第四章

1. 第四章 功 与 能

2. 动能定理 F F 1 a mv2 2 a A = F r cos Δ r Δ Ek = = F r Δ . §1、 一、动能 Ek 单位：J 状态量、标量。 二、功 A 单位：J 1. 恒力的功 过程量、标量。 功是力的空间累积效应

3. 示功图 F cosa F o s s s 1 2 ds dA a dr F a = F ds cos . . F d r F ds = = . ò F cos a ds ò A = F dr = 2. 变力的功 取ds足够小，在这段位移内 力的变化可略，即 F 恒定。 元功： 寻找: F = f1(s), a = f2(s).

4. 又： F Fx i Fy j Fz + = + k 而： dr = dx i + d y j + dz k = Fx dx + Fy dy + Fz dz . dA F dr = ò ò ò ò ò ò dx dx + + Fy Fy = = Fx Fx dy dy + + Fz Fz dz dz . A ò = F dr F cos a ds ò = . ò A = F dr 合力的功等于各分力功之和。

5. 功的几何意义： 示功图 F (s) s 2 ò A = F (s) ds s 1 F o s s s 1 2 ds Δ A N = 平均功率: Δ t . F A dA dr Δ lim N = = = 瞬时功率: dt t dt Δ t Δ 0 . F = v 功在数值上等于示 功图曲线下的面积。 3. 功率

6. 三、动能定理 mv dv m ds Ftds matds ò ò ò ò = = = = dv dt a 1 1 dr = m v m v 2 2 2 2 F 0 = Ek2 Ek1 = ΔEk A = ΔEk F cos a ds ò = . ò A = F dr 合力的功 =力的作用前后动能的增量 功是能量交换、变化的一种量度， 功是过程量，与能量变化的结果相联系。

7. 如图，当质点从 A 点沿逆时针方向走过 3/4 圆周到达 B 点，重力作多少功？ 解： B R A B· · ò ò dx + Fy = Fx dy B B · A A A B . A ò = F dr ò dy = Fy A [例1] =-mgR

8. T H = ò(m - kh )g dh 0 1 m’g = mgH - kgH2 2 从 H深的井中把 m kg 的水 匀速地提上来。但每升高 1m，漏水 k kg，把水提到井口，作功为多少？ [例2] 解： ∵匀速∴T = m’g A = ò Tdh

9. §2、 势能 y a dr b y y . dA G dr = a b G ( m g j ) i d y j ) . ( d x = + o x mg dy = A mg dy ( m y m y ) ò g g = = b a . A G dr 0 ò = = 一、保守力的功 1. 重力的功 若物体从a出发经任意路径回到a点，则有: 在重力场中，物体沿任意闭合路径一周， 重力所作的功为零。

10. . F ds 0 = 或：若 ò ：沿任意闭合路径积分． ò 保守力的定义： 若F 对物体所作的功决定于始末位置而与路径无关，则称 F 为保守力。 则 F为保守力。 由动能定理A = DEk 得到： 功是能量交换、变化的一种量度， 而保守力所作的功只取决于始末位置，说明该能量只与位置有关，称为位能即势能。

11. ∵ A保 = DE p A保 = ( mg y mg y ) b a = ( E E ) pb pa = E Δ p . A G dr 0 ò = = ∴ 只有保守力才能引入势能的概念。 ∴ 重力是保守力 保守力的功等于系统势能增量的负值。

12. 弹簧 自然长度 ∵ F o x x F = kx dA F dx kx dx = = x ò b A kx dx = 1 1 x A保 ( ) = kx 2 kx 2 a a 2 2 b . A 1 F弹 dr 0 ò ( E E ) E = = = Δ = 2 Epa = kx p pb pa 2 a 2.弹性力的功 ∴ 弹性力是保守力

13. 3. 万有引力的功 b r b dr ∵ . 太阳 dr dA F dr = θ Mm m . . r dr r = G F r 地球 3 M r a a Mm r dr = G r r dr 3 r GMm GMm dr ( ) ( ) A = G Mm = ò b r r r = r dr cosq r 2 b a a . A F万 dr 0 ò = = = r dr ∴ 万有引力是保守力

