Introducción a la Probabilidad

1. Introducción a la Probabilidad

2. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística? • ¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un corte de ruta cuando voy a clase? • Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el concepto de probabilidad. • La idea intuitiva es lo suficientemente correcta para lo que necesitamos de ella en este curso. • En este capítulo vamos a: • Definir probabilidad. • Reglas de cálculo. • Teorema de Bayes

3. Origen del calculo de probabilidades Surge de preguntarse cómo repartir el dinero apostado en un juego de azar que se interrumpe antes de finalizarlo????? Blaise Pascal 1623-1662 Fermat 1601-1665

4. AZAR Experimentos • Determinísticos • Aleatorios

5. Ejemplo 1 Se arroja un dado : Si observamos su cara superior, el conjunto de resultados posibles es Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

6. 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 Ω Experimentos-Espacio Muestra • Ejemplo 2:Se arrojan dos dados y se observa la suma de sus caras.

7. Ejemplo3: Se arroja una moneda hasta que aparezca cara. Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC, ..., X..XC, .... }

8. Ω = {(x,y)/ x = 1, 2 .. 6, y = 1, 2 .. 6 } 1 2 3 4 5 6 Ejemplo : Sea el experimento arrojar dos dados. El conjunto de resultados posibles es: Ω A A = {(x,y) / x + y = 5 } A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

9. E espacio muestral E espacio muestral A A’ Sucesos Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestra (Ω). Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados. Se llama suceso complementario de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A

10. E espacio muestral E espacio muestral E espacio muestral A A A UNIÓN B B B INTERSEC. • Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). • Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B

11. DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD. Espacio muestra equiprobable # (cardinal de ) a la cantidad de resultados posibles del experimento cada resultado posible tiene una probabilidad de 1/#Ω de ocurrir. Sea A un subconjunto de , Ω, simbolizando con #A al cardinal de A que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el cociente:

12. PROPIEDADES PROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1 Como 0 ≤ #A ≤ #Ω PROPIEDAD 2 P( )= 0 Como # = 0 PROPIEDAD 3 P(Ω) =1 Ya que P(Ω ) =

13. A B A A’ A PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A) B PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB = Si AB =, entonces #(AB) = #A + #B. PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

14. DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD. Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del experimento. Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad teórica del suceso Ay la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del suceso A. Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones del experimento.

16. PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS Sucesos Excluyentes P (AB) = P(A) + P(B), si AB = P (AB C) = P(A) + P(B) + P(C), si ABC = Sucesos No Excluyentes P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB)

17. E espacio muestral A B PROBABILIDAD CONDICIONAL • Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

18. A A B B Probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,10 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,08 ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=0,8 P(A|B)=1

19. A A B B Probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0 ¿Probabilidad de A dado B? P(A|B)=0 P(A|B)=0,05

20. Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico: • Aindep. B P(A|B) = P(A) • Dicho de otra forma: • Aindep. B P(AB) = P(A) P(B)

21. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A2 A2 A1 A1 Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A4 A3 A4

22. B A2 A2 A1 A1 Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2) U ( B∩A3) U ( B∩A4) A4 A3 A3 A4 Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples..

23. B Teorema de la probabilidad total A2 A2 A1 A1 Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A4 A3 A3 A4 P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

24. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0x2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos • P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 • = 0,13 =13% • ¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? Mujeres Varones T. Bayes fumadores Tema 4: Probabilidad

25. Expresión del problema en forma de árbol Fuma P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 0,1 Mujer 0,7 0,9 No fuma P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) Estudiante • Los caminos a través de nodos representan intersecciones. • Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma

26. B Teorema de Bayes A2 Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. A2 A1 A1 A4 A3 A3 A4 P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …