Series de Fourier

1. Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro González

2. La primera serie de Fourier de la historia Euler 1744 escribe en una carta a un amigo: ¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica.

3. Funciones Periódicas Una función periódicaf(t) cumple que para todo valor de t: f(t) = f(t + T). Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,... Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

4. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función Si f(t) es periódica se debe cumplir: Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p. Es decir: T = 6k1p = 8k2p con k1 y k2 enteros. El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

5. 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) 2 1 f(t) 0 -1 -2 24p -3 0 50 100 150 200 t Gráfica de la función T

6. ¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función: f(t) = cos(w1t) + cos(w2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n. Es decir, que cumplan: T = m/ (2pw1) = n/ (2pw2)

7. Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que ¿Es periódica? f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t) 2 1 f(t) 0 -1 -2 0 5 10 15 20 25 30 t

8. Para que exista periodicidad w1/ w2 debe ser un número racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: • f(t) = sen(nt), donde n es un entero. • f(t) = sen2(2pt) • f(t) = sen(t) + sen(t + p/2) • f(t) = sen(w1t) + cos(w2t) • f(t) = sen(2 t)

9. Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, ¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)? T1 = 5 T2 = 5 T = 2,5

10. Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos: extendida periódicamente con T = 1: extendida periódicamente con T = 1:

11. ¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

12. T = ?

13. Volvamos al resultado de Euler: ¿Cómo lo alcanzó? Utilizando la fórmula de Euler para cada término: Integrando término a término: Particularizamos t para encontrar C:

14. Fourier series java applet • (http://www.falstad.com/fourier/)

15. (1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π. (2) La serie es una función impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2. Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

16. Leonhard Euler 1707-1783 Jean d'Alembert 1717-1783 Daniel Bernouilli 1700-1782 Lagrange

17. Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1. Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función. Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

19. En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución: un(x,t) = sin(nx) cos(nt) donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos. Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

20. Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t) Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como: con una adecuada elección de los coeficientes an...

21. Joseph Fourier En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler. Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830 Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...

22. Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio. Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

23. Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión: Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio. Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...

24. Dividiendo entre X(x)T(t): C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...

25. La combinación lineal de soluciones será también solución: Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.

26. Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

27. a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...

28. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

29. Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

30. Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que: Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p, ya que ¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?

31. Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T.

32. w0= 2p/T Vamos a verificarlo probándolo a pares: 1.- f(t) = 1vs.cos(mw0t): Ya que m es un entero.

33. w0= 2p/T 2.- f(t) = 1vs.sen(mw0t): 3.-cos(mw0t) vs. cos(nw0t): cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] cos2q = ½ (1+cos2q)

34. sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2q) 4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t): 5.-sen(mw0t) vs. cos(nw0t): sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

35. ¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),..., sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...} con w0= 2p/T, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:

36. 0, si m ≠ 0 Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n 0

37. T, si m = 0 Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0 que debemos tratar a parte: 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n 0

38. 0 Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n

39. Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T: La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es: f(t) 1 t . . . -T/2 0T/2 T . . . -1 w0= 2p/T

40. Coeficientea0:

41. Coeficientesan:

42. Coeficientes bn:

43. Finalmente, la serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:

44. Componentes de la Serie de Fourier 1.5 1 0.5 Componentes 0 -0.5 Suma fundamental -1 tercer armónico quinto armónico séptimo armónico -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 t • Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

45. Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.

46. f(t) 1 t . . . -T/2 0T/2 T . . . Habíamos calculado los coeficientes para: -1 Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos: f(t) 1 t . . . -T/2 0T/2 T . . . -1 Repite los cálculos y compruébalo.

47. f(t) 1 t De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: -1 . . . t0 t0 +T . . .

48. Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.

49. Calcula la serie de Fourier de la función periódica: La serie es la propia función...

50. Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes: t Extensión par t Extensión impar