La geometria delle trasformazioni

1. La geometria delle trasformazioni Summer school 2007 Politecnico di Milano Emanuele Munarini

2. Contenuti della lezione • Il programma di Erlangen • Gruppi di trasformazioni • Geometrie del piano • Geometria proiettiva • Un modello del piano proiettivo reale • Sezioni coniche • Topologia • Deformazioni continue • Superfici topologiche • Classificazione delle superfici chiuse connesse

3. Il programma di Erlangen Geometria e trasformazioni

4. Programma di Erlangen(Felix Klein, 1872) • La geometria è lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni. • Le proprietà geometriche delle figure non sono determinate dalla forma della figura ma dalle trasformazioni che possono agire su di essa.

5. Geometria del piano • p : piano della geometria elementare • figura piana: un qualsiasi sottoinsieme del piano (punti, rette, triangoli, rettangoli, circonferenze, dischi, etc.) • trasformazione piana: una qualunque funzione biunivoca T : pp.

6. Composizione di trasformazioni Date due trasformazioni piane T1 : pp e T2 : pp la trasformazione composta è la funzione T2 T1 : pp definita applicando prima T1 e poi T2,ossia ponendo (T2 T1)(P) = T2(T1(P)) per ogni punto P del piano p.

7. La composizione di due funzioni biunivoche è ancora una funzione biunivoca • Quindi, la composizione di due trasformazioni piane è ancora una trasformazione piana. • L’insieme S(p) di tutte le trasformazioni del pianop è chiuso rispetto alla composizione (e possiede una struttura di gruppo).

8. Struttura di gruppo di S(p) • la composizione è un’operazione interna;   • la composizione è un’operazione associativa: T1 (T2 T3) = (T1 T2)  T3 • esiste un elemento neutro, la funzione identità E :pp, P  P, tale che T  E = E  T = T • esistono le trasformazioni inverse: per ogni trasformazione T esiste una trasformazione inversa T-1 tale che T  T-1 = T-1 T = E.

9. Figure piane equivalenti • Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T che porta la prima figura nella seconda, ossia se F2 = T(F1). • In questo modo abbiamo definito una relazione tra le figure del piano che generalizza la relazione di uguaglianza. Più precisamente questa relazione è una relazione di equivalenza.

10. Relazioni di equivalenza • riflessività: ogni figura è equivalente a sé stessa; • simmetria: se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 allora anche la figura F2 è equivalente alla figura F1; • transitività:se una figura F1 è equivalente ad una figura F2 e la figura F2 è a sua volta equivalente ad una figura F3 allora la figura F1 è anch’essa equivalente alla figura F3.

11. Geometrie piane • Dare una geometria piana significa assegnare un sottogruppo G di S(p) delle trasformazioni ammissibili. • La geometria è lo studio delle proprietà che restano immutate comunque si applichi una delle trasformazioni ammissibili. Ossia una proprietà geometrica di una figura piana F è una proprietà che vale per F e per ogni altra figura T(F) che si può ottenere da F mediante una trasformazione piana T appartenente al gruppo G.

12. Classificazione • Due figure piane F1 ed F2 sono equivalenti, o congruenti, se esiste una trasformazione piana T appartenente al gruppo G che porta la prima figura nella seconda: F2 = T(F1). • Affinché questa relazione sia una relazione di equivalenza occorre che G sia un gruppo. • Classificare le figure significa determinare le classi di equivalenza, ossia i tipi di figure.

13. Geometria euclidea metrica • Supponiamo che p sia dotato di un’unità di misura e quindi di una distanza d(P,Q) tra i punti. • Una isometriaè una trasformazione T : pp che conserva le distanze, ossia tale che d(T(P),T(Q)) = d(P,Q) per ogni punto P e Q del piano. • Esempi: traslazioni, rotazioni,simmetrie. • Figure invarianti: rette, rette parallele, rette perpendicolari, triangoli, circonferenze. • Proprietà invarianti: lunghezze, aree, angoli.

