MODELOS ARCH APLICADOS

1. MODELOS ARCH APLICADOS Dr. Luís Miguel Galindo

2. “I have heard it said that too much academic research is focused on finding very precise answers to irrelevant questions” Carol Alexander (2001)

3. “In finance theory the concept of the correct price is determinated by the nature of the modeler. The British, being practical and empirical, might say that the market is right and their model is wrong. The French –rationalist and theoreticians- might say that their model is right and the market is wrong. However, the Americans, pragmatic and diplomatic as they are, would most likely say that both the market and the model are wrong…

4. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • Volatilidad y correlación son parámetros del proceso estocástico utilizados para modelar variaciones en los precios de activos financieros • Volatilidad anual: • A = Factor de anualización (el número de ganancias al año) • A = 250 ó 252 Dr. Galindo

5. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • Comparar volatilidades • La volatilidad anual es Dr. Galindo

6. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: Conceptos básicos: (1.1) (1.2) (1.3) Dr. Galindo

7. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • MCO: • β = v • v = volatilidad relativa Y (variable dependiente) Dr. Galindo

8. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad se mide con la varianza: Mejor desviación estándar a varianza (unidades de medida) Dr. Galindo

9. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: La volatilidad no es el riesgo porque la  solo mide la desviación pero no la forma de la distribución La volatilidad genera procesos de memoria larga La volatilidad de diversos activos no se mueve junta Dr. Galindo

10. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • Volatilidad: • La volatilidad y la correlación no es observada directamente en el mercado como los precios • Volatilidad implícita: el pronostico de la volatilidad que iguala el precio de mercado con el precio del modelo de una opción • Volatilidad estadística: es una serie de tiempo y depende del modelo especifico Dr. Galindo

11. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • Modelos de volatilidad constante y variable: • Una serie estacionaria tiene una varianza condicional constante • Una volatilidad variable en el tiempo se describe por una volatilidad condicional • Una distribución condicional determina la ganancia en un momento particular en el tiempo Dr. Galindo

12. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN: • La volatilidad condicional en el tiempo t es la raíz cuadrada de la varianza condicional en el tiempo t •  Los valores actuales en vez de los valores esperados del pasado se utilizan para estimar la volatilidad condicional Dr. Galindo

13. MARCO GENERAL: ARCH AR(1): (3.1) et es ruido blanco Dr. Galindo

14. MARCO GENERAL: ARCH = la varianza condicional de Ello se debe a que un yt-1 fijo implica que la única variación de et es Dr. Galindo

15. MARCO GENERAL (3.2) (3.3) Dr. Galindo

16. MARCO GENERAL (3.4) Si la varianza condicional de et es homocedastica: Dr. Galindo

17. MARCO GENERAL (4.1) La varianza pronosticada de yt no depende de los valores pasados de et o ARCH relaja este supuesto Dr. Galindo

18. MODELO GENERAL: ARCH La varianza incondicional es: (4.2) Dr. Galindo

19. MODELO GENERAL: ARCH Despejando: (4.3) (4.4)  varianza no condicional Dr. Galindo

20. MODELO GENERAL: ARCH Suponiendo a la heterocedasticidad como función de otra variable: (4.5) Como xt-1 es exógena: (4.6)  La varianza depende de Dr. Galindo

21. MODELO GENERAL: ARCH Engle (1992): (4.7) (4.8) Dr. Galindo

22. MODELO GENERAL: ARCH Normalización: var(ut) = 1  La varianza condicional de yt depende de sus valores rezagados al cuadrado Dr. Galindo

23. MODELO GENERAL: ARCH Modelo simple: (4.9) Para que el modelo ARCH implique el término de error: Media condicional (4.10) Dr. Galindo

24. MODELO GENERAL: ARCH Varianza condicional: (4.11) Como : (4.12) Dr. Galindo

25. MODELO ARCH GENERAL es una función de ut es ruido blanco (4.13) ARCH(1): (4.14) Dr. Galindo

26. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN AR(1): (5.1) Media condicional: (5.2) Varianza condicional (yt-1 es conocida en el tiempo t): (5.3) Dr. Galindo

27. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN Media incondicional: (5.4) Varianza incondicional: (5.5) Dr. Galindo

28. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN • Los modelos de volatilidad condicional supone distribución normal y por tanto esta determinado por la media y la varianza • Correlación incondicional: • (6.1) Dr. Galindo

29. VOLATILIDAD Y CORRELACIÓN La correlación condicional permite que la distribución conjunta sea diferente en cada punto en el tiempo Dr. Galindo

30. VOLATILIDAD IMPLICITA Y CONDICIONAL El precio se determina como un movimiento browniano: (7) Rt = tasa de interés del activo sin riesgo Zt = Proceso Wiener Proceso Wiener: dZt es independiente y normalmente distribuida con media cero y varianza dt Dr. Galindo

31. MODELOS MA Volatilidad y correlación histórica: 1.Varianza incondicional: (8.1) 2 ganancias al cuadrado 2. Correlación incondicional: (8.2) Dr. Galindo

32. MODELOS MA Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA): EWMA pone más peso en información reciente y por tanto considera el orden de la dinámica de las ganancias (9.1) Dr. Galindo

33. MODELOS MA 0 <  < 1 Un valor de  mayor se le pone mas peso a las observaciones pasadas y por tanto la serie se hace mas suave Como 0 <  < 1 n 0 con n Converge a: Dr. Galindo

34. MODELOS MA MA infinito se puede escribir como: (9.2) Varianza: (9.3) Correlación: (9.4) Dr. Galindo

35. MODELOS MA Estimación recursiva: (9.5) (9.6) = determina la intensidad de la reacción de la volatilidad a los eventos de mercado Dr. Galindo

36. MODELOS MA  Con error  existe una mayor volatilidad como reacción a la información de mercado = determina la persistencia de la volatilidad sin importar lo que sucede en t-1 en el mercado  Con un mayor  existe una mayor persistencia  Un  alto implica una lata persistencia y una baja reacción de mercado (los parámetros no son independientes) Dr. Galindo

37. MODELOS MA • Regla de dedo del EWMA: • La volatilidad en los mercados es  = 0.75 (alta volatilidad o poca persistencia) o  = 0.98 (alta persistencia y no muy reactivo) • Para pronósticos: Dr. Galindo

38. MODELOS MA • Valores bajos de  para pronósticos de CP • Valores altos de  para pronósticos de LP • EWMA equivale a un I – GARCH sin constante Dr. Galindo

39. MODELOS MA (10.1) La volatilidad de los pronósticos es: (10.2) Con 2 constante  Dr. Galindo

40. MODELOS MA Con A ganancias al año entonces el número de días de ganancias al año (n) es A/n: (10.3) Volatilidad del día = un día de volatilidad Dr. Galindo

41. MODELOS GARCH Las series de tiempo muestran volatilidad en clusters  Heterocedasticidad condicional autoregresiva ARCH Volatilidad implica una fuerte autocorrelación en el cuadrado Dr. Galindo

42. MODELOS GARCH Detección de la volatilidad en clusters (10.4) Dr. Galindo

43. MODELOS GARCH El efecto de leverage: Hecho: la volatilidad es mayor en un mercado de caída que en alza Prueba: (10.5) Si el estadístico es negativo y el BP es estadísticamente significativo  asimetría Dr. Galindo

44. MODELOS GARCH Modelo GARCH incluye: 1.Variable dependiente (ganancias) 2.Primera ecuación de la media condicional et = ganancia inesperada Opción: Media autoregresiva condicional: AR(1) 3.Segunda ecuación es la varianza condicional Dr. Galindo

45. MODELOS GARCH ARCH(): (11.1) Dr. Galindo

46. MODELOS GARCH: GARCH Simétricos: (12.1) GARCH(1,1): (12.2) Dr. Galindo

47. MODELOS GARCH: Describirlo como: (12.3) Dr. Galindo

48. MODELOS GARCH: La varianza de L.P. se obtiene igualando en la ecuación (12.2): (12.4) Dr. Galindo

49. MODELOS GARCH: IGARCH: Con y suponiendo que : (13.1) Tipo de cambio: media y varianza no estacionaria Con w = 0  IGARCH similar a EWMA Dr. Galindo

50. MODELOS GARCH: Modelo GARCH de componentes permite una variación de largo plazo en la volatilidad: GARCH(1,1): (14.1) Dr. Galindo