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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 ). 1. 平行四边形 (2) 平行四边形 的性质 , 等腰梯形的性质与判定. 阳泉市义井中学 高铁牛. 1. 回顾与思考. 驶向胜利的彼岸. 学好几何标志是会“ 证明 ”. 证明命题的一般步骤 :. (1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ), 结论 ( 求证 );. (2) 根据题意 , 画出图形 ;. (3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ;. (4) 分析题意 , 探索证明思路 ( 由 “ 因 ” 导 “ 果 ” , 执 “ 果 ” 索 “ 因 ” . );.

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九年级数学 ( 上 ) 第三章 证明 ( 三 )

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  1. 九年级数学(上)第三章 证明(三) 1.平行四边形(2)平行四边形的性质,等腰梯形的性质与判定 阳泉市义井中学 高铁牛

  2. 1 回顾与思考 驶向胜利的彼岸 学好几何标志是会“证明” • 证明命题的一般步骤: • (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); • (2)根据题意,画出图形; • (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; • (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.); • (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; • (6)检查表达过程是否正确,完善.

  3. A E B H F D C G 我思，我进步！ • 如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗? 利用前面学过的公理和定理,我们可以证明许多与四边形的有关结论.

  4. 回顾 思考 1 心动 不如行动 平行四边形的性质 • 你还记得我们探索过的平行四边形的性质及判别条件吗? • 你能利用公理和已有的定理证明它们吗?

  5. 1 我思,我进步 A D 4 1 B 2 C 3 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对边相等. • 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形. • 求证:AB=CD,BC=DA. • 分析:要证明AB=CD,BC=DA可转化全等三角形的对应边来证明,于是可作辅助线来达到目的. 证明:连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,BC∥DA. 从上面的证明过程,你还能得到什么结论? ∴∠1=∠2, ∠3=∠4. ∵AC=CA, ∴△ABC≌△CDA(ASA). ∴AB=CD,BC=DA.

  6. 2 我思,我进步 A D 4 1 B 2 C 3 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对角相等. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形. 求证:∠BAC=∠BCD, ∠B=∠D. 证明: ′ ∵△ABC≌△CDA(已证). ∴∠B=∠D. ∵∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴∠BAC=∠BCD.

  7. 3 我思,我进步 A D 2 4 O B C 3 1 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 定理:平行四边形的对角线互相平分. 已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:CO=AO,BO=DO. 分析:要证明AO=CO,BO=DO可转化全等三角形的对应边来证明. ′ 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥DA. ∵∠1=∠2, ∠3=∠4. ∴BC=DA, ∴△BOC≌△DOA(ASA). ∴CO=AO,BO=DO.

  8. 4 我思,我进步 M A D N B C Q P 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. 已知:如图,直线MN∥PQ,线段AB∥CD,且AB,CD与MN,PQ分别相交于点A,D,B,C. 求证:AB=CD. 分析:可利用平行四边形边的对边相等来证明. ′ 证明: ∴MN∥PQ,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD.

  9. 5 我思,我进步 A D 1 E B C 驶向胜利的彼岸 等腰梯形的性质 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠A=∠D, ∠B=∠C. 分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等边对等角来证明,于是可过D作AB的平行线. ′ 证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E. ∴∠1=∠B. ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形. ∴AB=DE. ∴∠B=∠C. ∵AB=DC, ∵∠A+∠B=1800,∠A+∠B=1800. ∴DE=DC. ∴∠A=∠ADC. ∴∠1=∠C.

  10. 6 我思,我进步 A D B C 驶向胜利的彼岸 等腰梯形的性质 定理:等腰梯形的两条对角线相等. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:AC=DB. 分析:可转化为利用全等三角形的对应边相等来证明. ′ 证明: ∵AD∥BC, ∴∠B=∠C. ∵ AB=DC. BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.

  11. 7 我思,我进步 A D 1 E B C 驶向胜利的彼岸 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠B=∠C. 求证:AB=DC. 分析:可将两个角转化为同一三角形的内角,利用等腰三角形等角对等边来证明,于是可过D作AB的平行线. ′ 证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E. ∴∠1=∠B. ∵∠B=∠C. ∴∠1=∠C. ∴AB=DC. ∴ DE=DC. ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形。 ∴AB=DE.

  12. 8 我思,我进步 A D 2 1 E B C 驶向胜利的彼岸 等腰梯形的判定 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=DB. 求证:AB=DC. 分析:设法将两条相等的线段转化在同一三角形中,利用全等三角形的对应边相等来证明.于是可过点D作AC的平行线. 证明:过D作DE∥AC,交BC的延长线于点E. ′ ∵AD∥BC, DE∥AC, ∴DE=AC,∠1=∠E. ∵AC=DB, ∵BC=CB, ∴DB=DE. ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠2=∠E. ∴AB=DC. ∴∠1=∠2.

  13. A A D D M A D N O B B C C B C Q P 小结 拓展 驶向胜利的彼岸 平行四边形的性质 • 定理:平行四边形的对边相等. • ∵四边形ABCD是平行四边形. • ∴AB=CD,BC=DA. • 定理:平行四边形的对角相等. • ∵四边形ABCD是平行四边形. • ∴∠A=∠C, ∠B=∠D. ′ • 定理:平行四边形的对角线互相平分. • ∵四边形ABCD是平行四边形. • ∴CO=AO,BO=DO. • 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. • ∵MN∥PQ,AB∥CD, • ∴AB=CD. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  14. A A D D B B C C 小结 拓展 等腰梯形的性质 • 定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴∠A=∠D, ∠B=∠C. • 定理:等腰梯形的两条对角线相等. • 在梯形ABCD中,AD∥BC, • ∵AB=DC, • ∴AC=DB.. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  15. A A D D B B C C 小结 拓展 等腰梯形的判定 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵∠A=∠D或∠B=∠C, ∴AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,AD∥BC, ∵AC=DB. ∴AB=DC. • 证明后的结论,以后可以直接运用.

  16. A D E O 2 B 4 C 3 1 F 独立 作业 驶向胜利的彼岸 P76习题3.1 1题 1.已知:如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别交于点滴E,F. 求证:OE=OF. • 分析:要证明OE=OF,可转化全等三角形的对应边来证明. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,AD∥BC. ∴ ∠1=∠2. ∵∠3=∠4, ∴△BOF≌△DOE(ASA). ∴OE=OF.

  17. 下课了! 再 见 结束寄语 • 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.

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