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一般化マクマホン立方体パズルの 問題例生成

一般化マクマホン立方体パズルの 問題例生成. 原口和也 柿崎幸大 丸岡章 石巻専修大学 理工学部 情報電子工学科. マクマホン立方体. 各面が相異なる 6 色で彩色された単位長の立方体 使える 6 色は決められているものとする 回転したものも同一とみなすと 30 通りの彩色 適当な添字を付けてキューブ j(=1,...,30) と呼ぶ. 上面に１色固定. 側面 : (4-1)!=6 通り. 対面 : ５通り. 5 6=30 通り. 最初のマクマホン立方体パズル. 残り 29 個で長さ 2 の立方体を作れ モデル として与えられたキューブと同じ彩色

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一般化マクマホン立方体パズルの 問題例生成

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Presentation Transcript

  1. 一般化マクマホン立方体パズルの問題例生成 原口和也 柿崎幸大 丸岡章 石巻専修大学 理工学部 情報電子工学科

  2. マクマホン立方体 • 各面が相異なる6色で彩色された単位長の立方体 • 使える6色は決められているものとする • 回転したものも同一とみなすと30通りの彩色 • 適当な添字を付けてキューブj(=1,...,30)と呼ぶ 上面に１色固定 側面: (4-1)!=6通り 対面: ５通り 56=30通り

  3. 最初のマクマホン立方体パズル 残り29個で長さ2の立方体を作れ • モデルとして与えられたキューブと同じ彩色 • 内部では同じ色の面同士が接する モデル

  4. Conwayによる解法

  5. 本研究で考えるパズル キューブ集合 S (|S|n3) 整数 n2 キューブ集合Sから長さnの立方体を作れ • モデルとして与えられたキューブjと同じ彩色 • 内部の色は問わない モデル（キューブj） 作れるならば 「Sは長さnのキューブjを 構成可能」

  6. 関連研究 [Berkove et al., 2008] n3 ならば任意のキューブ集合 S(|S|n3) から 長さ n のあるキューブを構成可能 • S は長さ 2 のキューブ j を構成可能  長さ n のキューブ j も構成可能 • |S|27  S は長さ 2 のあるキューブを構成可能 頂点：3色 (長さ2の解を割当) 辺：2色 n 2 面：1色

  7. 研究成果 任意のキューブを構成可能 （万能キューブ集合） (n=2) 集合の サイズ どのキューブも 構成不可能 12 8 キューブ集合の空間

  8. 用語の準備：色トリプル (赤,水色,緑) • 頂点に接する3面の色を 時計回り順に並べた3つ組 • 開始面によって3通り 同値とみなす • 1つのキューブは 8つの色トリプルを持つ

  9. 構成可能性の判定 キューブ集合Sはキューブjを構成できるか? Sに含まれるキューブ キューブjの色トリプル (赤,水色,緑) (赤,紫,水色) (赤,緑,橙) (赤,橙,紫) (青,緑,水色) (青,水色,紫) サイズ8のマッチングが存在  構成可能 (青,橙,緑) ... ... (青,紫,橙)

  10. 万能キューブ集合の判定 Sに含まれるキューブ キューブ1の色トリプル 最小サイズの 万能キューブ集合を 数理計画で求められる キューブ2の色トリプル ... ... キューブ30の色トリプル 30個すべての生成部分グラフにおいて サイズ8のマッチングが存在 S は万能キューブ集合

  11. Conways tableとの関係

  12. Conways tableとの関係 色トリプルを共有しない  キューブ構成に使えない

  13. 各行/列から2個づつ選ばれることの必要性 5個選ばれる行/列が存在 3,4個選ばれる行/列が 存在する場合も同様

  14. 今後の課題 • Conway’s Table における 最小万能キューブ集合の必要十分条件? • 各行各列からちょうど2個ずつ（⇒は証明済） • 対称行列（not yet）

  15. 任意のキューブを構成可能 （万能キューブ集合） (n=2) ? <27 22 どのモデルも 構成不可能 12 8 キューブ集合の空間

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