OBJEK KAJIAN FILSAFAT MATEMATIKA, TIGA PAHAM BESAR, RASIONALISME PLATO

1. OBJEK KAJIAN FILSAFAT MATEMATIKA, TIGA PAHAM BESAR, RASIONALISME PLATO

2. Filsafat Matematika adalah suatu cabang matematika yang memusatkan pengkajiannya pada dua pertanyaan pokok : • Memusatkan kajian terhadap arti dari kalimat matematika • Memusatkan kajian bertolak dari pertanyaan apakah objek abstrak matematika itu ada. Terkait dengan yang pertama, akan muncul pertanyaan2: Sebenarnya apa arti kalimat-kalimat matematika “3 merupakan bilangan prima”, “2+2=4” atau “Terdapat tak hingga bilangan prima” Sehingga tugas pokok dari filosuf adalah mengkonstruk teori semantik untuk bahasa matematika

3. semantik=mempelajari makna kata Kalimat “Kapuas merupakan nama gunung di Jawa” secara semantik adalah salah, tetapi “Semeru merupakan nama gunung di Jawa” secara semantik benar. Lalu secara semantik, bagaimana dengan kalimat matematika “3 merupakan bilangan prima”, “2+2=4” atau “Terdapat tak hingga bilangan prima” • Alasan para filosof terkait dengan hal ini adalah: • Tentang kebenaran yang tidak dapat serta merta dijelaskan • Jawaban yang berbeda akan membawa implikasi filosofis yang berbeda

4. Misalnya tentang kalimat “3 merupakan bilangan prima”, apakah 3? 3 itu apa? Antirealis mengatakan bahwa bilangan itu tidak ada, bagaimana kita menilai secara semantik? Realis mengatakan bahwa bilangan itu ada. Dalam kelompok realis sendiri ada yang menyebut bilangan sebagai objek mental(something like ideas in people’s head) tetapi adapula yang menganggap bilangan ada di luar pikiran ( numbers exist outside of people’s head), seperti pada dunia nyata. Pandangan lain yaitu dari penganut Plato (platonisme) yang menganggap bahwa bilangan merupakan objek abstrak yang tidak nyata dan bukan objek mental.

5. Jadi menurut platonis ojek abstrak itu ada tetapi bukan sesuatu pada dunia nyata atau dalam pikiran manusia. Karena kenyataannya bilangan (dan objek matematika yang lain) tidak ada pada ruang dan waktu manapun. Pertanyaan berikutnya bagaimanakah objek abstrak ada?

6. Mathematical Platonism • Platonisme pada matematika, memandang bahwa • Terdapat objek abstrak yang secara keseluruhan non spatial-temporal, non physical, dan non mental • Terdapat kebenaran kalimat secara matematik yang melengkapi gambaran suatu objek Diantara Platonist kontemporer, akhirnya tersepakati bahwa yang dimaksud objek abstrak adalah objek yang nonspatialtemporal. Platonisme merupakan paham dalam matematika yang eksis selama dua milenium setelah itu stagnan, setelah Gotlob Frege mengembangkan logika matematika modern

7. Versi Platonisme nontradisional • Dikembangkan pada tahun 1980-an dan 1990-an oleh: • Penelope Maddy • Mark Balaguer dan Edward Zaita • Michael Resnik dan Stewart Shapiro Konsen atas bagaimana orang mendapatkan pengetahuan dari objek abstrak Menurut Maddy, matematika adalah pengetahuan tentang objek abstrak dan objek abstrak merupakan sesuatu yang nonphysical dan non mental, meskipun berada pada ruang dan waktu

8. Tiga Paham Besar dalam Filsafat Matematika Logisisme-formalisme-intuisionisme

9. Realisme memandang bahwa entitas matematika ada terbebas dari pikiran. Logisisme memandang bahwa matematika merupakan bagian dari logika. Empirisme memandang bahwa matematika harus dikembangkan secara empiris. Formalisme menyatakan bahwa pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkansebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.

10. Paham logisisme dipelopori oleh filosof Inggris Bertrand Arthur William Russel Russel (1930) menulis buku “The Principles of Mathematics” yang berpegang pada pendapat bahwa matematika semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Menurut Russel matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan secara logika. Logika dan matematika berkembang pada zaman modern. Logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Akibtnya kini sepenuhnya menjadi tak mungkin untuk menarik garis diantara keduanya, sesungguhnya dua hal itu merupakan satu.