14. Geometria euclidea simile • Una similitudine è una trasformazione T : pp che conserva i rapporti tra le distanze. • Esempi: traslazioni, rotazioni, omotetie. • Proprietà invarianti: rapporti tra le distanze, parallelismo tra rette, ampiezza degli angoli, rettangoli, il teorema di Pitagora. • Proprietà non invarianti: lunghezze, aree. • Le isometrie sono particolari similitudini (quelle per cui il rapporto delle desianze è 1). Allora ogni proprietà simile è anche una proprietà metrica.

15. Geometria affine • Una affinità è una trasformazione T : pp che conserva le rette, ossia l’allineamento dei punti. • Proprietà invarianti: parallelismo di rette, congruenza tra segmenti, ellissi, le mediane di un triangolo si intersecano in un unico punto . • Proprietà non invarianti: lunghezze, angoli, rapporti tra distanze, circonferenze, rettangoli. • Le isometrie e le similitudini sono affinità.

16. Geometria proiettiva La geometria delle proiezioni o delle ombre

17. Proiezioni • p1 e p2: piani nello spazio ordinario • P: punto esterno a p1 e p2. • Proiezione: trasformazione T : p1p2definita in modo che T(A) = B = PA p2:

18. Punti impropri • Per avere una corrispondenza biunivoca tra i due piani bisogna aggiungere dei nuovi punti, detti punti impropri o all’infinito. I punti all’infinito di un piano formano una retta detta retta impropria. • I punti all’infinito del piano p1 sono quelli che vengono mandati nella retta che si ottiene intersecando il piano p2 con il piano p' parallelo a p1 e passante per il punto P.

19. Geometria proiettiva • Una proiettivitàè una trasformazione che si ottiene componendo un numero finito di proiezioni e di sezioni. • Proprietà invarianti: rette, coniche, birapporto. • Le proiettività non conservano i punti all’infinito, ossia possono portare un punto proprio in un punto all’infinito e viceversa. • Le affinità del piano coincidono con le proiettività che conservano la retta impropria.

20. Un semplice modello del piano proiettivo reale • La geometria elementare nell’usuale piano euclideo reale E2 è determinata dai seguenti assiomi fondamentali riguardanti l’incidenza tra punti e rette. • E1) per due punti distinti passa una ed una sola retta; • E2) due rette distinte si intersecano esattamente in un punto oppure non hanno punti in comune.

21. Problema: gli assiomi E1 ed E2 non sono simmetrici. • Più precisamente si ha, per così dire, un difetto nell’assioma E2: le rette parallele non hanno punti in comune. • Tuttavia anche due rette parallele hanno qualcosa in comune: la direzione. • Questo diventa il punto di partenza per rimediare al difetto degli assiomi euclidei. • Si amplia il piano euclideo ordinario introducendo un nuovo tipo di punti, i punti all’infinito.

22. Il piano esteso • i punti sono dati • da tutti i punti del piano euclideoE2, che verranno chiamati punti propri, e • da tutte le direzioni in esso contenute, che verranno chiamate punti impropri, o punti all’infinito;  • le rette sono date • da tutte le rette del piano euclideo E2, che verranno chiamate rette proprie, e • da una nuova retta r formata da tutti i punti impropri, che verrà chiamata retta impropria o retta all’infinito.

23. Una nuova geometria • Chiameremo piano proiettivo P2 l’insieme formato dai punti e dalle rette che abbiamo appena introdotto. • Vediamo ora in che modo si modificano i due assiomi E1 ed E2 che definivano la geometria euclidea nel piano. L’assioma E1 continuerà a valere ma l’assioma E2 cambia, semplificandosi.

24. Per due punti distinti passa una ed una sola retta. • Dimostrazione. Siano P e Q due punti distinti. • Se P e Q sono propri, per l’assioma E1 esiste esattamente una retta propria che passa per essi. • Se P è proprio e Q è improprio allora esiste esattamente una retta propria che passa per P e che ha la direzione data da Q (quinto postulato di Euclide). Lo stesso vale se P è improprio e Q è proprio • Se P e Q sono entrambi punti impropri, allora appartengono alla retta impropria. Inoltre non possono appartenere ad una stessa retta propria perché sono distinti ed ogni retta propria ha esattamente un punto improprio (che coincide con la sua direzione).

