1 / 40

Bab 8 Turunan

Bab 8 Turunan. 11 September 2014. Peta Konsep. Turunan. mempelajari. Turunan Fungsi Aljabar. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma. Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner. Grafik Fungsi. Aplikasi. Turunan Fungsi Trigonometri. Rumus Dasar Turunan. Aturan Rantai. Kecepatan dan

una
Download Presentation

Bab 8 Turunan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bab 8 Turunan 11 September 2014

  2. PetaKonsep Turunan mempelajari Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner Grafik Fungsi Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Rumus Dasar Turunan Aturan Rantai Kecepatan dan Percepatan Penyelesaian Limit Tak Tentu Kasus Maksimum dan Minimum Persamaan Garis Singgung

  3. 1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x2 + 2x di titik (a, b). 2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan . 3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara soal 1 dan 2? Prasyarat

  4. 1. Pengertian Turunan Turunan suatu fungsi f(x)didefinisikan sebagai berikut. Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7. Coba diingat lagi! A. Turunan dan Tinjauan Geometrinya

  5. Contoh: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 + 1. Jawab:

  6. 2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan). Gradien garis singgung di titik P(a, b)yang terletak pada fungsi y = f(x)adalah sebagai berikut. m = f’(a) = Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut.

  7. Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki persamaan untuk x ≠ 0dix = 2. Jawab: Gradien garis singgung kurva y = f(x)untukx = 2adalah m = f'(2) = –1. Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x)di x = 2adalah–1.

  8. Jika nbilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x)maka berlaku rumus turunan B. TurunanFungsiAljabar Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x)= 0. Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn – 1. Jika f(x) = axnmaka turunannya adalah f'(x) = anxn – 1.

  9. Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = 6x4. Jawab: f(x) = 6x4 Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai a = 6 n = 4 Jadi, f'(x) = 6(4x4 – 1) = 24x3

  10. 1. Turunan Fungsi Sinus 2. Turunan Fungsi Kosinus Dengan menggunakan rumus akan diperoleh C. TurunanFungsiTrigonometri Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x. a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x. b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x. c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x. d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x. e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc2 x.

  11. D. Sifat-SifatTurunanSuatuFungsi • f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x). • b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x). • c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). • d. f(x) = , v(x) ≠ 0, turunannya • e. f(x) = u(x)n, turunannyaf'(x) = n(u(x))n – 1u'(x).

  12. Contoh: Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8. Jawab: f(x) = {u(x)}8 u(x) = 7x2 – 5 Dengan demikian, u'(x) = 14x. f'(x) = 8(7x2 – 5)8 – 1 (14x) = 112(7x2 – 5)7 Jadi, f'(x) = 112(7x2 – 5)7.

  13. Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya ditentukan dengan rumus Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan dengan E. Menentukan Turunan dengan Aturan Rantai (Pengayaan)

  14. Contoh 1: Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2. Jawab: Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian, y = u2 u = 3x – 2 = Jadi, = 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12.

  15. Contoh 2: Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )). Jawab: Misalkan u = 2x – 1 v = sin u y = cos v

  16. 1. Turunan Fungsi Eksponen (y = ex) Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = eax + b F. Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma (Pengayaan) Jika y = exmaka y' = ex. Jika y = eax + bmaka y' = aeax + b

  17. Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut. a. y = e5x b. y = e–x + 3 Jawab: a. y = e5xmaka y' = 5e5x b. y = e –x + 3maka y' = –e –x + 3

  18. Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan u = f(x), adalah sebagai berikut. 2. TurunanLogaritma Natural (ln x) Jikay= lnxmaka ln x = yx = ey Jika y = ln u, denganu = f(x) maka

  19. Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = 2 ln x maka b. y = ln (kx + c) Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k sehingga c. y = ln (6x5– 3x2 + 2x) u = 6x5– 3x2+ 2x. Oleh karena itu, u' = 30x4 – 6x + 2 sehingga

  20. f(x) b d e C a X 0 PengertianFungsiNaik, FungsiTurun, danNilai Stasioner G. FungsiNaik, FungsiTurun, danNilaiStasioner Y Grafik fungsi f(x)naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e. Grafik fungsi turunpada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d.