11. Bertrand Russell • “Do not fear to be eccentric in opinion, for every opinion now accepted was once eccentric.”     • Bertrand Russell

12. Pada tahun 1910-1913 Russel bekerja sama dengan Alfred North Whitehead menulis “karya besar” berjudul Principia Mathematica untuk membuktikan bahwa logika merupakan masa muda matematika dan matematika merupakan masa tua logika. Pembuktian diawali dengan pangkal-pangkal pendapat dari logika dan kemudian dengan deduksi-deduksi sampailah pada hasil-hasil yang nyata-nyata termasuk dalam bidang matematika. Misalnya bilangan terbukti dapat dinyatakan dengan istilah-istilah logika atau dalam dalil-dalil logika dan segenap sifatnya ditunjukkan oleh logika.

13. Ada dua hal pokok dalam aliran ini, yaitu (1). Semua konsep dalam matematika pada akhirnya dapat diturunkan dari konsep-konsep logika, penyajian dari penurunan tersebut meliputi konsep-konsep teori bilangan maupun beberapa sistim yang terdapat pada teori Russsel. (2). Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma-aksioma dan aturan-aturan logika.

16. Paham formalisme dipelopori oleh matematikawan Jerman, David Hilbert Menurut paham formalisme, sifat alami dari matematika adalah sistem lambang yang formal. Matematika terkait dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang tersebut. Simbol-simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi objek matematika. Bilangan-bilangan dipandang sebagai sifat-sifatstruktural yang paling sederhana dari benda-benda Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja, formalisme berusaha menyelidiki struktur dari berbagai sistem.

17. DAVID HILBERT

20. Paham intuitionisme dipelopori oleh matematikawan Belanda, Luizen Egbertus Jan Brouwer Brouwer berpendapat bahwa matematika adalah bagian yang sama dengan bagian yang eksak dari pemikiran manusia. Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal manusia (human intellect) dan bukan pada simbol-simbol di atas kertas sebagaimana diyakini oleh paham formalisme. Dalam pemikiran para intuitionist, matematika berlandaskan pada suatu ilham dasar (basic intuition) mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tidak terbatas. Ilham ini pada hakekatnya merupakan suatu aktivitas berpikir yang tak tergantung pada pegalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, serta bersifat objektif.

22. Tentang Socrates, Plato dan Aristoteles

23. SOCRATES PLATO ARISTOTELES PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES 470 399 427 SM 384 322 347 SOCRATES (71th) PLATO (80th) ARISTOTELES(62thn) Rasionalisme Plato dan Aristoteles 23

24. SOCRATES Socrates dilahirkan di Athena, Yunani tahun 470 SM. Setiap hari Socrates terus berpikir untuk mencari kebenaran. Socrates selalu bertanya tanpa memberikan jawaban karena ia ingin orang lain berpikir dan memahami jawaban pertanyaan tersebut. Menurut Plato dan Aristoteles, Socrates adalah orang pertama yang memperkenalkan cara berpikir induktif dan membuat definisi universal. Cara berpikir tersebut kemudian dikenal sebagai metode Socrates. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 24

25. SOCRATES • Ia juga orang pertama di dunia yang mengemukakan bahwa di dalam diri manusia terdapat jiwa/rohani. • “Socrates menyadari bahwa jiwa jauh lebih penting daripada tubuh fisik dan jiwa tidak akan mati” sebagai bapak psikologi rasional. • Socrates adalah ahli filsafat Yunani yang diakui sebagai guru moral terbesar di dunia hingga saat ini. • Ia adalah salah satu dari ketiga orang yang sangat berperan dalam meletakkan dasar-dasar peradaban Barat. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 25

26. Socrates juga menemukan bahwa Tuhan hanya satu dan memiliki kekuasaan terhadap segala sesuatu. Ia menemukan hal ini melalui pemikirannyasendiri, bukan dari Al-quran dan Injil. Dengan penemuannya ini, ia sangat ingin mendidik moral masyarakat Athena menjadi lebih baik. Namun, penemuannya ini malah dianggap sebagai ajaran sesat yang hanya akan meracuni pikiran dan jiwa anak-anak muda. Ia dianggap melanggar ajaran keyakinan masyarakat Yunani yang pada saat itu menyembah banyak dewa. Pada tahun 399 SM, saat Socrates berusia 71 tahun melaksanakan hukuman mati dengan minum racun. SOCRATES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 26

27. Plato adalah murid Socrates, yang datang dari keluarga terpandang dan terpelajar. Karena Socrates tidak meninggalkan tulisan dan Plato adalah murid yang paling memahami pemikiran Socrates, maka Plato merasa bahwa dirinya adalah juru bicara yang paling sah dari Socrates. Walaupun demikian tetap dapat dibedakan pemikiran asli Socrates dengan Plato. Kesaksian Aristoteles dalam Metaphysics menyebutkan, “Socrates tidak memandang definisi-definisi universal sebagai eksistensi terpisah. Plato-lah yang membuat pemisahan tersebut dan jenis entitas ini disebutnya sebagai ‘Idea-Idea’ (Forms). PLATO Rasionalisme Plato dan Aristoteles 27

