1 / 58

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum :

i . Fungsi kuadrat. - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum :. y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17).

alvis
Download Presentation

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum :

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. i. Fungsikuadrat • - Penyelesaianfungsikuadratdenganpemfaktoran Fungsikuadratadalahfungsipolinomial yang mempunyai derajadduadanmempunyaibentukumum : y= f(x) = a2x2 + a1x + a0atau y= f(x) = ax2 + bx + c (3.17) dengan a, b dan c adalahbilangan-bilanganril. Sedangkan x adalahpeubahbebasdan y peubahtakbebas. Grafik persamaankuadratpadapersamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. • Sehinggapersamaan 3.17 menjadi, ax2 + bx + c = 0. • Untukmenentukantitikpotongpersamaankuadratterhadapsumbu x pertama-tama kitaharusmenentukanakar-akarnya.

  2. Pemfaktoranadalahsalahsatucarauntukmenentukanakar-akar tersebut. Untukmemfaktorkansebuahpersamaankuadrat pertama-tama kitatulisdalambentuk , x+  = a (x2 + Bx + C) B = b/a dan C = c/a Memperfaktorkan berartimenuliskannyadalambentuk, (x + m)(x+n), dimanamn = C dan m + n = B ( 3.18 ) Akar-akardaripersamaan 3.18 adalah : x1= -m dan x2 = -n

  3. Contoh 3.18 • Faktorkanpersamaankuadrat : x2 + x – 6 = 0 • Penyelesaian • B = 1 dan C = –6 ; mn = -6 dan m + n = 1. • Didapat m = -2 dan n = 3 • Jadi x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3). • Sehinggaakar-akarmyaadalah : x1 = 2 dan x2 = -3 Contoh 3.19 Faktorkanpersamaankuadrat : x2 –4x – 12 = 0 Penyelesaian B = –4 dan C = –12 ; mn = –12 dan m + n = –4. Didapat m = –6 dan n = 2 Jadi : x2 + x – 6 = (x – 6)(x + 2). Sehinggaakar-akarmyaadalah : x1 = 6 dan x2 = –2

  4. Penyelesaianfungsikuadratdenganmenggunakanrumuskuadrat. Dari penjelasansebelumnyatelahdiketahuibahwa pers. kuadrat yang memotongsumbu x mempunyaibentukumum ax2+bx+c = 0 dengan x bilanganril, ataudapatditulisdalambentuk , a(x2 + x ) + c = a (x2 + x + ) – + c = 0 b2 b c c b b2 b2 b2 b2 b2 4ac 4a a a a a a 4a2 4a2 4a2 4a2 4a2 4a2 2b a(x + x )2 = – c  (x + )2 = – a b 2a 2b x + =  =  =  b2 4ac 1 2a

  5. (3.19) b + atau x1 = x =  = b2 4ac b2 4ac b2 4ac b  Persamaan 3.19 adalahpersamaankuadrat. Persamaantersebut digunakanuntukmenentukanakar-akardaripersamaankuadrat. Besaran b2 – 4ac disebutdiskriminanataudisingkat D. b2 4ac 2a 2a 2a b Contoh 3.20 Tentukanakar-akardaripersamaan x2 + 4x - 21 = 0 dengan menggunakanpersamaankuadrat! Penyelesaian Dari persamaandiketahuibahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21 2a b x2 = 1 2a

  6. 42 4(1)(–21) 42 4(1)(–21) 4 + 4 4 + 4 x1 = = = 3 x2 = = = –7 2a 2a 16 + 84 16 + 84 2 2

  7. - Grafikfungsikuadrat Fungsikuadratadalahfungsipolinomial yang mempunyai derajadduadanbentuknyaadalah : y = ax2 + bx + c, dimana a, b dan c adalahbilangan-bilanganril, a  0, x adalahpeubahbebasdan y peubahtakbebas. • Grafikpersamaankuadratdapatmembukakeatasatau • kebawahtergantungdarinilai a. Jikanilai a > 0 makagrafik • akanmembukakeatas. Jika a<0 makagrafikakanmembukakebawah. • Padagrafikpersamaankuadratkitamengenalbeberapaistilahpentingyaitu :

  8. i) Verteks Verteksadalahtitikekstrim ( maksimumataupun minimum ) darisuatu parabola. Jikanilai a parapersamaankuadratlebih kecildarinol (negatif) makaverteksmerupakantitikmaksimum. Jika a lebihbesardarinol (positif) makaverteksmerupakan titik minimum. Titikkoordinatverteksadalah V(h,k), dimana : h = – b/2a dan k = c – b2/4a (3.20 ) • ii) Sumbusimetri Sumbusimetriadalahgaris yang membagi parabola menjadi duabagian yang sama. Sumbusimetriadalah, x = h = – b/2a 3.21

  9. iii) Titikpotongdengansumbu x Jikadiskriminan (D) = 0 maka parabola tidakmemotong sumbu x tetapiverteksnyahanyamenyinggungsumbu x. Jika D < 0 parabola tidakmemotongdantidakmenyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotongsumbu x pada x1dan x2 • iv) Titikpotongdengansumbu y Titikpotongdengansumbu y pada y = c • Contoh 3.21 Diketahuifungsikuadrat f(x) = –x2 + 5x -6 Tentukanverteks, sumbusimetri, ttkpotongthdsumbu x dan y Penyelesaian Dari soalsiketahui : a = –1, b = 5 dan c = –6

  10. h = –b/2a = – (5/–2) = 5/2 k = c – b2/4a = – 6 – 52/4 (–1) = – 6 +25/4 = 1/4 Verteks = V (h,k) = V (5/2 , 1/4) Sumbusimetri x = h = 5/2 Titikpotongterhadapsumbu x  y = 0 x2 + 5x – 6 = –( x – 3)(x – 2) = 0  x1 = 3 ; x2 = 2 Jadi parabola memotongsum,bu x pada x = 2 dan x = 3 Titikpotongterhadapsumbu y  x = 0. Didapat y = –6 Jadi parabola memotongsumbu y pada y = –6 Parabola membukakebawahkarena a < 0

  11. y x = 5/2 1/4   x   O 2 3 –6  Sumbu simetri Gambar 3.12

  12. j. Fungsipangkattinggi • Fungsipangkattinggi yang dimaksudpadapasaliniadalahpolinomialderajadtigaataulebih. Untukmenentukanakar-akardanmenggambarkangrafikdarifungsipangkattinggibiasanyakitaperluuntukmemaktorkanfungsipangkattinggitersebut. • - Pemfaktoranfungsipangkattinggi • Misal f(x) sembarangpolinomial. Selanjutnya x – c dikatakansalahsatufaktordari f(x)  f(c) = 0. Berarti c merupakansalahsatuakardaripolinomial. Berikutadalahcontohpemfaktoranfungsipangkattinggi. Contoh 3.22 Tentukanfaktor-faktordanakar-akardarifungsipangkat tinggi y = f(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24

  13. Penyelesaian • Pertama-tama tentukansalahsatuakarnyasecara trial & error Jikakitaambil x = 1, maka f(1) = 13 - 32 - 10 + 24 =12. Karena f(1)  0, maka x = 1 bukanakardari f(x). Jikakitaambil x = 2, maka f(2) = 23 – 3(2)2 – 10(2) + 24 =0. Karenaf(2) = 0, maka x = 2 adalahsalahsatuakardari f(x). Sehingga (x – 2) adalahsalahsatufaktordari f(x). Untukmencarifaktorlainnyakitabagi f(x) denganfaktor yang sudahdidapat, yaitu (x3 – 3x2 – 10x + 24) dibagidengan (x – 2).

  14. x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24

  15. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24

  16. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3

  17. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2

  18. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2

  19. x2 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

  20. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24

  21. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2

  22. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x

  23. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x

  24. x2 – x • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24

  25. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24

  26. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x

  27. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24

  28. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24

  29. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24 0

  30. x2 – x – 12 • x – 2 x3 – 3x2 – 10x + 24 x3 – 2x2 – x2 – 10x + 24 – x2+ 2x – 12x + 24 – 12x + 24 Hasilbagi x3–3x2–10x+24 dengan x–2 adalah x2–x–12. Berarti, x2–x–12 adalahfaktor lain dari x3–3x2–10x+24. 0 Selanjutnya x3–3x2–10x+24 dapatditulisdalambentuk (x–2)(x2–x–12). Akantetapifaktor x2–x–12 masihmungkinuntukdiuraikanlagikarenamempunyaiderajaddua.

  31. Persamaandari x2–x–12 dapatditulisdalambentukfaktor, yaitu (x–4)(x+3). Sehinggasecarakeseluruhanpersaman x3–3x2–10x+24 dapatditulisdalambentuk (x–2)(x–4)(x+3). • Jadifaktor-faktordari x3–3x2–10x+24 adalah • (x–2), (x–4) dan (x+3). • Sedangkanakar-akarnyaadalah x=4, 2 dan –3. • - Grafikfungsipangkattinggi Menggambargrafikfungsipangkattinggidapatdibantu denganbantuantandadarifaktor-faktornya (positifatau negatif) seperti yang ditunjukkanpadacontohberikut. • Contoh 3.23 Gambarkangrafikfungsi f(x) = x3 – x

  32. Penyelesaian • Faktorkan f(x)  x3 – x = x(x – 1)(x + 1). – 1 0 1

  33. Grafikdarifungsi f(x) = x3 – x adalah y 1 –1 x 0 Gambar 3.13

  34. B. Fungsipecah a. Daerah definisi (domain) Fungsipecahadalahfungsi yang mempunyaibentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalahfungsi-fungsipolinomial dan Q(x)  0. Dalambentukformulasifungsipecahdapat ditulismenjadi : P(x) f(x) = , Q(x)  0 (3.22) Q(x) Untukmenentukandaerahdefinisidarifungsipecah, pertama-tama kitafaktorkanpenyebutnya. Dari faktor-faktor tersebutkitadapatkanakar-akarnya. • Daerah definisifungsipecahadalahpadasemuabilanganrilkecualipadaakar-akarpenyebutdarifungsipecah.