  21. Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi y = f(x). Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0. Grafik f(x)turun jika f'(x) < 0. Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = 0.

  22. Contoh: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2+ 2x + 1naik atau turun, serta titik stasionernya. Jawab: f(x) = x2+ 2x + 1 f'(x) = 2x + 2= 2(x + 1). Fungsi naik jika f'(x) > 0  2(x + 1) > 0  x > –1. Fungsi turun jika f'(x) < 0  2(x + 1) < 0 x < –1. Fungsi stasioner jika f'(x)= 0  2(x + 1) = 0 x = –1 sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0). Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x2+ 2x + 1 berikut.

  23. Grafik f(x) = x2+ 2x + 1

  24. Naik Naik Turun Turun Turun Naik Naik Turun a X (d) a a a X X X 2. Jenis-JenisNilaiStasioner (a) (b) (c)

  25. Misalkan x = a adalah stasioner. • Jika pada x <a, f(x)turun dan x > a , f(x)naik maka x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a)) • Jika pada x < a ,f(x)naik dan x >a, f(x)turun maka x = aadalah titik balik maksimum. (Gambar (b)) • Jika pada x <a, f(x)naik dan x >a, f(x) juga naik maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c)) • Jika pada x <a, f(x)turun dan x >a, f(x) juga turun maka x =a adalah titik belok. (Gambar (d))

  26. Contoh: Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan jenisnya. Jawab: f(x) = x2 – 3x + 2 f'(x) = 2x – 3. Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik . Untuk fungsinya turun. Untuk maka fungsinya naik. Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titik

  27. Secara geometris dapat dilihat pada grafik berikut.

  28. Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah- langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya. 3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik. H. MenggambarGrafikFungsi

  29. Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4. Jawab: Langkah 1: f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0 x = 0atau x = 2(0, 0)dan(2, 0). Titik potong dengan sumbu Y, x = 0sehingga f(0) = 0  (0, 0) Langkah 2: f(x) = 2x3 – x4 f'(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0 x = 0 atau

  30. Untuk x = 0 Untuk x < 0maka f'(x) > 0fungsi f(x)naik. Untuk x = 0merupakan nilai di mana terdapat titik belok Untuk makaf'(x) > 0 f(x)naik. Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok. b) Untuk Untuk maka f'(x) > 0 f(x)naik. Untuk makaf'(x) < 0 f(x)turun. Jadi titik balik maksimum

  31. Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut. Grafiknya adalah seperti gambar berikut.

  32. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva • Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah y – b = m(x – a). • Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah y' = f'(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan I. AplikasiTurunan y – b = f'(a)(x – a)

  33. Contoh: Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik (2, 4). Jawab: f(x) = x2 f'(x) = 2x. f'(2) = 2(2) = 4. Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah y – 4 = 4(x – 2)  y = 4x – 4

  34. 2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan Kecepatan rata-rata = v(t) = s = perubahan jarak; t = perubahan waktu. Jika Δt → 0, kecepatan v(t)dirumuskan dengan v(t) = atau v(t) = Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t). a(t) =

  35. Contoh: Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah meter. Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik. Jawab: Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut. v(t) = = 2t2 – 9t + 10 v(2) = 2(2)2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaat karena pada waktu itu kecepatannya nol.

  36. 3. Menentukan Limit Tak Tentu Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini sering disebut dengan dalil L’Hopital. Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a)= 0, sedangkan f'(a)dan g'(a)tidak nol, berlaku rumus berikut.

  37. Contoh: Tentukan nilai . Jawab: f(x) = x – 2 g(x) = x2– 4 Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, . Kita gunakan dalil L’Hopital: Diperoleh f'(x)= 1dan g'(x)= 2x. Jadi, .

  38. 4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum Contoh: Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum. Jawab: Misalkan panjang = p dan lebarnya = l. Kelilingnya adalah K = 2p + 2l  200 = 2p + 2l p = 100 – l Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2.

  39. Agar luasnya maksimum, turunan fungsi L harus nol. =100 – 2l = 0 l = 50 p = 100 – l = 100 – 50 = 50 Dengan demikian, agar luas bangun itu maksimum, lebarnya 50 cm dan panjangnya 50 cm.

More Related