Teoreme de schimbare de variabila

SCHIMBREA DE VARIABILA ÎN INTEGRALA NEDEFINITĂProf.Vasile ArsinteLiceul Teoretic CALLATIS Mangalia2010 Teoreme de schimbare de variabila

TEOREMA DE SCHIMBARE DE VARIABILA • Fie I,J R intervale, φ :IR, f: J R cu φ derivabilã . Atunci: • (I) Dacã f admite primitive, F fiind o primitiva a sa, atunci (foφ).φ’ admite primitive, Foφfiind o primitiva a sa. • (I) se mainumeşteprima metodã de schimbare de variabilã

(II) Dacã φ, in plus, e bijectivãşi cu derivatanenulãpe I, iar h= (foφ).φ’ admite primitive, H fiind o primitivã a sa, atunci f admite primitive, Hoφ-1 fiind o primitiva a sa. (II) se mainumeştea douametodã de schimbare de variabilã.

FaptulFo e o primitivă a lui (foφ).φ’ se scrieastfel : f(φ(t))φ’(t) dt = Foφ + C, • iarfaptulcã Hoφ-1 e o primitivã a lui f, în(II), se scrieastfel: f(x)dx=Ho φ-1 +C

b.Primametodã de schimbare de variabilã • Avemurmãtorulalgoritm de aplicarea primeimetode de schimbare de variabilã: • (i) Se ceresã se determine primitiveleuneifuncţii h: I → R ceadmite primitive;

(ii) Se cautã J  R un interval șidouăfuncții φ: I→J , f: J→R astfelîncîtsãputemscrie h(t)= f(φ(t))φ’(t) , ()tI; (iii) Se cautã o primitivã F a lui f, adicã f(x)dx= F(x)+C (iv) H= Fo,vafi o primitivã a lui (foφ)φ’ , adicã h(t)dt=f(φ(t))φ’(t) dt = F(φ(t)) + C

OBSERVATIE • In cãrţilemaivechi, uneori, se substituie formal φ(t) cu x şi φ’(t)dt cu dxîn ∫f(φ(t)).’(t)dtşi se scrie “egalitatea” : • ∫f(φ(t))φ’(t)dt= ∫f(x)dx care e o preluareformalã , fãrãsens, a formulei de schimbare de variabilã din integraladefinitã .

Teoreme de schimbare de variabila