14. GMm GMm ( ) ( ) ( ) = = E E A保 r r pb pa b a A保 = DE p GMm E = r pa a E = Δ p 则：a点的势能为： 保守力所的功 = 系统势能增量的负值。

15. . b F dr ò = ( E E ) . . . b b (0) A保 pb pa a E E E F F F dr dr dr ò ò ò = = = pa pa pa a a a + Epb = E Δ p 若取 Epb = 0 则 a点的势能为： 物体在a 点的势能等于将物体从该点移到 零势能处保守力所作的功。

16. 讨论： 1. 势能为系统所有。 2.保守力才有势能的概念。 3. 势能是物体位置的单值函数。

17. 二、 A F ： = F A + + F A 外 外 内 内 F A + + A F + + A F = ： A + A + A 外 外 非保内 非保内 保内 保内 = Ekb- Eka 外 非保内 保内 ( ) A = E E pb pa ∵ 保内 功能原理 质点的动能定理： A = Ekb- Eka 将动能定理推广到质点系 :

18. ∵ ( ) A = E E pb pa 保内 ( A + A E E ) = Ekb- Eka pb pa 外 非保内 A + A 外 非保内 A + A + A ( = Ekb- Eka ) ( ) = E + E E + E 外 非保内 保内 pb ka pa kb = DE A + A 外 非保内 = DE 系统的功能原理：

19. 机械能守恒定律 ( ) ( ) A + A = E + E E + E 由 pb ka pa kb 外 非保内 若： A + A = 0 外 非保内 则： E + E E + E C = = pb pa ka kb §3、 一、机械能守恒定律： 或： DEk + DEp = 0 动能和势能之间可相互相转换，但总量不变。 机械能守恒定律 : 如果一个系统只有保 守内力作功，则系统的总机械能保持不变。 或：如果外力和非保守内力所的功之和为零，则系统的总机械能保持不变。　

20. （孤立系统） 二、能量守恒定律 A = DEk A + A + A = 外 非保内 保内 找到 D A = E p 保内 A + A = DE + DE 得 k p 外 非保内 由动能定理A = DEk A、功是能量交换、变化的一种量度， 功是过程量，与能量变化的结果相联系。 通过对力和功的分解 B、无功则能量不生不灭，但能互相转换 。

21. A = DU + DE + DE 可得 k p 外 A + A = DE + DE 由 k p 外 非保内 应能找到 A非保内 = - DU 则：当 A外= 0时（系统不与外界交换能量） 得： DU +DEk + DEp = 0 即： U + Ek + Ep = 常量 得：孤立系统各能量之间可相互相转换 但总量不变。

22. 重力势能　 Ep = mgh 1 1 1 1 2 弹性势能 2 2 2 2 弹簧自然长度 弹簧平衡长度 弹簧任意长度 o m m x0 x0 x x q 2 2 Ek0+ kx - mgx0sinq = Ek+ kx - mgxsinq 0 1 2 2 Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx Ep = kx 2 0 f0 = - kx0 = - mg sinq 取弹簧原长位置为 零势能位置 设：弹簧为任意位置物体的动能为 Ek 求：弹簧为平衡位置物体的动能为 Ek0 ∵只有保守内力作功 ∴机械能守恒

23. 1 1 1 2 2 2 弹簧任意长度 o m x0 x q x 2 2 Ek 0 = Ek + kx – kxx0 + kx 0 Ek 0 = Ek + k (x–x0 ) 2 x–x0 :离开平衡位置位移 Ek 0 = Ek + Ep弹 注意：式中无重力势能项. 若 将弹簧的平衡位置设为坐标原点和零 势能点，机械能守恒式中不再有重力势能项。 重力势能隐含于弹性势能中。