25. Due rette distinte si intersecano esattamente in un punto. • Dimostrazione. Siano r ed s due rette distinte. • Se r ed s sono entrambe proprie, per l’assioma E2 hanno esattamente un punto proprio in comune (e chiaramente non possono avere alcun punto improprio in comune) oppure non hanno punti propri in comune ma allora hanno esattamente un punto improprio in comune (la loro direzione). • Se una delle due rette è propria e l’altra è impropria, allora hanno in comune esattamente il punto improprio che da la direzione della retta propria.

26. Rappresentazione del piano proiettivo • A livello intuitivo possiamo rappresentare il piano proiettivo come un disco il cui bordo rappresenta la retta impropria, dove i punti del bordo antipodali sono da considerarsi uguali tra di loro:

27. Sezioni coniche

28. Classificazione euclidea e affine delle coniche • Dal punto di vista euclideo le coniche irriducibili sono le ellissi, le parabole e le iperboli. • Dal punto di vista affine c’è una sola ellisse, una sola parabola ed una sola iperbole. • Cosa accade dal punto di vista proiettivo?

29. Coniche nel piano proiettivo • C’è una sola conica irriducibile, ossia tutte le coniche irruducibili sono proiettivamente equivalenti.

30. Topologia La geometria delle deformazioni continue

31. Nascita della topologia:i ponti di Königsberg • E’ possibile attraversare tutti e sette i ponti esattamente una volta e tornare al punto di partenza? • Risposta: No (Eulero, 1736)

32. Deformazione continua

33. Equivalenza topologica

34. Trasformazioni continue • Una deformazione continua è una trasformazione che porta punti vicini in punti vicini. • E’ lecito: tirare, torcere, piegare. • E’ proibito: tagliare, lacerare, strappare, bucare. • Un omeomorfismo del piano è una trasformazione T : pp continua tale che anche la sua inversa sia continua.

35. Topologia • La topologia è la geometria delle deformazioni continue. • Le proprietà topologiche sono le proprietà che restano invariate per deformazioni continue. • Proprietà topologiche: essere connessi ( cioè essere fatti di un solo pezzo), possedere dei buchi, avere un bordo, essere orientabili, ... • Proprietà non topologiche: distanze, lunghezze, aree, parallelismo, ortogonalità, allineamenti, …

36. Superfici topologiche • Una superficie è una figura dello spazio in cui ogni punto è circondato da una regione topologicamente equivalente ad un disco. • Può essere utile pensare le superfici topologiche come se fossero oggetti perfettamente elastici che possono essere piegati, tirati, compressi o ritorti a piacere purché non si verifichino strappi, lacerazioni o tagli. • Si può anche tagliare e ricucire, purché nel ricucire il taglio i punti originariamente vicini tornino ad essere vicini.

37. Esempi di deformazioni

38. Disco e cilindro

39. Sfera

40. Toro

41. Toro a due buchi e a tre buchi

42. Bottiglia di Klein

44. Piano proiettivo reale

45. Figure che non sono superfici topologiche

46. Superfici chiuse connesse • Le superfici possono avere un bordo(disco, cilindro) oppure possono essere senza bordo(sfera, toro). • Una superficie è chiusa quando è senza bordo, come la sfera ed il toro. Il disco ed il cilindro non sono superfici chiuse. • Una superficie connessa è una superficie formata da un solo pezzo. Dischi, sfere, tori, bottiglie di Klein, piani proiettivi reali e cilindri sono tutte superfici connesse.

47. Superfici orientabili • Intuitivamente le superfici orientabili sono quelle che hanno due facce (una “interna” ed una “esterna” se chiuse), come la sfera, il toro, il disco ed il cilindro. • In questo caso una ipotetica formichina posta su una delle due facce non può passare sull’altra faccia senza fare buchi (e senza attraversare il bordo).

48. Superfici non orientabli • Benché le superfici orientabili siano quelle più note ed intuitive, esistono anche superfici non orientabili, ossia con una sola faccia. • Questo significa che la nostra ipotetica formichina può percorrere tutta quanta la superficie senza mai dover fare dei buchi (e senza mai dover oltrepassare il bordo).

49. Nastro di Möbius (1858)

50. Non orientabilità del nastro di Möbius M. C. Escher, Möbius Strip II (Red Ants), 1963.