  35. Contoh 3.24 Tentukandaerah-daerahdefinisidarifungsi-fungsiberikut! 2x – 1 a) x2 – x – 2 • Penyelesaian a) Perhatikan Q(x) : x2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) x + 3 x + 3 b) x3 + 4x2 + x x3 + 4x2 + x 2x – 1 {x|xsemuabilanganril, x  2 dan x  – 1} x2 – x – 2 b) Perhatikan Q(x) : x3 + 4x2 + x = 4x (x + 1/2)2 Himpunandaerahdefinisiadalah , Himpunandaerahdefinisiadalah , {x|xsemuabilanganril, x  0 dan x  – 1/2}

  36. b. Grafikfungsipecah Untukmenggambarkangrafikfungsipecah, kitaperlu melakukanlangkah-langkahsebagaiberikut : • i) Faktorkanfungsipembilang P(x) danpenyebut Q(x) ii) Tentukandaerahdefinisi (domain) dari f(x) dengancara menentukan Q(x) = 0. Hargax yang didapatbukan domain f(x). • iii) Periksaapakahterdapatfaktor (x + a) yang merupakan • faktordari P(x) dan Q(x). Jikaadamakatitik x = -a • merupakantitiktakkontinudari f(x).

  37. Tentukantitikpotong f(x) dengankeduasumbu, jikaada. • Untukmencarititikpotong f(x) dengansumbu x tetapkan • P(x) = 0. • Selanjutnyaharga x yang didapatmerupakantitikpotong • f(x) dengansumbu x. • Untukmencarititikpotongdengansumbu y tetapkan x = 0. • Harga f(x) yang didapatmerupakantitikpotong f(x) dengan • sumbu y. • Akaratauakar-akar yang berasaldarifaktor yang • bersekutuantarapembilangdanpenyebuttidak • digunakanuntukmencarititikpotong. • Coretfaktor/faktor-faktor yang bersekutuantarapembilang • danpenyebut.

  38. vi) Tentukanasimtottegak, jikaada. • Garis x = c merupakanasimtottegakjika x – c merupakan • faktordari Q(x) setelahlangkah v. • vii) Misalfungsipecahberbentuk : anxn + an - 1xn - 1 + … + a1 x + a0 f(x) = bmxm + bm - 1 xm-1 + … + b1 x + b0 - Jika n < m makagaris y = 0 adalahasimtotdatar. - Jika n = m makagaris y = an/bmadalahasimtotdatar. - Jika n > m makafungsitidakmempunyaiasimtotdatar. • Tentukantanda-tandadari f(x) padaselang-selangantara • asimtottegak (positifataunegatif).

  39. Contoh 3.25 Gambarkangrafik y = f(x) = • Penyelesaian i) = 3x2 – x – 2 3x2 – x – 2 • ii) Q(x) = (x – 1)(2x+1) = 0  x = 1 dan x = – 1/2. Jadidaerahdefinisi (domain) dari f(x) adalahsemua • bilanganrilkecuali 1 dan– 1/2. 2x2 – x – 1 2x2 – x – 1 • iii) Karena (x – 1) adalahfaktorpersekutuandari P(x) dan Q(x), maka f(x) takkontinupadatitik x = 1. ( x – 1)(3x+ 2) (x – 1)(2x +1)

  40. Titikpotongdengansumbu x. • P(x) = 3x2 – x – 2 = 0  (x-1)(3x+2)  x = – 2/3. Jadititikpotongdengansumbu x terjadipada x= –2/3. Sedangkan x=1 bukantitikpotongpadasumbu x, karena (x–1) merupakanfaktorpersektuan P(x) dan Q(x). Titikpotongdengansumbu y, x = 0  y = 2. Jadititikpotongdengansb.yterjadipada y = 2. 3x2 + x + 3 x2 – x – 1 (3x+ 2) = v) = (2x +1) ( x – 1)(3x+ 2) • Karena (2x+1) adalahfaktordari Q(x), setelahdilakukan • langkah v), maka x= –1/2 adalahasimtottegak. (x – 1)(2x +1) vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalahasimtotdatar

  41. viii) 0 0 3x2 – x – 2 0 2x2 – x – 1 ? 0 0 – 2/3 – 1/2 1

  42. y -1/2 x 0 1 -2/3     Gambar 3.14

  43. 3.2.3.2 Fungsiirasional Fungsiirasionaladalahfungsi yang mempunyaibentuk : (3.23) • dengan g(x) adalahfungsirasional. (3.24) Dg bila n bilanganganjil x|g(x)  0 bila n bilangangenap Daerah definisifungsiirasional (Df) dapatdijelaskan sebagaiberikut : Df= Dgadalahdaerahdefinsidari g.

