Объем пирамиды

1. Объем пирамиды

2. V = SoH 1 3 8 В 9 2h 1 S ab sin a = 2 х 3 х 1 0 2a Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? Найдем отношение объемов h a

3. V = SoH 1 3 12 16 4 В 9 х 3 х 1 0 Н Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3 4

4. V = SoH 1 3 1 1 600 1 S ab sin a = 2 х 3 х 1 0 0 2 , 5 В 9 Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна . 1 1

5. V = SoH 1 3 600 2 2 3 В 9 1 S ab sin a = 2 х 3 х 1 0 3 3 Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен . . ? 2 2

6. V = SoH 1 3 4 В 9 х 3 х 1 0 F E A D B C Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? Найдем отношение объемов 4h h

7. ? 1 1 1 1 6 600 600 7 1 В 9 1 S ab sin a = 2 х 3 х 1 0 3 3 Из АОS по теореме Пифагора найди ребро AS. 2 Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро. S . ? E F A D О 1 B 1 1 C Для правильного 6-уг. сторона равна радиусу описанной окружности. Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников.

8. V = SoH 1 3 2 0 0 В 9 2 a S кв. = х 3 х 1 0 Н В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. . 6 10 10

9. V = SoH ? 1 3 6 4 8 В 9 Из SHG: Из SHA: х 3 S ab пр. х = 1 0 6 600 12 Н 3 600 3 Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды. S . . 6 D C G A B

10. V = SoH 1 3 3 высота 3 3 3 S 3 3 4 5 , катет A В 9 3 катет С 3 A C 1 х 3 S ab = х S 1 0 2 В B Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. Задача очень простая, если догадаться опрокинуть пирамиду на удобную грань, например, SCB. Основание – прямоугольный треугольник SCB, высота AS.

11. V = SoH ? ? 1 К 2 3 4 4 О 4 4 600 600 С 4 4 8 В 9 1 S ab sin a = 450 2 х 3 х 1 0 3 3 3 2 2 2 Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 450. Найдите объем пирамиды. S . . Найдем ОК по теореме Пифагора E F D О A Можно вычислить площадь правильного шестиугольника, разбив его на 6 треугольников. 4 К B 4 C

12. 1 3 2SABC = Vпир. = SoH 2 В 9 h х 3 х 1 0 A h Vприз. = SoH Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC. D1 Найдем отношение объемов C1 A1 B1 12 D C B

13. 1 3 2SABC = Vпир. = SoH 1 5 , В 9 D1 A1 B1 х 3 х 1 0 h D C A B Vпар. = SoH Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1. Пирамида AD1CB1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в предыдущей задаче. Например, найдем объем пирамиды ABCB1. 4,5 Найдем отношение объемов C1 Четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1, AA1D1B1 и ADCD1 Объем пирамиды АD1CB1

14. 1 3 Vпир. = SoH 2 В 9 h х 3 х 1 0 1 h 2 Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба. Найдем отношение объемов D1 C1 A1 12 B1 D C A B

15. 1 3 Vпир. = SoH 5 0 В 9 h х 3 х 1 0 Vприз. = SoH От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Найдем отношение объемов 150

16. 1 3 Vпир. = SoH 4 8 В 9 D C E D х 3 F E х 1 0 B C A A B F Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите объем шестиугольной пирамиды. У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. S Найдем отношение объемов V1 8 Поработаем с выносным чертежом. Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной. V2

17. 1 3 2SABC = Vпир. = SoH 3 В 9 х 3 х 1 0 1 h 2 O Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса). Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD. S Найдем отношение объемов N E 12 D C A B

18. 1 3 S Vпир. = SoH 3 S В 9 1 S ab sin a = 2 х 3 х 1 0 М С В N А A N М a b C От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв… Одинаковая высота, но площадь оснований различна. Работать можно с любым из этих чертежей. Найдем отношение объемов V2 12 B V1

19. 1 0 В 9 1 часть N По т. Фалеса FP:SP = 2:3. Тогда, если SP=h, то FP=h, NO= h F х 3 2части х 1 0 2 2 2 3 3 h O 3 P Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC. Найдем объем пирамиды NABC. Затем из VSABC(это 15) вычтем VNABC,, найдем VNSAC. Найдем объем пирамиды NABC. Сравним его с объемом всей пирамиды SABC, составив отношение. Основания у них одинаковые – треугольник АВС. А высоты разные, сравним их. S 15 B A C