Integer Programming

1. Integer Programming

2. Pendahuluan • Dalampenerapannya, teknikoptimasiseringmenggunakan variable yang bukanbertipe real, tetapimenggunakantipe variable yang lain seperti integer ataubiner (yang merupakanbagiantipe variable integer) • Dalamkasussepertiini, bentukpermasalahanoptimasiadalah: • Selainfungsikendalatersebut, dalamprosespenyelesaiannyabeberapaatauseluruh variable harusbernilai integer non-negatif ( )

3. MetodeBranch and Bound (1) • Terdiridaribeberapa sub-permasalahan, penyelesaiandananalisiskeadaan optimal darisetiap sub-permasalahansampaipadapenyelesaian optimal permasalahanutama. • Prinsipmetodeiniadalah: • Dalampenentuantitik optimal x(0), adaduakeadaan yang terjadi, • Jika x(0) memenuhisemuakendala, makatitiktersebutmerupakanpenyelesaiansementaradan sub-permasalahandiabaikan. • Jika x(0) tidakmemenuhisemuakendala, makapilihsalahsatudari variable berikutini, • Dan tambahkanke sub-permasalahan yang adadandianalisispadatitik “percabangan” tersebut yang diperolehdenganmenambahkanpadafungsikendala xi ≤ k untukcabang yang satu, dan xi ≥ k+1

4. MetodeBranch and Bound (2) • Setelahdiperolehtitikpenyelesaiansementara x*, sub-permsalahan yang telahdiperolehsebenarnyadianalisisdenganprosedurberikutini: • Jikacx*≤ cx(0), sub-permasalahantersebuttidakdigunakanlagi, karenatidakmenghasilkannilaipenyelesaian yang lebihbaik, pilih sub-permasalahan yang lain. • Jikacx*> cx(0)danmemenuhisyarat-syaratfungsikendalasecarakeseluruhan, x* merupakanpenyelesaiansementara yang barumenggantikan x(0) dan sub-permasalahanlainnyadianalisis • Jikacx*> cx(0)dantidakmemenuhisyarat-syaratfungsikendalasecarakeseluruhan, buatlahpercabanganbarusesuaiprosedurpercabangan.

5. MetodeBranch and Bound (3)

6. Contoh I • Soal: • Minimize Z=3x2 + 2x3 • Denganfungsikendala: • 2x1 + 2x2 − 4x3 = 5 • 4x2 + 2x3 ≤ 3 • xi ≥ 0, x1, x3 ∈ Z (integer)

7. PenyelesaianContoh I (1) • Persoalandengan variable real adalah: • Memilikititiksolusi optimum di (5/2,0,0) • Karena x1bukanmerupakan integer, makapercabanganharusdibuatberdasarkannilai x1tersebut. • Sampaipadatahapinimasihbelumdiperolehtitiksolusisementara

8. PenyelesaianContoh I (2) • Hasilpercabanganadalahberupadua sub-permasalahanberikutini: • Dan Memilikititiksolusi (2,1/2,0) dengannilai Z = 3/2 Hasilinimemenuhikendaladandigunakansebagaititiksolusisementara Memilikititiksolusi (3,0,1/4) dengannilai Z = ½ Titiksolusiinibelummemenuhikendalatetapinilai Z lebihbaik, jadiharusdilakukanpercabangan

9. PenyelesaianContoh I (3) • Hasilpercabanganberikutnyaadalah: • Dan Sub-permasalahaninibersifat infeasible (tidakmemilikisolusi) Hal inidisebabkanpadasaatnilai x3 = 0 tidakmemenuhisemuakendala. Dengandemikian sub-permasalahaninidihilangkan Memilikititiksolusi (9/2,0,1) dengannilai Z = 2 Hasilnilai Z inimemilikinilai yang lebihbesardarititiksolusisementara (tidaklebihbaik), jadi sub-permasalahaninidihilangkan

10. PenyelesaianContoh I (4) • Dengandemikian, tidakadalagi sub-permasalahan yang harusdianalisisdanhanyadiperolehsatutitiksolusisementara, makatitiksolusisementaratersebutmerupakantitiksolusi yang optimum daripermasahanpokok. • Jadipenyelesaiannyaadalah: • Titik optimum terjadidititik (2,1/2,0) • Dengannilai Z sebesar 3/2