Aulão tópicos UDESC MATEMÁTICA

1. Aulão tópicos UDESCMATEMÁTICA Prof. GUIBA 24 de outubro de 2009 guibasr@yahoo.com.br http://muraldoguiba.wordpress.com

2. Número de elementos de conjuntos finitos (UDESC – 2009 .1 – adaptada) Suponha que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais. III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

4. Resolução I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. Errado, pois o total das regiões é 660. II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais. Correto, pois se 80 pessoas leem revistas e livros, e 40 leem os três meios, então 40 leem revistas e livros, mas não jornais. III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros. Errado, pois o total das regiões, exceto a que corresponde a “apenas jornal” é 510.

5. (UDESC – 2009 – 1 – adaptada) Suponha que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais. Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros. Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados. II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais. III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa II é verdadeira. e) Somente a afirmativa I é verdadeira.

6. Progressões Aritméticas (PA) • Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão). • Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3. • Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.

7. Relações importantes • Termo geral da PA • Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que • A soma dos termos equidistantes do termo central é constante. • Representação genérica de PA de 3 termos de razão r.

8. Questão (UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é: a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

9. Resolução • Se a soma dos termos equidistantes é constante, então Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA, então Assim,

10. (UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é: a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

11. Questão A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA. Resolução: • Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que: • O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos: • Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33. • Resposta: O sexto termo é 33.

12. Soma dos termos de uma PA • A soma dos termos de uma PA é dada por: • Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.

13. Questão No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala? • 348 • 380 • 420 • 720 • 560

14. Resolução • Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos. Para podermos calcular ainda resta-nos descobrir o termo a16. Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.

15. No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala? • 348 • 380 • 420 • 720 • 560

16. Progressões Geométricas (PG) • Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão). • Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2. • Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3. • Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.

17. Relações importantes • Termo geral da PG: • Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que • O produto dos termos equidistantes do termo central é constante. • Representação genérica de PG de 3 termos de razão q

18. Questão (UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: • 2 • 10 • 5 • 4 • 6

19. Resolução • Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de • 2 • 10 • 5 • 4 • 6

20. Questão O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125. Qual é o primeiro termo? • 62,5 • 25 • 5 • 20 • 40

21. Resolução • Como o segundo e o sexto termo são equidistantes ao quarto termo, então (a2, a4, a6) consiste numa PG. • Assim, • Se a razão é ½ , ocorre: • 62,5 • 25 • 5 • 20 • 40

22. Soma dos termos de uma PG • A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por • Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.

23. Questão • Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?

24. Resolução • Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG. • Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.

25. Soma limite • Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:

26. Questão Guiba dirige seu simpático Chevrolet Celta quando avista uma vaca no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior. Calcule o susto da vaca! (brincadeirinha... hehe) Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo? Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?

27. Resolução • Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e Guiba está em maus lençóis!

28. GALERA, “I knowwhat I want I saywhat I want And no onecantake it away”. “Eu sei o que quero Eu digo o que quero E ninguém pode tirar isso de mim” Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa IronMaiden.