28. Forms yang diungkapkan Plato dalam dialog-dialognya didominasi oleh pengertian-pengertian etis, misalnya kebaikan, keindahan, keadilan atau keberanian. Ketika hendak menjelaskan pengertian “Form” sebagai substansi obyektif yang berdiri sendiri, Plato mengambil contohnya dengan pengertian-pengertian etis. Plato mengatakan, “Keindahan (beauty) tidak dimanifestasikan sebagai sebuah muka atau sebagai tangan atau benda-benda jasmani lainnya, tidak juga sebagai wacana atau ilmu pengetahuan, tidak juga sebagai pengada yang terdapat pada makhluk hidup atau bumi atau langit atau dalam apapun lainnya; tetapi sebagai “existing itself by itself with itself” (keberadaan diri oleh dan dengan dirinya sendiri), selalu unik dalam ‘form’. PLATO Rasionalisme Plato dan Aristoteles 28

29. Dengan melalui Forms yang obyektif, tetap, dan universal, maka Plato telah memberikan landasan ontologis dan epistemologis akan keuniversalan nilai-nilai moral yang diperjuangkan Socrates sepanjang hidupnya. Melalui ajaran itu, Plato mencoba membuktikan bahwa “Kebaikan”, “Keadilan”, “Keberanian” dan lainnya real dan obyektif. Menurut Plato, kebenaran ada pada dunia ide (the Forms). Bentuk yang paling sempurna hanya ada pada ide, konsep yang terbentuk dari hal nyata, tidak pernah sempurna. Plato dikenal sebagai seorang dualist, yang memisahkan antara dunia ide dan materi. PLATO Rasionalisme Plato dan Aristoteles 29

30. Plato mengembangkan pendekatan yang sifatnya rasional-deduktif sebagaimana mudah dijumpai dalam matematika. Problem filsafati yang digarap oleh Plato adalah keterlemparan jiwa manusia ke dalam penjara dunia inderawi, yaitu tubuh. Itu persoalan ada ("being") dan mengada (menjadi, "becoming"). Menurut Plato, bentuk pengetahuan yang berfungsi sebagai pedoman yang paling andal di sepanjang jalan ini adalah matematika, sedangkan bentuk pengetahuan yang terandal di dalam matematika adalah geometri. Sumbangan filsafat Plato bagi psikologi/sains adalah penekanan pada rasionalitas dan objektivitas dari pengetahuan/ilmu yang dapat dikatakan sebagai peletakan dasar pengetahuan alam (sains) yang sampai sekarang masih dianut. PLATO Rasionalisme Plato dan Aristoteles 30

31. Lahir pada tahun 384 SM di Stageira, Yunani Utara. Meninggal di Kalkis pada tahun 322 SM. Belajar selama 20 tahun dalam Akademia Plato. Ayahnya adalah seorang dokter, dan atas bimbingan ayahnya Aristoteles sejak kecil telah banyak menaruh perhatian kepada ilmu-ilmu alam. Pengalaman ini berpengaruh terhadap pandangan ilmiah dan filosofisnya di kemudian hari. Menurut Plato, realitas tertinggi adalah apa yang kita pikirkan dengan akal kita, sedang menurut Aristoteles realitas tertinggi adalah apa yang kita lihat dengan indera-mata kita. ARISTOTELES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 31

32. Aristoteles tidak menyangkal bahwa manusia memiliki akal yang sifatnya bawaan, dan bukan sekedar akal yang masuk dalam kesadarannya oleh pendengaran dan penglihatannya. Namun justru akal itulah yang merupakan ciri khas yang membedakan manusia dari makhluk-makhluk lain. Akal dan kesadaran manusia kosong sampai ia mengalami sesuatu. Karena itu, menurut Aristoteles, pada manusia tidak ada idea-bawaan. ARISTOTELES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 32

33. Aristoteles adalah seorang ahli biologis, seorang yang sangat empiris, percaya pada hal-hal natural dan riil. Tidak seperti Plato yang senang bergerak di bidang-bidang ideal, Aristoteles adalah seorang yang down to earth. Bagi Aristoteles, psikologi adalah ilmu tentang jiwa (soul). Jiwa menjadi bagian vital dari individu, menggerakkan, mengarahkan perkembangan organisma, dan mengaktualisasikan organisma menjadi eksistensinya yang sekarang. Dalam hal ini Aristoteles berbeda pandangan dengan gurunya yang memisahkan idea (yang dalam konsepsi Aristoteles dapat disamakan dengan soul) dan materi. Bagi Aristoteles, soul dan materi tidak dapat dipisahkan. Materi tidak berarti tanpa soul. ARISTOTELES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 33

