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工程计算机图形学 第三章 二维基本图形生成算法

工程计算机图形学 第三章 二维基本图形生成算法. 浙江大学工程及计算机图学所. 基本概念. 所谓图元的生成，是指完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。通常也称扫描转换图元. 课程内容. §3.1 简单的二维图形显示流程 §3.2 直线段的扫描转换 §3.3 圆弧的扫描转换 §3.4 易画曲线的正负法 §3.5 线画图元的属性控制. 3. 3.1 简单的二维图形显示流程. 图元. 显示. 裁剪和扫描. 图 3-1-1 二维图形显示流程. 裁剪和扫描.

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工程计算机图形学 第三章 二维基本图形生成算法

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  1. 工程计算机图形学第三章 二维基本图形生成算法 浙江大学工程及计算机图学所 SHU Graphics & Image Group

  2. 基本概念 • 所谓图元的生成，是指完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。通常也称扫描转换图元 工程及计算机图形学

  3. 课程内容 §3.1 简单的二维图形显示流程 §3.2 直线段的扫描转换 §3.3 圆弧的扫描转换 §3.4 易画曲线的正负法 §3.5 线画图元的属性控制 3 工程及计算机图形学

  4. 3.1 简单的二维图形显示流程 图元 显示 裁剪和扫描 图3-1-1 二维图形显示流程 工程及计算机图形学

  5. 裁剪和扫描 图形显示前需要进行扫描转换+裁剪，这一过程有三种方法： ● 裁剪 ---〉扫描转换：最常用，节约计算时间。 ● 扫描转换 ---〉裁剪：算法简单； ● 扫描转换到画布 --〉位块拷贝：算法简单，但耗时耗内存。常用于字符显示。 工程及计算机图形学

  6. 3.2 直线段的扫描转换 • 目标：求与直线段充分接近的像素集 • 两点假设 1.直线段的宽度为1 2.直线段的斜率: 像素间均匀网格 整型坐标系 图3-2-1 工程及计算机图形学

  7. 描绘线条图形的要求 • 直线段要显得笔直 • 线段端点位置要准确 • 线段的亮度要均匀 • 转换算法速度要快 工程及计算机图形学

  8. 3.2.1 DDA（ digital differential analyzer）算法 • 条件： • 待扫描转换的直线段： • 斜率： ，其中 • 直线方程： 工程及计算机图形学

  9. 3.2.1DDA算法 • 直接求交算法： • 划分区间[x0,x1]: • 计算纵坐标： • 取整： • 复杂度：乘法+加法+取整 图3-2-2 工程及计算机图形学

  10. 3.2.1DDA算法 • DDA算法（增量算法） • 复杂度：加法+取整 • 算法 图3-2-3 工程及计算机图形学

  11. 3.2.1DDA算法 • DDA算法程序： void LineDDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) /* 假定x0<x1,-1<=k<=1 */ { int x,y； float dx, dy, k; dx= float(x1-x0); dy= float(y1-y0); k=dy/dx; y=y0; for(x=x0; x<= x1, x++) { Putpixel(x, int(y+0.5), color); y+=k; } } 工程及计算机图形学

  12. 3.2.1DDA算法 举例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段 X int(y+0.5) y+0.5 0 0 0 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 图3-2-4 工程及计算机图形学

  13. 3.2.1DDA算法 • 特点1 注意上述分析的算法仅适用于|k| ≤1的情形。在这种情况下，x每增加1, y最多增加1。当 |k| > 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。 • 特点2 在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整。这使得它不利于硬件实现 工程及计算机图形学

  14. 3.2.1DDA算法 改进算法（增量DDA） • 优化点： 增加斜率判断并改变循环参数 工程及计算机图形学

  15. 3.2.1DDA算法 • DDA画线算法程序（改进） void LineDDA(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) { int x,y；float dx, dy,k,l,m; dx= float(x1-x0); dy= float(y1-y0); k=dy/dx; if abs(k)<1) { for(x=x0; x<= x1, x++) { Putpixel(x, int(y+0.5), color); y+=k; } } else { for(y=y0; y<= y1, y++) { Putpixel(int(x+0.5),y,color); x+=1/k; } } ? 如果x0> x1怎么办？ 工程及计算机图形学

  16. 3.2.2画线中点算法 • 目标：消除DDA算法中的浮点运算（浮点数取整运算，不利于硬件实现； DDA算法，效率低） • 条件： • 同DDA算法 • 斜 率： • 直线段的隐式方程（(x0,y0)(x1,y1)两端点） F(x,y)=ax+by+c=0 式中 a=y0-y1,b=x1-x0,c=X0Y1-X1Y0 工程及计算机图形学

