x – действительная часть числа z : x = Rez

1. y z(x,y) x z1(x1,y1) x – действительная часть числа z: x=Rez y– мнимая часть: y=Imz мнимая ось z1 = z2 если действительная ось ОПР 1. Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел z=(x,y) с определенными операциями над ними.

2. Действия над комплексными числами Пусть z1(x1,y1), z2(x2,y2) иz3(x3,y3) 1.1 Сумма: z1 + z2 = (x1+x2,y1+y2) а) z1 + z2 = z2 + z1 б) (z1 + z2) + z3= z1 + (z2 + z3) в) z1 – z2 = (x1–x2,y1–y2) – разность г) Существует единственное комплексное число 0=(0,0) такое, что z + 0 = z Произведение: z = z1 * z2 = (x1x2– y1y2 , x2y1+ x1y2)(1.2) а) z1 * z2 = z2 * z1 б) (z1 * z2) * z3= z1 * (z2 * z3) в) (z1 + z2) * z3= z1z3 + z2z3 Любое действительное число можно считать комплексным x=(x, 0) г) умножение на действительную единицу не изменяет значения числа z*(1,0)=z ОПР 2. Комплексное число вида z = (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается i= (0, 1).

3. z(x,y) y r φ x Алгебраическая форма комплексного числа: z = x(1, 0) + y (0, 1) = x + i y(1.3) Число z* = x − i y называется комплексно сопряженным (1.4) => O Тригонометрическая форма комплексного числа: z = r(cos φ+ i sin φ)(1.5) − модуль числа z (1.6) − аргумент числа z: p/2, x=0, y >0 -p/2, x=0, y >0 Формула Эйлера Показательная форма комплексного числа: z = r.e i φ(1.7)

4. ОПР 3. Комплексное число w называется корнем n-ой степени из числа z, если z =wn. Обозначают w=(1.8) (1.9) Теорема. Доказать .

5. N · Z y z · z x Стереографическая проекция и z = ∞ ОПР 4. Окрестностью бесконечно удаленной точки z = ∞ называется внешность круга с центром в точке z = 0 радиуса R, т.е. множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию |z|>R. Окрестностью точки z = ∞ будет достаточно мала, если радиус Rдостаточно большой: |z|>1/e.

6. и (2.1) §2. Последовательность комплексных чисел ОПР 5. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое комплексное число zn, то говорят, что на множестве комплексных чисел задана последовательность, отображающая множество Nв C, и обозначают { zn }. ОПР 6. Число zназывается пределом последовательности { zn } и обозначается если по любому e>0 всегда найдется такой номер последовательности N(e), что для всех последующих номеров n > N(e) будет справедливо неравенство | z − zn| < e. Теорема 2.1. Последовательность {zn } = { xn } + i{yn } имеет своим пределом число z = x + iy тогда и только тогда, когда Доказать

7. f y z(x,y) D v x w(u,v) E u §3. Функция комплексной переменной ОПР 7. Пусть на комплексной плоскости или сфере задано множество D. Если каждому комплексному числу zD поставлено в соответствие одно или несколько значений w (к ним может принадлежать и w = ∞ ), то говорят, что на D определена функция комплексной переменной z и записывают: w = f(z) или f : z  w.

8. Основные элементарные функции w = |z|n(cos nj+i sin nj ) ex(cos nj+i sin nj) w= ex eiy = ln|z|+i(argz+2pk) shz=shx .cosy+ichx .siny chz=chx .cosy+ishx .siny

9. Записывают (3.1) Предел и непрерывность функции Пусть функция w = f(z) определена в окрестности точки z0, кроме, быть может, самой точки z0. ОПР 8. Комплексное число w0 называется пределом функции w= f(z) приzz0, если (3.1*) дляw0≠0, w0≠∞ (3.1**)

10. ОПР 9. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке z0если существует конечный предел и его значение совпадает с  f(z0) т.е. Пусть функция w = f(z) определена в точке z0 и ее некоторой окрестности. ОПР 9*.(на языке приращений) Функция непрерывна в точке z0 если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции, т.е. Здесь z − z0 = Dz (приращение аргумента) f (z) − f (z0 ) = Dw (приращение функции) ОПР 10. Функция непрерывна на множестве Е, если она непрерывна в каждой его точке.