34. Aristoteles menegaskan bahwa ada dua cara untuk mendapatkan kesimpulan demi memperoleh pengetahuan dan kebenaran baru, yaitu metode rasional-deduktif dan metode empiris-induktif. Dalam metode rasional-deduktif dari premis dua pernyataan yang benar, dibuat konklusi yang berupa pernyataan ketiga yang mengandung unsur-unsur dalam kedua premis itu. Inilah silogisme, yang merupakan fondasi penting dalam logika, yaitu cabang filsafat yang secara khusus menguji keabsahan cara berfikir. Metode empiris-induktif, pengamatan-pengamatan indrawi yang sifatnya partikular dipakai sebagai basis untuk berabstraksi menyusun pernyataan yang berlaku universal. ARISTOTELES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 34

35. ARISTOTELES • Pemikiran Aristoteles merupakan harta karun umat manusia yang berbudaya. Pengaruhnya terasa sampai kini. Hal tersebut karena kekuatan sintesis dan konsistensi argumentasi filsafatinya dan cara kerjanya yang berpangkal pada pengamatan dan pengumpulan data. Berhasil menggabungkan (melakukan sintesis) metode empiris-induktif dan rasional-deduktif tersebut di atas. • Aristoteles menempatkan filsafat dalam suatu skema yang utuh untuk mempelajari realitas. Studi tentang logika atau pengetahuan tentang penalaran, berperan sebagai "alat" untuk sampai kepada pengetahuan yang lebih mendalam, untuk selanjutnya diolah dalam teori yang dibawa kepada praktek. • Aristoteles mengawali serta mendorong, kelahiran banyak ilmu empiris seperti botani, zoologi, ilmu kedokteran, dan tentu saja fisika. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 35

36. PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES Perlu diketahui bahwa Plato dapat dikatakan sebagai filsuf pertama yang secara jelas mengemukakan epistemologi dalam filsafat, meskipun ia belum menggunakan secara resmi istilah epistemologi ini. Filsuf Yunani berikutnya yang berbicara tentang epistemologi adalah Aristoteles. Plato dan Aristoteles adalah guru dan murid yang merupakan dua tokoh besar dalam sejarah, yang telah berhasil membentuk dan meletakkan dasar yang paling kokoh bagi pembangunan kebudayaan dan peradaban Barat modern. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 36

37. PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES • Perbedaan yang paling mendasar antara filsafat Plato dan Aristoteles sebenarnya terletak pada pandangan mereka tentang ada dan kebenaran ada. • Apabila Plato mengatakan bahwa ada yang sebenarnya berada di dunia ide, maka Aristoteles tidak mengenal ada yang berada di dunia ide itu. • Bagi Aristoteles tidak ada dunia lain selain dunia indrawi ini. Oleh sebab itu ada yang sebenarnya harus ditemukan pada kebenaran ada itu sendiri. Sehingga filsafat Plato disebut filsafat idealisme dan filsafat Aristoteles disebut filsafat realisme. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 37

38. Tabel Perbandingan Epistemologi Plato dan Aristoteles. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 38

39. PERBANDINGAN FILSAFAT PLATO DAN ARISTOTELES • Perbedaan epistemologi Plato dan Aristoteles ini memiliki pengaruh besar terhadap para filsuf modern. • Idealisme Plato mempengaruhi filsuf-filsuf Rasionalis seperti Spinoza, Leibniz, dan Whitehead. • Sedangkan pandangan Aristoteles tentang asal dan cara memperoleh pengetahuan mempengaruhi filsuf-filsuf Empiris seperti Locke, Hume, dan Berkeley. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 39

40. RASIONALISME PLATO DAN ARISTOTELES Rasionalisme Plato dan Aristoteles 40

41. Mat & filsafat dilahirkan di Yunani kuno. Sebelum Yunani, Mat.berisi teknik kalkulasi & sistem numerasi, yg berhub. dgn agama atau hal-hal praktis. Suatu legenda yg berisi ttg ramalan Apollo menyatakan bhw suatu bencana akan berakhir jika altar tertentu diduakalikan ukurannya, dgn bentuk yang tetap. Isu `praktis' ttg mencegah bencana diarahkan kpd permasalahan geometris ttg penggandaan kubus. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 41