  17. 3.2.2画线中点算法 • 基本原理： 画直线段的过程中，当前象素点为(xp, yp)，一个象素点有两种可选择点p1(xp+1, yp)或p2(xp+1, yp+1)。若M=(xp+1, yp+0.5)为p1与p2之中点，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方，则P2 应为下一个象素点；M在Q的上方，应取P1 为下一点。 图3-2-5 工程及计算机图形学

  18. 3.2.2画线中点算法 • 直线的正负划分性 点与直线的关系：on: F(x,y)=0; up: F(x, y)>0; down: F(x, y)<0; 图3-2-6 工程及计算机图形学

  19. 3.2.2画线中点算法 欲判断中M在Q点的上方还是下方，只要把M代F（x，y），并判断它的符号。 构造判别式: d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d<0，M在Q点下方，取P2为下一个象素；    当d>0，M在Q点上方，取P1为下一个象素；    当d=0，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素 工程及计算机图形学

  20. 3.2.2画线中点算法 • 问题：判断距直线最近的下一个象素点 构造判别式：d=F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5) 由d＞0，d＜0可判定下一个象素， P2 P1 P 图3-2-7 工程及计算机图形学

  21. 3.2.2画线中点算法 • 要判定再下一个象素，分两种情形考虑： 1）若d≥0，取正右方象素P1，再下一个象素判定， 由：d1=F(Xp+2,Yp+0.5)=a(Xp+2)+b(Yp+0.5)+c=d+a，d的增量是a 2）若d＜0，取右上方象素P2，再下一个象素， 由：d2=F(Xp+2,Yp+1.5)=d+a+b d的增量为a+b P2 P1 P 图3-2-8 工程及计算机图形学

  22. 3.2.2画线中点算法 • d的初始值 • d0=F(X0+1,Y0+0.5)=F(X0,Y0)+a+0.5*b • 因(X0,Y0)在直线上，F(X0，Y0)=0,所以，d0=a+0.5*b • d的增量都是整数，只有初始值包含小数，可以用2d代替d, 2a改写成a+a。 • 算法中只有整数变量，不含乘除法，可用硬件实现。 工程及计算机图形学

  23. 3.2.2画线中点算法 • 中点算法程序 • MidPointLine(x0,y0,x1,y1,color) • {int x0,y0,x1,y1,color; • int a,b,d1,d2,x,y; • a = y0-y1; b = x1 – x0; d = 2 * a +b; • d1 = 2*a; d2 = 2*(a+b); • x = x0; y = y0; • PutPixel(x,y,color); • while (x<x1) • { if (d<0) { x++; y++; d +=d2;} • else { x++; d +=d1;} • PutPixel(x,y,color); • } • } 工程及计算机图形学

  24. 3.2.2画线中点算法 • 举例 用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段: a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4; d2=2*(a+b)=6 x y d 0 0 1 1 0 -3 d1 2 1 3 d2 3 1 -1 d1 4 2 5 d2 5 2 1 图3-2-9 工程及计算机图形学

  25. 3.2.3画线Bresenham算法 • Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。该方法类似于中点法，由误差项符号决定下一个象素取右边点还是右上点。 • 算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。 工程及计算机图形学

  26. 3.2.3画线Bresenham算法 如下图所示。 设直线方程为 ，其中k=dy/dx。 假设x列的象素已经确定为xi，其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi＋1，而行坐标要么不变为yi，要么递增1为yi＋1。 图3-2-10 工程及计算机图形学

  27. 3.2.3画线Bresenham算法 是否增1取决于如图所示误差项d的值。因为直线的起始点在象素中心，所以误差项d的初值d0＝0。X下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时，直线与xi＋1列垂直网格交点最接近于当前象素（xi，yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）；而当d<0.5时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。 图3-2-10 工程及计算机图形学 27

  28. 3.2.3画线Bresenham算法 为方便计算，令e＝d－0.5，e的初值为－0.5，增量为k。当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素（xi＋1，yi＋1）；而当e<0时，更接近于右方象素（xi＋1，yi）。 工程及计算机图形学

  29. 3.2.3画线Bresenham算法 • Bresenham画线算法程序 void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0;dy = y1- y0;k=dy/dx; e=-0.5;x=x0;y=y0; for (i=0; i<=dx; i++) { Putpixel (x, y, color); x=x+1; e=e+k; if (e>= 0) { y++, e=e-1;} } } 工程及计算机图形学

