w punkcie o współrzędnej równej 3 metry. Od rozpoczęcia -4 sekundy do zakończenia +4 ciało poruszało się ze stałą prędkością, skierowaną przeciwnie do kierunku określonego jako dodatni. Współrzędna wektora prędkości na oś wynosiła w tym czasie: -3/4 m/s. Co działo się dalej?

29. Czytanie i rysowanie wykresów Wykres przedstawia zależność szybkości od czasu w ruchu pewnego ciała. Od momentu rozpoczęcia rejestracji ruchu (początek -7 sekundy) przez 3 sekundy ciało porusza się ze stałą szybkością równą 3 m/s, w kierunku określonym jako dodatni. Przez następne 4 sekundy, aż do chwili 0, ciało porusza się w tym samym kierunku zwalniając tak, że w chwili 0 ma chwilową prędkość równą zero. W ciągu Dt = 4s zmiana szybkości DV = -3m/s. Następnie ciało rusza w stronę przeciwną w sposób stały przez kolejne 4s zwiększając wartość swojej szybkości. W ciągu tych czterech sekund przyrost szybkości DV wynosi również -3m/s. Co działo się dalej oraz co można powiedzieć o położeniu tego ciała?

30. Klasa15 Przyspieszenie i ruch jednostajnie przyspieszony

31. przyspieszenie Wyrażenie nazywamy współrzędną wektora przyspieszenia wzdłuż osi X. Wartość bezwzględną tego wyrażenia, będziemy nazywać wartością rzutu wektora przyspieszenia na oś X. Obie te (różne) wielkości nazywać będziemy przyspieszeniem punktu wzdłuż osi X. Przyspieszenie a = [ , , ] = [ax, ay, az ] jest wielkością wektorową. Wyrażenie: (ax2+ay2+az2)1/2 >0 to wartość tego wektora, przyspieszenie. Analogicznie możemy mówić o przyspieszeniu chwilowym i średnim.

32. Przyspieszenie ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

33. Przykłady zadań • Czytanie wykresów • Szybkość średnia • Wyobraźnia a rozwiązywanie zadań • Ruch prostoliniowy a) jednostajny b) jednostajnie zmienny c) składnie ruchów

34. Przykładowe zadania W sytuacji po lewej stronie w ciągu trzech pierwszych sekund ruchu przedstawionego na wykresie ciało przebyło drogę równą 1m/s . 3s = 3m. W następnej sekundzie ciało pokonało drogę 2m/s . 1s = 2m. Razem w ciągu czterech sekund pokonało drogę o długości pięć metrów co daje średnią szybkość równą 5/4 m/s. W sytuacji po prawej stronie w ciągu trzech pierwszych sekund ruchu przedstawionego na wykresie ciało stało w miejscu o współrzędnej 1m. W następnej sekundzie ciało niespodziewanie znalazło się w miejscu o współrzędnej równej 2m. Przykład jest nie fizyczny gdyż w ciągu nieskończenie krótkiego czasu ciało zmieniło położenie o skończoną wartość. W tym przypadku szukanie odpowiedzi nie ma sensu. Czy szybkość przedstawiona na wykresie z lewej strony mogła ulec tak gwałtownej zmianie?

35. Przykładowe zadania Jak nazywają się ruchy w sytuacjach przedstawionych na wykresach? jednostajny jednostajnie przyspieszony niejednostajnie przyspieszony? jednostajny jednostajnie opóźniony niejednostajnie przyspieszony ?

36. Przykładowe zadania Jak nazywają się ruchy w sytuacjach przedstawionych na wykresach? jednostajny jednostajnie opóźniony niejednostajnie przyspieszony lub opóźniony jednostajny jednostajnie przyspieszony niejednostajnie przyspieszony lub opóźniony

37. Przykładowe zadania Oblicz, dla każdego wykresu, z jakimi średnimi szybkościami poruszał się obiekt w ciągu trzech sekund ruchów przedstawionych na poniższych wykresach.

38. Przykładowe zadania Z jaką średnią szybkością poruszało ciało, jeśli jedną trzecią drogi przebyło z szybkością 10km/h, a pozostałe dwie trzecie z szybkością 50km/h? Oznaczenia: S1 – pierwszy odcinek drogi równy 1/3 S gdzie S oznacza długość całej drogi, V1 = 10km/h - szybkość z jaką został pokonany pierwszy odcinek drogi, Dt1- czas w którym został pokonany pierwszy odcinek drogi, S2 – drugi docinek drogi równy 2/3 S, V2 = 50km/h - szybkość z jaką został pokonany drugi odcinek drogi, Dt2- czas w którym został pokonany drugi odcinek drogi. Dt = Dt1 + Dt2 - cały czas trwania ruchu, S = S1 + S2 – długość całej drogi.. Wiemy, że: Szukamy: Po podstawieniu:

39. Przykładowe zadania J. Jędrzejewski W. Kruczek A. Kujawski Zbiór zadań z fizyki. Wydawnictwa Naukowo Techniczne. Wydanie jedenaste. Zadanie 1-18R Ze znajdującej się nad rzeką przystani A wyrusza ze stałą prędkością V2 łódź w kierunku równoległym do brzegu w tę samą stronę, w którą płynie rzeka. Łódź jednak ma skręcony i zblokowany ster, tak że porusza się ona w konsekwencji po złożonej krzywej. Wiadomo, że łódź przepłynęła równolegle do przeciwnego brzegu ocierając się o jego umocnienia i wylądowała w końcu w punkcie B znajdującym się na tym samym brzegu co przystań A. Znając prędkość łodzi względem wody V2, prędkość rzeki V1 oraz szerokość rzeki d obliczyć, w jakiej odległości SAB od przystani A znajduje się punkt B. Jaka byłaby ta odległość gdyby łódź wyruszyła nie z prądem rzeki, lecz pod prąd?

40. Przykładowe zadania Ciało spada swobodnie z wysokości h ze stałym przyspieszeniem a. Z jaką szybkością uderzy w podłoże, na które spada? Zadnie rozwiązuję w układzie odniesienia związanym z podłożem. Zakładam, że ciało porusza się wzdłuż osi X skierowanej pionowo do dołu i że początkowe położenie tego ciała na osi wynosi zero. W tak obranym układzie współrzędnych położenie ciała podczas ruchu dane jest wzorem X = aDt2/2 a szybkość V = aDt Po wyznaczeniu, z równania drugiego, Dt = V/a i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy zależność pomiędzy współrzędną położenia ciała a szybkością: X = V2 / 2a W momencie uderzenia w podłoże współrzędna X = h stąd: V = (2ah)1/2

41. Przykładowe zadania Ciało spada swobodnie z wysokości h ze stałym przyspieszeniem a. Z jaką szybkością uderzy w podłoże, na które spada? Zadnie rozwiązuję w układzie odniesienia związanym z podłożem. Zakładam, że ciało porusza się wzdłuż osi X skierowanej pionowo do góry i że początkowe położenie tego ciała na osi wynosi zero. W tak obranym układzie współrzędnych położenie ciała podczas ruchu dane jest wzorem X = - aDt2/2 a szybkość V = - aDt Po wyznaczeniu, z równania drugiego, Dt = - V/a i podstawieniu do pierwszego otrzymujemy zależność pomiędzy współrzędną położenia ciała a szybkością: X = - V2 / 2a W momencie uderzenia w podłoże współrzędna X = - h stąd: V = (+ czy? - )(2ah)1/2

42. Zapisywanie równań ruchu w układzie współrzędnych Ciało przyspiesza ze stałym przyspieszeniem o wartości a > 0 i z początkową szybkością równą 0. Ciało porusza się wzdłuż osi X i po pewnym czasie jest oddalone od współrzędnej 0 na odległość h > 0 • Oś X dobraliśmy tak, że ciało porusza się zgodnie ze zwrotem tej osi. Wówczas: X = aDt2/2 V = aDt 2) Oś X dobraliśmy tak, że ciało porusza się przeciwnie do zwrotu tej osi. Wówczas: X = - aDt2/2 V = - aDt Analogicznie ciało rusza z miejsca o oddalonego od „0”o h w stronę „0”. 1) Oś X dobraliśmy tak, że ciało porusza się zgodnie ze zwrotem tej osi. Wówczas: X = - h + aDt2/2 V = aDt 2) Oś X dobraliśmy tak, że ciało porusza się przeciwnie do zwrotu tej osi. Wówczas: X = h - aDt2/2 V = - aDt

43. Zapisywanie równań ruchu w układzie współrzędnych Z miasta A do miasta B rusza i w pomijalnie krótkim czasie osiąga stałą szybkość samochód. W tym samym czasie z B do A rusza eksperymentalny pojazd, który podczas całej podróży porusza się ze stałym przyspieszeniem. Dane są: V – szybkość samochodu, a - przyspieszenie pojazdu i S – odległość pomiędzy miastami. Oblicz: po upływie jakiego czasu od momentu ruszenia i w jakiej odległości od A miną się samochód i pojazd. OZNACZENIA ( poza wprowadzonymi w treści zadania): ts – czas od ruszenia do spotkania, Xs –współrzędna miejsca mijania. UKŁAD ODNIESIENIA – związany z Ziemią. UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH – oś skierowana od A do B, na której współrzędna 0 pokrywa się z miastem A.

44. Równania kwadratowe

45. Równania kwadratowe a=0,005m/s2 V=10m/s S=40000m Jak zinterpretować ujemny czas?