42. Dua permasalahan yg serupa, yaitu: (1) membagi sudut menjadi tiga bagian yang sama (2) menentukan panjang sisi persegi yang luasnya sama dengan suatu lingkaran tertentu. Permasalahan ini menjadi pemikiran para ahli mat. selama berabad-abad. Akhirnya, lebih dari 2000 th kemudian para ahli mat. tdk menemukan solusi-nya shgpermasalahan tsb dianggap mustahil utk diselesaikan. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 42

43. 1. The world of Being Plato termotivasi oleh kesenjangan antara ide yg dpt kita mengerti dgn dunia fisik di sekitar kita. Sebagai contoh, meski kita memp. gambaran mental ttg keadilan (justice) yg jelas, namun segala hal yang kita lihat dan kita dengar ternyata tak ada yg memenuhi keadilan sempurna.  keindahan (beauty)  alim (pious)  baik (virtuous) Segala sesuatu yg ada di dunia memp.kekurangan. Kita punya pemahaman ttg harapan yg sempurna, namun kita tdk pernah menemukannya. Mengapa ? Rasionalisme Plato dan Aristoteles 43

44. Jwbn Plato: ada realitas ttg Forms yg berisi hal-hal yg sempurna seperti “Keindahan”, “Keadilan”, &“Kealiman”. • Plato menyebut dunia fisik sbg The world of Becoming, krn objek fisik tunduk pd perubahan & kecurangan. • Objek-objek tsb mendptkan sesuatu yg lebih baik & juga yg lebih buruk. • Apa yang indah dapat menjadi buruk. • Apa yg baik dpt menjadi jahat. • Sebaliknya, Form 'Keindahan’ bersifat kekal & tidak berubah keindahannya & akan selalu tetap sama. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 44

45. Dalam buku The Meno dijelaskan bahwa Plato diminta Socrates utk mengajarkan seorang budak menemukan suatu teorema: persegi yg sisinya merup diagonal persegi tertentu memp. luas 2x luas persegi semula. Socrates menekankan bahwa baik Plato maupun siapapun orangnya tidak boleh menunjukkan teorema tsb. kepada budak. Dgn menanyakan secara hati-hati & menunjuk aspek dari suatu diagram yg digambar, ternyata Socrates mendapati budak tsb menemukan sendiri teorema itu. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 45

46. Plato menggunakan eksperimen tsbutk mendukung suatu doktrin bhw ketika eksperimen menggunakan geometri atau the world of Being pd umumnya, maka apa yang disebut 'belajar' adalah mengingat-ingat secara nyata dari kehidupan masa lampau yg kiranya merupakan waktu ketika jiwa memp. akses langsung ke the world of Being. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 46

47. 2. Pandangan Plato ttg Matematika Mat. atau paling tidak geometri, merup suatu contoh langsung kesenjangan antara dunia materi di sekitar kita dgn dunia pikiran yg tenang, ideal, sempurna. Dari sebelum zaman Plato sampai hari ini kita telah memiliki definisi-definisi ttg garis lurus, lingkaran, dsb. Tetapi dunia fisik memuat grs lurus tanpa lebar yg tdk sempurna, tdk ada lingkaran yg sempurna, atau tidak ada yang sempurna yang dapat kita lihat. Barangkali grs lurus & lingkaran sempurna dsb., menjadi bagian dari ruang fisik yg kita tempati, tetapi meskipun demikian, kita tidak akan menemukannya dalam dunia fisik manapun. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 47

48. Utk mendptkan kejelasan, Plato percaya bhw proposisi geometri scr obyektif adl benar atau salah, serta bebas dari pikiran, bahasa, dan juga bebas dari para ahli matematika. Plato percaya bahwa objek geometris bukanlah obyek fisik, dan bahwa obyek geometri bersifat tidak berubah dan kekal.  Dalam hal ini, paling tidak objek geometris adalah seperti Forms dan berada dalam the world of Being.  Ia akan menolak pernyataan bahwa objek geometris ada dalam ruang fisik. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 48

49. THE GOOD FORMS BEING Objek Matematis Objek Fisik BECOMING Refleksi Rasionalisme Plato dan Aristoteles 49

50. Gambar. 3.2. Garis singgung pada lingkaran Perhatikan, teorema ttg grs singgung lingk. yang memotong lingk. pd sebuah titik. Meskipun jika seseorang secara hati-hati menggambar suatu lingk.& grs singgungnya, menggunakan peralatan yg mahal atau pensil yg sangat tajam (atau printer yg canggih), seseorang masih melihat bhw garis singgung tsb memotong lingk. di suatu daerah kecil, bukan pada suatu titik. Rasionalisme Plato dan Aristoteles 50