Mémoire d’actuariat

1. Mémoire d’actuariat Modélisation du risque de longévité dans le cadre d’une opération de titrisation Par Fatoumata Ndoye PartnerRe

2. PROBLEMATIQUE • Le risque de Longévité • Allongement de l’espérance de vie • Multiplication des souscriptions de rentes viagères • Insuffisance des primes calculées à priori • Étude de solutions • Offre de réassurance sur ce risque • La titrisation

3. PLAN • La titrisation • Définitions • La titrisation des risques d’Assurance • La titrisation des risques d’Assurance Vie • La modélisation du risque de longévité • Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Tarification d’un Mortality swap et prix du Longevity Bond • Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur

4. La Titrisation

5. La Titrisation : Définitions • Accès à une nouvelle source de financement • Rendre des actifs liquides • Accès à tout investisseur à travers le monde • Évaluation transparente des risques • Investissement sur la base des actifs cédés • Transfert de risques • Risque de perte du portefeuille supporté par les investisseurs • Limitation du risque supporté par le cédant • Augmentation de la capacité de couverture par rapport à la réassurance

6. La Titrisation : Définitions Gestion de bilan Accroissement de l’activité du cédant Nouveaux actifs générés Maintien du bilan du cédant Souscription de nouvelles affaires Extraction de valeur Tout actif est titrisable Notion de CDO (Collateralised Debt Obligations) 6

7. La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance • Le mécanisme de la titrisation • Dissocier le risque d’assurance des autres risques • Les Insurance Linked Securities (ILS) • Modélisation du risque • Probabilité de défaut • La particularité des CATS BONDS • Eléments déclencheurs • Modélisation détaillée : Construction de statistiques d’événements catastrophes. • Evaluation des pertes financières.

8. La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance Contrepartie du SWAP Taux placements TME Transfert de risques en portefeuille Émission de titres, Paiement des coupons Cédante (Assureur Ou Réassureur) SPV Compte De Nantissement Investisseurs Paiements conditionnels Cash

9. La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance Vie • Les risques de Mortalité/Longévité • Les Mortality Bonds • Vita Capital • Vita Capital II • Vita Capital III • Tartan Capital • Osiris Capital • Les Longevity Bonds

10. La modélisation du risque de longévité

11. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Le modèle de LEE CARTER • Le modèle μxt= taux instantané de mortalité. αx= paramètre spécifique à l’âge x, décrivant le comportement moyen des lnμxt au cours du temps. кt est un indice décrivant l’évolution générale de la mortalité. βx indique la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à l’évolution générale de la mortalité Pour rendre le modèle identifiable, deux contraintes sont ajoutées : • (A) • (B)

12. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France Le modèle de LEE CARTER Justification du Modèle Absence d’effets Cohorte pour la population française 12

13. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Le modèle de LEE CARTER • Estimation des paramètres • où et sont les observations de la période retenue • : Estimation par la méthode MCO • Estimation des βx et кt avec le critère d’optimalité au sens des moindres carrés et et avec • Extrapolation de la tendance temporelle кt sera modélisé par une série chronologique = processus ARIMA • Limites

14. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Le modèle de POISSON LOG-BILINEAIRE • Le modèle • Amélioration du modèle de LEE CARTER • Modélisation de la survenance d’événements rares pendant un laps de temps défini • Modélisation le nombre de décès constatés à l’âge x –noté- Dxt- par une loi de poisson en spécifiant : avec • Approximation du modèle naturel • Estimation des paramètres • Technique du maximum de vraisemblance pour les {αx}, {βx}, {κt}

15. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Études sur la population française • Passage de mortalité générale à mortalité population assurée • Modèle de COX : Ln μx=f (ln μrefx) avec f(ε) = ln θ +ε • Construction des tables prospectives TGHF05 • Cadre d’analyse • Population française : Hommes et Femmes • Période d’observation relativement longue • Ne pas tenir compte d’événements exogènes (Deux guerres mondiales, Canicule) • Etude de plusieurs périodes : [1950;2004], [1962;2000] • Choix des âges

16. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Études sur la population française • Etude sur la période [1962 – 2000] • Programmation à partir du logiciel R • Calcul des paramètres du modèle de LEE Carter • Calcul des paramètres du modèle de Poisson • Modélisation du κt par un processus ARIMA • Etude sur la stationnarité de la série • Sélection de modèles ARIMA • Rétropédalage • Choix du modèle ARIMA(0,1,1) κt= κt-1+c+ εt+b* εt-1 avec

17. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Études sur la population française • Étude sur la période [1962 – 2000] • Simulation des taux de mortalité • Construction de la table moyenne des taux de mortalité • Application des coefficients de passage du Modèle de Cox avec • Modélisation des aléas • Aléa statistique Simulation du κt par un processus ARIMA (0,1,1) avec et

18. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France Études sur la population française Etude sur la période [1962 – 2000] Modélisation des aléas Aléa sur les paramètres Simulation de nouveaux nombre de décès avec Obtention de nouveaux couples de paramètres ( ) Aléa de Modèle Prise en compte de l’erreur de modèle Ct suit une loi lognormale : Ct= Ct-1*exp(Xt) avec Xt qui suit une loi normale N(m,σ²) 18

19. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France • Études sur la population française • Fermeture des Tables de mortalité • Modèle de Denuit Goderniaux avec • Contrainte de fermeture q130=1 et q’130=0 • Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives • Comparaison avec les taux TGHF05 • Comparaison avec les taux HMD

20. La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France Études sur la population française Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives Comparaison avec les taux TGHF05 20

21. La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond • Le Longevity Bond de BNP Paribas • Motivations • Protection des Fonds de pension anglaises • Mauvaise performance des marchés financiers • Structure • Caractéristiques générales • Cadre d’étude: Hommes anglais et néo-zélandais âgés de 65 ans en 2003 • Bond lié à un indice de survie • Taux de survie donnés par l’Office National de Statistique

22. La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond • Caractéristiques générales du Longevity Bond • Indice • Lié à une cohorte d’hommes français âgés de 65 ans en 2008 • Calculé à partir des taux de mortalité donnés par l’INSEE • I(0) = 1 et I(t)= I(t-1)* (1- ) • Paiement des Coupons • Nx rentiers; Montant annuel de rente= M euros • Lié à un montant initial de rentes S(0) S(0)= Nx*M • Coupon payé à la date t par le SPV S(t+1)= S(t)*(1- )

23. La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond • Mécanisme du Longevity Bond • Intervenants Prix du bond • Calcul de la prime • P = Prix du LB = • S = S(0) = Nx*M • est le taux de survie donné par les TGHF05 • δ représente le coût de la variabilité de l’obligation = Assureur SPV Réassureur

24. La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond • Tarification du Longevity Bond • Calcul des engagements et profits • Chargement des taux de mortalité • Calcul de la prime de réassurance Prime de réassurance = *Nombre d’assurés durant année t-1*M • Equilibre Actif-Passif du Réassureur • Introduction de la notion de scénario RAC • Remboursement au pair

25. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur

26. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur • Calcul des coupons prévus • Calcul des coupons prévus • Calcul du coupon initial: V0 = S(0) = Nx*M • = • Prime versé par l’assureur : • Calcul du Capital Restant Du • CRDt=CRDt-1(1+TFLB)-Coupon prévut • Intérêtt= Coupon prévut- Capital remboursét

27. La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond Les Obligations Indexées sur l’Inflation (OATi) Définitions Protection contre l’inflation Caractéristiques générales Principal indexé Coupon à taux réel fixe Garantie de remboursement au pair Référence d’inflation de base = Taux d’inflation le jour à l’émission Traitement comptable des obligations indexées sur l’inflation Comparaison avec une obligation classique 27

28. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur • Gestion du Bilan • Valorisation des Actifs Méthode de comptabilisation des OATi • Rentabilité des Actifs • Calcul de la Provision Mathématique

29. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur • Gestion du Bilan • Calculs du Résultat de l’assureur • Calculs de la Participation aux Bénéfices (PB) PB = PR – Intérêts techniques Taux de revalorisation = • Calcul du Taux Technique Moyen (TTM)

30. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur • Gestion du Bilan • Calcul de la Provision pour Aléas Financiers (PAF) Déclenchement de la PAF : si TTM < 80%*Taux de Rendement du Bond • Calcul du Résultat de l’assureur en cas de PAF • Comparaison résultat avec/sans Longevity Bond • Scénario moyen • Scénario catastrophe : scénario RAC

31. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureurScénario Moyen

32. Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureurScénario RAC

33. Conclusion

34. La modélisation du risque de longévité : Conclusion • Restriction des Modèles à des projections à Moyen terme • Présence du risque de base • Évaluation des conséquences monétaires