  30. 3.2.3画线Bresenham算法 • 举例：用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。 x y e 0 0 -0.5 1 0 -0.1 0.3-1 2 1 -0.7 3 1 -0.3 0.1-1 4 2 -0.9 5 2 -0.5 图3-2-11 工程及计算机图形学

  31. 3.2.3画线Bresenham算法 上述bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：e=e*2dx • 改进的Bresenham画线算法程序： void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { dx = x1-x0; dy = y1- y0; e=-dx; x=x0; y=y0; for (i=0; i<= dx; i++) {Putpixel (x, y, color); x++; e=e+2*dy; if (e>= 0) { y++; e=e-2*dx;} } } 工程及计算机图形学

  32. 3.3圆弧的扫描转换 • 处理对象：圆心在原点的圆弧 • 圆的八对称性 图3-3-1 工程及计算机图形学

  33. 两种直接离散方法： • 离散点: • 离散角度: • 缺点：开根，三角函数运算，计算量大，不可取。 工程及计算机图形学

  34. 3.3.1角度DDA法转换圆弧 x = x0 + Rcos y = y0 + Rsin dx =- Rsind dy = Rcosd xn+1 =x n + dx y n+1 =y n + dy xn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )d y n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d 显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算 工程及计算机图形学

  35. 3.3.1角度DDA法转换圆弧 • 圆弧的正负划分性 圆弧外的点：F(X，Y)＞0 圆弧内的点：F(X，Y)＜0 图3-3-2 工程及计算机图形学

  36. 3.3.1角度DDA法转换圆弧 • 生成圆弧的中点算法 • 考虑对象：第二个八分圆， 第一象限的八分之一圆弧 P P1 P2 图3-3-3 工程及计算机图形学

  37. 3.3.1角度DDA法转换圆弧 • 问题：与直线情形类似 • 圆弧的隐函数：F(X,Y)=X2+Y2-R2=0 切线斜率m in [-1,0] • 中点 M=(Xp+1,Yp-0.5), 当F(M)＜0时，M在圆内，说明P1距离圆弧更近，取P1； 当F(M)＞0时，P取P2 工程及计算机图形学

  38. 3.3.1角度DDA法转换圆弧 • 构造判别式 d=F(M)=F(Xp+1,Yp-0.5)=(Xp+1)2+(Yp-0.5)2-R2 1）若d＜0，取P1，再下一个象素的判别式为： d1=F(Xp+2,Yp-0.5)=d+2Xp+3， 沿正右方向，d的增量为2Xp+3； 2）若d≥0，取P2，再下一个象素的判别式为： d2=F(Xp+2,Yp-1.5)=d+(2Xp+3)+(-2Yp+2) 沿右下方向，d的增量为2(Xp-Yp)+5 d的初始值(在第一个象素(0,R)处), d0=F(1, R-0.5)=1.25-R,算法中有浮点数，用e=d-0.25代替 工程及计算机图形学

  39. 所以：初始化运算d0 = 1.25 – R 对应于 e 0= 1- R 判别式 d < 0 对应于 e < -0.25 又因为：e的初值e0为整数，运算过程中的分量也为整数， 故e始终为整数 所以： e < -0.25 等价于 e < 0 程序如下（完全用整数实现）： while( x < y) { if (d <0) { d += 2*x+3; x++; } else { d += 2*(x-y)+5; x++ ; y--; } putpixcel(x,y,color); } } MidpointCircle(r,color) Int r, color; { int x,y,d; x = 0; y = r; d = 1-r; putpixcel(x,y,color); 工程及计算机图形学

  40. Pi-1 Hi Li 3.3.2Bresenham画圆算法 现在从A点开始向右下方逐点来寻找弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该从Hi或者Li中选择。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点。 假设圆的半径为R，显然，当xHi2 + yHi2 -R2 ≥ R2 - (xLi2 + yLi2)时，应该取Li。否则取Hi。 令di = xHi2 + yHi2 + xli2 + yli2 - 2R2显然，当di ≥0 时应该取Li。否则取Hi。 图3-3-4 工程及计算机图形学

  41. Pi-1 Hi Li 3.3.2Bresenham画圆算法 剩下的问题是如何快速的计算di。设图中Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则Hi和Li的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 ) di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2 =2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 +(yi -1)2 - 2R2 =2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3 图3-3-4 工程及计算机图形学