24. 设地球半径为R。一质量为m的 物体，从静止开始在距地面 R 处自由下落。 求：它到达地球表面时的速度。 GMm m 解： = E pa 2 R a GMm R E = b pb R 地球 R M GMm GMm 1 mv 2 0 = + + 2 R R 2 GM v = R [例1] 由机械能守恒定律：

25. 设两个粒子之间相互作用力为排斥力， 其大小与它们之间的距离r的函数关系为： f = k/r4，试求两个粒子相距为 r 时的 势能(设相互作用为零的地方势能为零)。 解： . ∞ E f dr ò = p r 1 ∞ dr kr -3 kr -4 ò = = 3 r ∞ k = 3r3 r [例2] 当 r →∞时, f = 0

26. 如图，已知：M、m、h、 m = 0 ，试求：由静止开始从 a1运动到 a2 时小车的速率。 2 2 = 2 s + h l d s d l s = l d l d H d t d t = v = d t d t s V s d s = mgH = mv2+ MV2 l h l d t a M M H = － 1 1 h h v m 2 2 sina2 sina1 H m [例3] 解： ∵m = 0 ∴ DE = 0 = cosa2·V ……

27. v k V ∵ SF = 0 M m ∴ DP = 0 12 12 12 MV2 mv2 kx2 = + 如图所示，质量为 m 与 M 的两木块，与弹簧接触，现用两木块将弹簧压缩 l 距离然后由静止释放, 求两木块的最大动能。 [例4] 解： ∵只有弹力作功 ∴ DE = 0 mv + MV = 0 ……

28. v10 v20 v1 v2 F1 F2 ∵ SF = 0 ∴ DP = 0 m1 m2 m1 m2 碰撞期间 m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20 、碰撞 (极为短暂时间的相互作用) §4 选择系统，使 F冲力为内力，其他力均可略 即：碰撞期间动量守恒 解方程缺条件

29. m1v1 + m2v2 = m1 v10 + m2 v20 ( m1+ m2)v = m1v10 + m2v20 分类： 弹性碰撞DEk = 0 非弹性碰撞 DEk＜0 完全非弹性碰撞 DEk＜0 碰撞后物体一起运动 即：弹性碰撞 DEk = 0 完全非弹性碰撞

30. 已知子弹质量是m，木块质量是M，弹簧的倔强系数是k，子弹射入木块后，弹簧被压缩的距离为 s ，求子弹的速度。 设木块与平面间的滑动摩擦系数为m。 [例1] -m(m+M )gs = ks2 - (m+M )V2 ∴Dp = 0 M 1 1 v 2 2 m A + A = DE 外 非保内 解： ∵ m和M碰撞 ∵有摩擦 ∴用功能原理 mv = (m+M )V

31. p129-4-10质量为m1 和m2 的物体同倔强系数为k 的弹簧连结，安放在光滑的水平面上，弹簧开始处在自由长度。现有一质量为m3 的子弹以速度v 沿弹簧长度方向水平射入m1 物体内，求弹簧最大压缩量。 m2 m1 v m3 ∴Dp1 = 0 ∴Dp2 = 0 以后∵ SF外= 0 [例2] 解： ∵ m1 和m3 碰撞 m3v = (m1+ m3)v1 ∵有弹簧 ∴DE2 = 0 弹簧最大压缩时，物体速度相同

32. m2 m1 v 1 1 1 2 2 2 (m1+m3)v1 = (m1+m2+m3)v2+ kx m3 2 2 2 1 x = m3v [ — ] 2 1 1 k (m1+m2+m3) k (m1+m3) m3v = (m1+ m3)v1 (m1+ m3)v1 = (m1+ m2 + m3)v2

33. F B A [ 3] F ≠ 0 M = 0 , DL = 0 L = r mv LA = LB , EkA < EkB [ E ]

35. . F ds 0 = . (0) A保 E F dr ò = pa a 若： 若： A + A = 0 外 非保内 则： E + E E + E C = = pb pa ka kb = DE = E Δ p ( ) ( ) A + A = E + E E + E ò pb ka pa kb 外 非保内 保守力的定义： 则称 F为保守力。 则 a点的势能为： 系统的功能原理：