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DIVISIÓN DE POLINOMIOS. ESPAD III * TC 11. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. Ejemplos: 6.x 4 : 2.x = (6/2).x 3 = 3.x 3 , que es un monomio. 6.x : 3.x 2 = 2 / x , que no es un monomio.
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS ESPAD III * TC 11
DIVISIÓN DE POLINOMIOS • El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. • Ejemplos: • 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio. • 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio. • (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3- 1, que es un polinomio • (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3, que es un polinomio • (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2- 2/x, que no es un polinomio
DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • 1.‑ Reducir dividendo y divisor. • 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. • 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. • 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: • D(x) = d(x).c(x) + r(x).
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.
Ejemplo_1 División de polinomios • 1.- a) Sea P(x) = 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 y Q(x) = 2.x2 • Hallemos P(x) : Q(x) • 6.x4 + 4.x3 - 5.x2 6.x4 4.x3 5.x2 • ------------------------ = ---- + ------ - ------ = 3.x2 + 2.x- 5 / 2 • 2.x2 2x2 2.x2 2.x2 • El resultado es un polinomio. • 1.- b) Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 y Q(x) = x • Hallemos P(x) : Q(x) • x3 + 4.x2 - 5 x3 4.x2 5 • ------------------ = ---- + ------ + ---- = x2 + 4.x– 5/x • x x x x • El resultado no es ni un monomio ni un polinomio.
Ejemplo_2 de división de polinomios • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 • y Q(x) = x+ 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1.- Están ya ambos reducidos. • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
x3 + 4.x2 - 5 x+ 5 • x2 • Pues x3 : x = x2 • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5 • - x3 - 5.x2 x2 • Pues se multiplica x2. (x+5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
x3 + 4.x2 - 5 x+ 5 • - x3 - 5. x2 x2 • - x2 - 5 • Se repite las operaciones: • x3 + 4.x2 - 5 x+ 5 • - x3 - 5. x2 x2 – x + 5 • - x2 - 5 • x2 + 5.x - 5 • 5.x - 5 • - 5.x - 25 • - 30
5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x+ 5) se habrá terminado la división. • c(x) = x2 - x + 5 • r(x) = - 30 • 6.- Se comprueba que • D(x) = d(x).c(x)+r(x) • x3 + 4.x2 - 5 = (x+ 5).(x2 - x + 5) + (-30) • x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30 • x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5
Ejemplo 3 de división de polinomios • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5 • y Q(x) = x2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1.- Están ya ambos reducidos. • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • x • Pues x3 : x2 = x • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • Pues se multiplica x. (x2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • 4.x2 - 7.x + 5 • Se repite las operaciones: • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15
x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15 • 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 • R(x) = - 7.x – 15 • 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)
REGLA DE RUFFINI • Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: • 1.‑ Se reduce el dividendo. • 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. • 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluídos los ceros. • 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. • 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. • 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. • 8.- Se puede comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: • D(x) = d(x).c(x) + r(x).
Ejemplo_1 de división por Ruffini • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 • 1 4 0 - 5 • + • 3 3 21 63 • 1 7 2158 • C(x) = 1.x2 + 7.x+ 21 • R(x) = 58 • Podemos comprobar la división: • (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x+ 21) + 58
Ejemplo_2 de división por Ruffini • Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 • 1 4 0 - 5 • + • - 5 - 5 5 - 25 • 1 - 1 5- 30 • C(x) = 1.x2 - 1.x+ 5 • R(x) = - 30 • Podemos comprobar la división: • (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x+ 5) + (- 30)
Ejemplo_3 de división por Ruffini • Sea ( 4.x3 + 5.x- 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 • 4 0 5 - 3 • + • - 2 - 8 16 - 42 • 4 - 8 21- 45 • C(x) = 4.x2 - 8.x+ 21 • R(x) = - 45 • Podemos comprobar la división: • ( 4.x3 + 5.x- 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x+ 21) + (- 45)