  42. Pi-1 Hi Li 3.3.2Bresenham画圆算法 当di<0时->取Hi -> yi=yi-1，则 di+1 = di + 4xi-1 + 6 当di≥ 0时->取Li -> yi=yi-1-1，则 di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0+1=12 + y02 + 12 +(y0- 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2R 图3-3-4 工程及计算机图形学

  43. 3.3.2Bresenham画圆算法 1、求误差初值，p1=3-2R; i=1；画点(0, r)；　 2、求下一个光栅位置： x(i+1) = x(i)+1； 如果pi<0则y(i+1) = y(i) ，否则y(i+1) = y(i)-1 ； 3、画点（x(i+1),y(i+1)）; 4、计算下一个误差： if pi<0 则p(i+1) = p(i)+4x(i)+6； 否则 p(i+1)= p(i)+4(x(i)-y(i))+10； 5、i=i+1; if x=y 则end；否则返2。 工程及计算机图形学

  44. 3.3.2Bresenham画圆算法 • Bresenham画圆算法程序 Bres_circle(xc, yc, radius, c) intxc, yc, radius, c; { int x, y, p; x=0; y=radius; p=3-2*radius; while (x<y) { plot_circle_points(xc, yc, x, y, c); if (p<0) p=p+4*x+6; else { p=p+4*(x-y)+10; y-=1; } x+=1; } if (x= =y) plot_circle_points(xc, yc, x, y, c); } 工程及计算机图形学

  45. 3.3.3椭圆的扫描转换 • F(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 • 椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成，分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分界点。 • 椭圆上一点处的法向： N(x,y) = (F)’x i + (F)’y j = 2b2 x i + 2a2 y j 图3-3-5 工程及计算机图形学

  46. 3.3.3椭圆的扫描转换 在上半部分,法向量的y分量大 在下半部分,法向量的x分量大 法向量 两分量相等 M1 上半部分 下半部分 M2 图3-3-6 在当前中点处，法向量（ 2b2 (Xp+1) ，2a2 (Yp-0.5))的y分量比x分量大,即：b2 (Xp+1) < a2 (Yp-0.5), 而在下一中点，不等式改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分。 工程及计算机图形学

  47. 3.3.3椭圆的扫描转换 • 椭圆的中点算法 与圆弧中点算法类似：确定一个象素后，接着在两个候选象素的中点计算一个判别式的值，由判别式的符号确定更近的点。 先讨论椭圆弧的上部分 (Xp，Yp)中点(Xp+1,Yp-0.5) d1=F(Xp+1,Yp-0.5)= b2(Xp+1)2+a2(Yp-0.5)2-a2b2 工程及计算机图形学

  48. 3.3.3椭圆的扫描转换 根据d1的符号来决定下一像素是取正右方的那个，还是右上方的那个。 • 若d1＜0，中点在椭圆内，取正右方象素，判别式更新为： d1'=F(Xp+2,Yp-0.5)=d1+b2(2Xp+3) d1的增量为b2(2Xp+3) • 当d1≥0，中点在椭圆外，取右下方象素，更新判别式： d1'=F(Xp+2,Yp-1.5)=d1+b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2) d1的增量为b2(2Xp+3)+a2(-2Yp+2) 工程及计算机图形学

  49. 3.3.3椭圆的扫描转换 • d1的初始条件： 椭圆弧起点为(0，b)，第一个中点为(1,b-0.5) 初始判别式： d10=F(1,b-0.5)=b*b+a*a(-b+0.25) 转入下一部分，下一象素可能是一正下方或右下方，此时判别式要初始化。 d2 = F(Xp+0.5,Yp-1) = b2(Xp+0.5)2+a2(Yp-1)2-a2b2 若d2<0,则d2’ = F(Xp+1.5,Yp-2) = d2 + b2(2Xp+2)+a2(-2Yp+3) 若d2>=0,则d2’ = F(Xp+0.5,Yp-2) = d2 + a2(-2Yp+3) 下半部分弧的终止条件为 y = 0 工程及计算机图形学

  50. 3.3.3椭圆的扫描转换 程序：MidpointEllipe(a,b, color) int a,b,color; { int x,y; float d1,d2; x = 0; y = b; d1 = b*b +a*a*(-b+0.25); putpixel(x,y,color); while( b*b*(x+1) < a*a*(y-0.5)) { { if (d1<0) d1 +=b*b*(2*x+3); x++; } else { d1 +=(b*b*(2*x+3)+a*a*(-2*y+2)) x++; y--; } putpixel(x,y,color); }//上部分 工程及计算机图形学

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