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TEMA 9 * 3º ESO

TEMA 9 * 3º ESO. POLIEDROS. TEMA 9.4.6 * 3º ESO. EJERCICIOS DE ÁREAS. Áreas de algunos cuerpos. PIRÁMIDES Ab = P.apo /2 Al = P.Apo/2 At = Al + Ab. PRISMAS Ab = 2.l.a Al = P.h At = Al + Ab. h. l. a. CILINDROS Ab = 2. π .r 2 Al = 2. π .r.h At = Al + Ab. g. h. h.

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  1. TEMA 9 * 3º ESO POLIEDROS Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. TEMA 9.4.6 * 3º ESO EJERCICIOS DE ÁREAS Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. Áreas de algunos cuerpos • PIRÁMIDES • Ab = P.apo /2 • Al = P.Apo/2 • At = Al + Ab • PRISMAS • Ab = 2.l.a • Al = P.h • At = Al + Ab h l a • CILINDROS • Ab = 2.π.r2 • Al = 2.π.r.h • At = Al + Ab g h h • CONOS • Ab = π.r2 • Al = π.r.g • At = Al + Ab r r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. Ejercicios • EJERCICIO 7 • La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm y el lado de la base mide 6 cm. Hallar el área lateral. • El área lateral es: • Al = P. apo / 2 • La apotema es hipotenusa del triángulo • rectángulo cuyos catetos son la altura y • la mitad del lado de la base. • Apo = √ [(l/2)2 + h2)] = √ (32 + 42) = • = 5 cm • Luego: • Al = P. apo / 2 = 4.6.5 / 2 = 60 cm2 h apo l l/2 l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. EJERCICIO 8 • La altura de una pirámide recta de base cuadrada es 4 cm menor que la arista lateral. El lado de la base mide 20 cm. Hallar el área lateral. • El área lateral es: Al = P. apo / 2 • El perímetro vale P = 4.l = 4.20 = 80 cm • Pero no tenemos la apotema. • Ni podemos calcularla al desconocer la altura. • La diagonal de la base es: • d = √ (202 + 202) = √ 800 = 20√2 cm • La arista lateral es hipotenusa del • triángulo rectángulo cuyos catetos son • la altura y la mitad de la diagonal base. • al = √ [(d/2)2 + h2)] • Si llamamos x a la arista lateral, (x – 4) • será la altura y por Pitágoras: • x2= (20√2 / 2)2 + (x – 4)2 x-4 apo x l d/2 l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. Continuación del EJERCICIO 8 • Efectuando el producto notable: • x2 = 200 + x2 – 8.x + 16  8.x = 216  x = 27 • La arista lateral mide 27 cm • Altura h = al – 4 = 23 cm • Calculamos la apotema de la pirámide, • que es hipotenusa del triángulo rectángulo • cuyos catetos son la altura y la mitad del • lado de la base. • apo = √ (102 + 232 ) = √ (100+529) = • = √ 629 = 25 cm • El área lateral será: • Al = P. apo / 2 = 4.20.25 / 2 = 1000 cm2 h apo l l/2 l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. EJERCICIO 8 • El radio de la base de un cono mide 5 cm. Hallar la altura para que el área lateral sea igual al área de la base. • El área de la base es: • Ab = π.r2 = π.52 = 25 π cm2 • El área lateral es: • Al = π.r.g = 5.π.g • Igualando ambas: • 25.π = 5. π.g  g = 5 • Conocidas la generatriz y el radio de la base, • por el T. de Pitágoras hallamos la altura: • h = √ (g2 - r2 )  h = √ (52 – 52) = 0 • El cono es imposible, pues para que se cumpla la condición del enunciado la altura sería nula, y por tanto no existe cono alguno. • IMPORTANTE: En un cono el área lateral es SIEMPRE MAYOR que el área de la base. g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. EJERCICIO 9 • El radio de la base de un cono mide 5 cm menos que la altura del cono, y la generatriz 7cm. Hallar la altura del cono y el área lateral. • Sabemos que en el cono: • g2 = r2 + h2  72 = (h - 5)2 + h2 • Operando: • 49 = h2 – 10.h + 25 + h2 ; 2.h2 – 10.h – 24 = 0 • Simplificando: • h2 – 5.h – 12 = 0 • Resolviendo la ecuación: • h = [(5 + √ (25 + 48)] / 2 = 6,75 cm • El radio de la base es: • r = h – 5 = 6,75 – 5 = 1,75 cm • El área lateral vale: • Al = π.r.g = π.r.√ (h2 + r2 ) • Al = π.1,75.√ (6,752 + 1,752 ) • Al = π.1,75.7 = 12,25. π cm2 g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. EJERCICIO 10 • En un cilindro la altura es igual que el diámetro de la base y el área lateral del cilindro vale π cm2 • Hallar el radio de la base y la altura del cilindro. • El área lateral de un cilindro es: • Al = 2.π.r.h • Y como h= 2.r • π = 2.π.r.2.r • π = 4.π.r2 • Despejando … • r2 = 1 /4 • Luego r = ½ cm • La solución negativa de r no vale. • h= 2.r • h = 1 cm h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. EJERCICIO 10 • Un cono presenta un radio de la base de 3 cm y una altura de 4 cm. • Hallar el área lateral del cono. • ¿Qué área lateral tendría el mismo cono con el doble de altura? • El área lateral es: • Al = π.r.g • Por Pitágoras: • g =√ r2 + h2 =√ 32 + 42 = √ 25 = 5 cm • Luego: • Al = π.3.5 = 15.π cm2 • Con altura h = 2.4 = 8 cm, por Pitágoras: • g =√ r2 + h2 =√ 32 + 82 = √ 73 = 8,544 cm • Luego: • Al = π.3.8,544 = 25,63.π cm2 • A doble altura no corresponde doble área. g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. EJERCICIO 11 • Un cono presenta un área lateral de π2 m2 • La altura sabemos que es el doble del diámetro de la base. • Hallar el radio de la base y la altura del cono. • Hallar el ángulo del sector circular que forma el área lateral. • El área lateral es: • Al = π.r.g • También sabemos que h = 2.d=4.r • Por Pitágoras: • g = √ [ r2 + h2 ] • g =√ [ r2 + (4.r)2 ] • Sustituyendo en el área: • π2 = π.r. √ (r2 + 16.r2) • Elevando todo al cuadrado: • π4 = π2.r2 [ r2 + 16.r2 ] g h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  12. Continuación del EJERCICIO 11 • Operando… • 100= 10.r2 (17.r2 ) • 100 = 170. r4 • De donde: r4 = 100 / 170 = 10 / 17 • 4 • Luego: r = √ (10/17) = 0,876 cm • Y por tanto: • h = 4.r = 4.0,876 = 3,5 cm • Como: g = √ 17.r2  g = 3,61 cm • Por último: • n = 360.r / g = 360.0,876 / 3,61 = 87,36º , casi un ángulo recto. r A=л.r.g A=л.r2.n / 360 g Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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