  44. Contoh 3.26 Tentukandaerahdefinisidandaerahnilaidari y = Penyelesaian Karena n genap (dalamhalini 2), maka 9x – x2 0 9x – x2 9x – x2 9x – x2 0  x(9 – x )  0 0 0 0 0   0 9 Jadidaerahdefinisiatau domain dariadalah 0  x  9

  45. y =  y2 = 9x – x2  x2 – 9x + y2 = 0 Dari persamaandiataskitadapatkan : a = 1, b = –9, c = y2 Selanjutnyakitacaridiskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Selanjutnyakitacarihargadiskriminan, yaitu :D = b2 –4ac Daerah nilaidaridicaridengancara 9x – x2 9x – x2 Karena domain dari f(x) adalahril, makadiskriminanjuga harusril. Artinya D  0. Secaraotomatis b2 –4ac  0. Jikakitamasukkannilai a, b dan c makadidapat : (-9)2 -4(1)(y2)  0. 4y2  81  -9/2  y  9/2

  46. Akhirnyadidapatduapertaksamaan, y  -9/2 dan y  9/2. Akantetapikarena y haruslebihbesaratausamadengannol, makapertaksamaan y  -9/2 diabaikan. Sehinggapertaksamaan yang digunakanadalah y  9/2 dan y  0. Jadidaerahnilaiuntuk 9x – x2 3.2.4 Fungsikomposisi Fungsikomposisiadalahfungsi yang merupakankombinasi daribeberapafungsi. Misalterdapatduabuahfungsi, yaitu f dan g. Jikadaerahnilaifungsi g merupakandaerahdefinisi darifungsi f, makakombinasi f dan g kitatulisdengan f o g (baca f circle g) dandidefinisikansebagai, f(x) = adalah 0  y  9/2 (f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)

  47. Sebaliknyajikadaerahnilaifungsi f merupakandaerahdefinisi dari g makakombinasinyakitatulisdengangof (baca g circle f) dandidefinisikansebagai, (g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) Contoh 3.27 Jikadiketahui : f(x) = x2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : • (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3)2+2(x+3)+1 • = x2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x2+2x+1) = (x2+2x+1)+3 = x2+2x+4

  48. 3.2.5 Fungsisatukesatu Misalterdapatsuatufungsi f. Jikasetiapsatudaerahnilai (range) fungsi f berasaldarisatudaerahdefinisinya, makafungsitersebutdikatakanfungsisatukesatu. • Sebagaicontoh f(x) = x3adalahsuatufungsi yang • mempunyaidaerahdefinisiuntuksemua x rildanuntuk • setiapdaerahdefinisimenghasilkansatudaerahnilai. • Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x3adalahfungsisatu • kesatu. • Contohlainnya, f(x) = x2adalahsuatufungsi yang mempunyaidaerahdefinisiuntuksemua x ril. • Akantetapisetiapsatudaerahnilaidihasilkanolehlebihdarisatudaerahnilai (dalamhalinidua), sehingga f(x) = x2bukanfungsisatukesatu.

  49. 2.2.6 Fungsiinvers Misalterdapatsuatufungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyaiinversjikadanhanyajikaterdapatsuatufungsi g sedemikianrupasehingga, i) daerahdefinisifungsi g merupakandaerahnilaifingsi f ii) padasemuadaerahdefinisi f dansemuadaerahnilai g berlaku : f(x) = y  g(y) = x 2.27 Pernyataandiatasmenunjukkanbahwa g adalahinversdari f danditulis, g = f -1atau x = f -1 (x) 2.28

  50. Contoh 2.27 Tentukaninversdaripersamaan : y = x3 + 2 Penyelesaian y = x3 + 2  x3 = y – 2  x = ( y–2 )1/3 f -1(y) = (y – 2)1/3 f -1(x) = (x – 2)1/3 2.2.7 Fungsitransenden 2.2.7.1 Fungsieksponen Misalterdapatbilangan a>0. Selanjutnyafungsi f yang didefinisikansebagai f(x) = axdisebutfungsi eksponendengan basis a. Sifat-sifat axdapat dijelaskansebagaiberikut :

More Related