第九章方差分析 Analysis of Variance （ ANOVA )

第九章方差分析Analysis of Variance （ANOVA ) 用于推断各处理组间多个总体均数的差别有无统计学意义华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

ANOVA 由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验（F test）。用于推断多个总体均数有无差异华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

第一节方差分析的基本思想 与应用条件以单向（或单因素）方差分析One-way analysis of variance为例因素也称为处理因素（factor），每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。所有测量值的总变异按照其变异的来源分解为组间变异和组内变异，然后计算组间均方与组内均方之比（即F值），由此根据小概率事件原理在F分布中推断各处理水平对应的总体均数之间的差异有无统计学意义。华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

方差分析的假定条件 1. 正态性各处理组（水平）样本是相互独立的随机样本，其总体服从正态分布； 2. 方差齐性相互比较的各处理组（水平）样本对应的总体方差相等，即具有方差齐同（homogeneity of variance）。上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同。华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

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一、离均差平方和的分解 组间变异组内变异总变异华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

对于例9-1（完全随机设计）资料，共有三种不同的变异对于例9-1（完全随机设计）资料，共有三种不同的变异 • 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与总均数间的差异 • 组间变异（ between group variation ）：各组的均数与总均数间的差异 • 组内变异（within group variation )：每组的每个测量值Yij与该组均数的差异下面用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

1. 总变异:所有测量值之间总的变异程度，计算公式校正系数：

2．组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，计算公式为2．组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，计算公式为 SS组间反映了各组均数的变异程度组间变异＝①随机误差+②处理因素效应

3．组内变异：在同一处理(水平)组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异，也称SS误差。用各组内各测量值Yij与其所在组的均数之差的平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为

三种“变异”之间的关系 离均差平方和分解：

One-Factor ANOVAPartitions of Total Variation Total Variation SST Variation Due to Treatment SSB Variation Due to Random Sampling SSW = + • Commonly referred to as: • Sum of Squares Among, or • Sum of Squares Between, or • Sum of Squares Model, or • Among Groups Variation • Commonly referred to as: • Sum of Squares Within, or • Sum of Squares Error, or • Within Groups Variation

均方差，均方(mean square，MS)

F 值与F分布 ，

F 分布曲线

F 界值表 5 附表5 F界值表（方差分析用，单侧界值）上行：P=0.05 下行：P=0.01

F 分布曲线下面积与概率

第二节完全随机设计资料方差分析 （单因素方差分析）华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

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一、建立检验假设 H0：即3种环境下总体均数相等 H1：3种环境下总体均数不全相等检验水准华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

二、计算离均差平方、自由度、均方 华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

三、计算F值 华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

四、确定P值，下结论 注意：当组数为2时，完全随机设计的方差分析结果与两样本均数比较的t检验结果等价，对同一资料,有：华中科技大学同济医学院宇传华制作， 2008，10

第三节随机区组设计 资料的方差分析华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

随机区组设计 randomized block design 又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程、动物窝别等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

例按随机区组设计方案，以窝别作为(8个)区组标志，给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C（每个区组3只小鼠），拟知道3个营养素对小鼠所增体重有无不同。例按随机区组设计方案，以窝别作为(8个)区组标志，给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C（每个区组3只小鼠），拟知道3个营养素对小鼠所增体重有无不同。表 8个区组小鼠按随机区组设计的分配结果区组编号随机数分组华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

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变异分解 (1) 总变异：所有观察值之间的变异 (2) 处理间变异：处理因素＋随机误差 (3) 区组间变异：区组因素＋随机误差 (4) 误差变异：随机误差华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

H0： ，即三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数不全相等华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

表方差分析表 (g-1)(n-1) 华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

查界值表，得 F0.05(2，14)=3.74，今F＝2.88<F0.05(2, 14)，故P>0.05。结论：按水准，不拒绝H0，尚不能认为三种不同营养素对小鼠所增体重的总体均数不等。当g=2时，随机区组设计资料的方差分析与配对设计资料的t检验等价，有。华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

例9-2 研究甲乙丙三营养品。。。 华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

H0： ，即三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数相等 H1：三种不同营养素的小鼠所增体重的总体均数不全相等华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

表方差分析表 (g-1)(n-1) 华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

查界值表，得 F0.05(2，10)=4.10，今F＝4.24>F0.05(2, 10)，故P<0.05。结论：按水准，拒绝H0，可以认为三种不同营养素对小鼠所增体重的总体均数不等。区组间有差异，表示不同窝别小鼠的体重增加有所不同当g=2时，随机区组设计资料的方差分析与配对设计资料的t检验等价，有。华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

第四节拉丁方设计资料的方差分析 是随机区组设计的扩展，除行、列外，还有行列中每个格子中的字母，三因素排列成拉丁方，如见书P139～141页华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

第五节多个样本均数间的多重比较 当方差分析的结果拒绝H0，接受H1时，只说明g个总体均数不全相等。若想进一步了解哪两两总体均数之间不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较（multiple comparison）。也叫post hoc检验（事后比较检验）华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

为什么一般t检验作多重比较是错误的？ 若简单采用上一章的t检验进行多重比较，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。例如，有4个样本均数，两两组合数为，若用t检验做6次比较，且每次比较的检验水准选为 0.05 ，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为。这时，总的检验水准变为华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

“多重比较”的几种方法 一、SNK－q检验（多个均数间全面比较）二、 Dunnett检验（多个实验组与对照组比较）三、LSD－t检验（有专业意义的均数间比较）还有TUKEY、DUNCAN、SCHEFFE、WALLER、BON等比较方法华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

一、SNK－q检验 SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验华中科技大学同济医学院宇传华制作，2008，10

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