H álózatok a fizikában és a fizika oktatásában

1. Hálózatok a fizikában és a fizika oktatásában Farkas Illés Békéscsaba, 08. márc. 29. MTA-ELTE Statisztikus és Biológiai Fizika kutatócsoport

2. Bevezetés • komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, … • alkotóelemek – komplex rendszerek–hálózatok– modulok • kísérletek (megfigyelések), modellezés, … • Megfigyelések • hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak • szomszédaim gyakran ismerik egymást • néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van • Modellek • Erdős-Rényi • Kis világ • Skálafüggetlen • Érdekes példák

3. Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. • Példák • Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv • Tanuló  csoport  osztály  iskola • Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom

4. Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. • Példák • Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv • Tanuló  csoport  osztály  iskola • Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom • Csoportok, hierarchia • * Tartalmazási* Alárendelési Dékán Intézetvezetők Tanszékvezetők

5. Komplex rendszer A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól. • Példák • Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv • Tanuló  csoport  osztály  iskola • Atom  molekula  sejt  szövet  szervezet  …  társadalom • Csoportok, hierarchia • * Tartalmazási* Alárendelési Dékán Doktori Iskola vezetője Intézetvezetők Tanszékvezetők

6. Hálózat • csúcspontok: utak • élek: kereszteződések • Csúcs csoportok a hálózatban • Települések • Megyék (régiók) • Országok • Kontinensek Utak részletes térképe Hálózatok (gráfok) A komplex rendszerek vizsgálatára gyakran használt eszköz: . Rendszer alkotóeleme –hálózat pontja . Két elem (résztvevő) között kapcsolat v. hasonlóság – két pont összekötése a hálózatban Előny: . Szerkezetet jól megőrzi: csoportok (csoportosulások, modulok, klaszterek), hierarchikus szerveződés Megjegyzés: . Hálózatban általában nincsen tér (koordináták)

7. hurok fa Klaszterezettség (egy csúcspont) Ci= 1 / 3 szomszédok közötti élek száma Két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük.(legrövidebb összekötő útvonal hossza) B A d A B= 2 Hálózatok (gráfok) szomszéd csúcs N, E csúcsok és élek száma ki i. csúcs fokszáma, átlagos érték: <k> L átlagos legrövidebb úthossz Ci i. csúcs klaszterezettsége C átlagos csomósodás (clustering)

8. Megfigyelések • hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak • szomszédaim gyakran ismerik egymást • néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van

9. Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) • Definició, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük.(legrövidebb összekötő útvonal hossza) B A d A B= 2

10. Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) • Definíció, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük.(legrövidebb összekötő útvonal hossza) B A d A B= 2 • Karinthy (1929), Minden másképpen van (Láncszemek) Tessék egy akármilyen meghatározható egyént kijelölni a Föld másfél milliárd lakója közül, bármelyik pontján a Földnek -- ő fogadást ajánl, hogy legföljebb öt, más egyénen keresztül, kik közül az egyik neki személyes ismerőse, kapcsolatot tud létesíteni az illetővel, csupa személyes ismeretség alapon. • Stanley Milgram kísérlete (1967): levelezőlapok továbbítása • Kiindulás: Omaha, Célpont: Boston • Továbbítás csak közvetlen ismeretségeken keresztül • Eredmény: célba ért képeslapok átlagos lépésszáma: 5.5  “hat lépésnyi világ”

11. Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) • Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) • a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L • Példák • „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! • teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)

12. N <k> L 225 226 61 3.65 4 941 2.67 18.7 282 14 2.65 Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) • Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) • a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L • Példák • „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! • teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi) Filmszínészek hálózata Erősáramú rendszer C. elegans idegsejtek Watts, Strogatz, 1998, Science

13. N <k> L 225 226 61 3.65 4 941 2.67 18.7 282 14 2.65 Megfigyelés: kis távolságok (kis világ) • Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont) • a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos Lánc: N ~ L • Példák • „rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !! • teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi) WWW részhalmazok Barabási, Albert, 1999, Science mérés N = 325,729 (nd.edu) : L = 11.2, illesztés mérési pontokra L = 0.35 + 2.06 log N jóslat teljes www-re N≈8*108 (1999-ben)  L ≈ 19 Filmszínészek hálózata Erősáramú rendszer C. elegans idegsejtek Watts, Strogatz, 1998, Science

14. Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) • Mark Granovetter (1973) • Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magasCés alacsony L

15. Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) • Mark Granovetter (1973) • Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magasCés alacsony L • Példa hálózat és kérdések (szociometria): • Csúcspontok: diákok • Élek: A és B tudják egymás testvéreinek nevét, ha túl sűrű (ritka) a hálózat, módosított kérdés (pl. iwiw-en bejelölték egymást) • Kérdések: • N, E betöltési valószínűség (hálózat sűrűsége), p = 2 E / [ N ( N – 1 ) ] • Ci mekkora a mérésből és mekkora lenne véletlenszerű esetben • [ iwiw Bp (N=850k, E=110M), Sopron (N=27k, E=4.1M), Szarvas (N=5.5k, E=840k) ]

16. Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség) • Mark Granovetter (1973) • Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok  magasCés alacsony L N <k> L mért, rnd C mért, rnd Filmszínészek hálózata 225 226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027 Erősáramú rendszer 4 941 2.67 18.7 12.4 0.080 0.005 C. elegans idegsejtek 282 14 2.65 2.25 0.28 0.05 Watts, Strogatz, 1998, Science

17. p(k) Gyorsan lecsengő eloszlás Van jellemző fokszám k <k> Megfigyelés: kiugróan magas fokszámok (hatványfüggvény szerinti fokszám eloszlás) • Definíció:csúcs fokszáma • Megjegyzés: melyik pontokon át vezet sok legrövidebb útvonal… Példa hálózatok log p(k) Hatványfüggvény (az eloszlás vége hosszú) Nincsen karaketerisztikus fokszám Fokszám eloszlás log k

18. Modellek • Erdős-Rényi gráf • Kis világ modell • Skálafüggetlen modell

19. Erdős-Rényi modellP. Erdős, A. Rényi, Publ. Math.6, 290-297 (1959) bármely két csúcs összekötése p=const.valószínűséggel Fokszám eloszlás: binomiális … Poisson

20. kiindulás: reguláris (szabályos) gráf az élek p részének véletlen átkötése közepes p értékek esetén: magas C, alacsony L a fokszám-eloszlás lecsengése exponenciális Kis világ modell (small world)D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature393, 440-442 (1998)

21. Kis világ modell (small world)D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature393, 440-442 (1998) • Megjegyzések: • 1) a kis világ hálózat szerkezete • rács (szabályos rész)  magas klaszterezettség • véletlen komponens (E-R) „rövidzárak” miatt rövid utak 2) Nagy fokszámok valószínűsége: exponenciálisan kicsi

22. Skálafüggetlen modellA.-L. Barabási, R. Albert, Science286, 509-512 (1999) a fokszám eloszlás hatványfüggvény szerint csökken www színészek erősáramú hálózat • Növekedés • Új csúcspont választ a régiek közül: fokszám szerint lineárisan növekedő eséllyel

23. Bevezetés • komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, … • alkotóelemek – komplex rendszerek–hálózatok– modulok • kísérletek (megfigyelések), modellezés, … • Megfigyelések • hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak • szomszédaim gyakran ismerik egymást • néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van • Modellek • Erdős-Rényi • Kis világ • Skálafüggetlen • Érdekes példák

24. További példák L Egymás után csúcsok törlése  átlagos úthossz változik Ha a nagy fokszámú csúcsoktól indulunk, akkor L gyorsan nő. Jeong et.al. (2001) f Albert et.al. (2000) Sarjadzó élesztő (S. cerevisiae) fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózatában nagy fokszámú csúcsok 3x nagyobb eséllyel esszenciálisak

25. Köszönöm a figyelmet ! Fizikai szemle, 2007/06 Mindentudás az iskolában: Hálózatok mindenütt. http://www.CFinder.org