MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR

1. MĂSURAREA ŞI ANALIZA VIBRAŢIILOR STRUCTURILOR Analiză modală şi simulare

2. Comportarea modală a structurilor • La modul general, în funcţia de răspuns în frecvenţă (FRF) a unei structuri se vor observa o mulţime de vârfuri. Fiecare dintre aceste vârfuri, de regulă cu un aspect ascuţit, corespunde unei rezonanţe a structurii. Ca urmare, structura se comportă ca un ansamblu de substructuri, fiecare dintre ele având un singur grad de libertate şi corespunzător o anumită frecvenţă proprie, care face să apară o rezonanţă în spectrul FRF. Acesta este elementul cheie în analiza modală, prin care comportarea unei structuri poate fi analizată identificând şi evaluând toate rezonanţele, sau modurile, care apar în spectrul răspunsului. • Analiza modală este metoda prin care se determină parametri modali ai unei structuri, (frecvenţa, amortizarea şi forma modală), pentru toate modurile proprii aflate în domeniul de interes. Scopul următor, folosind parametri modali, este de a construi modelul modal al răspunsului. În final, mai trebuie reţinut că: • orice deformaţie dinamică forţată a unei structuri poate fi reprezentată ca o sumă ponderată a formelor modurilor propri ale structurii; • fiecare mod poate fi reprezentat ca un sistem cu un singur grad de libertate.

4. Modelele sistemelor cu un singur grad de libertate • Un model analitic poate fi construit în domeniul fizic, rezultând un sistem abstract care conţine o masă concentrată m susţinută de un arc cu constanta k liniară şi fără masă şi un amortizor vâscos de constantă c liniară. Masa este obligată să se mişte într-o singură direcţie x, rezultând un sistem cu un singur grad de libertate. • Un model matematic în domeniul timp se obţine din modelul analitic, prin aplicarea primcipiului lui d’Alambert (în orice moment suma forţelor este nulă): • este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, în care f(t) reprezintă forţele exterioare.

5. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă • Modelul parametric este un model construit în domeniul frecvenţă, capabil să descrie funcţia de răspuns H(ω) în funcţie de masa m şi de coeficienţii de rigiditate şi de amortizare. • Să studiem comportarea acestui model sub o excitaţie sinusoidală şi să vedem ce se întâmplă cu amplitudinea │H(ω)│şi cu faza Φ(ω) funcţiei de răspuns H(ω), atunci când frecvenţa de excitaţie creşte.

6. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă • Modelul FRF, cunoscut şi sub denumirea de modelul cutiei negre, nu foloseşte parametri, dar se bazează pe definiţia funcţiei de tranfer H(ω): în care H(ω) este funcţie de raportul deplasare/forţă, deci un raport a spectrelor ieşire/intrare şi variază în funcţie de ω. Acest model face legătura dintre modelul analitic şi măsurările efectuate experimental. Modelul fizic este ideal când se foloseşte abordarea analitică a sistemelor. În cazul structurilor reale, deobicei, se cunosc puţine lucruri, uneori deloc, referitoare la distribuţia maselor, rigidităţilor şi a amortizărilor. Următorul model crează o legătură practică între teorie şi măsurări.

7. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă • Modelul parametrilor modali este construit folosind doi parametri care pot fi obţinuţi din funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate experimental. • Funcţia H(ω) este definită în funcţie de un pol p şi de un reziduu R, precum şi de valorile lor conjugate p* şi H*: • Atât polul cât şi rezidul sunt definite în funcţie de parametri modali în felul următor: unde iar în rest sunt notaţiile consacrate: • Polul p este un număr complex a cărui parte reală n reprezintă rata de descreştere a oscilaţiilor forţate şi se observă bine în funcţia de răspuns exprimată în domeniul timp:

8. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali Partea imaginară a polului p este frecvenţa modală, egală cu frecvenţa proprie a sistemului amortizat ωa, excitat şi lăsat liber să vibreze. Polul dă forma graficului amplitudinii şi fazei în zona de rezonanţă, oferind o măsură calitativă a proprietăţilor dinamice ale sistemului. Rezidul R al unui sistem cu un singur grad de libertate este un număr imaginar care expeimă forţa unui mod de vibraţie. El este un concept matematic, fără o interpretare fizică directă. În capitolele care vor urma acest parametru va fi legat de cel de-al treilea parametru modal, forma modului de vibraţie. Prin reziduu se face o scalare, în valoare absolută, a curbei FRF şi implicit a amplitudinii acestei curbe. Dar amplitudinea nu este dată numai de reziduu, ci de raportul dintre reziduu şi partea reală a polului:

9. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelul parametrilor modali După cum s-a observat din relaţiile de mai sus, atât polul cât şi rezidul se pot obţine efectuând măsurări pe graficul FRF. Modelul parametrilor modali face legătura dintre modelul analitic şi măsurările experimentale. În scopul exemplificării proprietăţilor polului şi rezidului, în continuare, sunt prezentate în tabel, în paralel, două modele simple, care au aceeaşi masă, rigiditate şi amortizare, deci au acelaşi pol. Deşi curbele FRF au aceeaşi formă, răspunsurile celor două sisteme la aceeaşi forţă egală cu unitatea vor fi diferite ca urmare a diferenţei dintre rezidurile lor.

11. Modele ale sistemelor cu un singur grad de libertate în domeniul frecvenţă Modelulparametrilormodali

12. Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate • Modelele anterioare au fost restricţionate numai la un singur grad de libertate – o singură mişcare pe o singură direcţie. Structurile reale au numeroase puncte care se mişcă independent, pe direcţii diferite – au mai multe grade de libertate. S-a văzut că pentru a măsura FRF pe o structură reală trebuie să măsurăm excitaţia şi răspunsul între două puncte. Cum însă fiecare punct are şase posibilităţi de mişcare, trebuie specificată şi direcţia mişcării. În continuare se va folosi indicele i pentru a indica punctul în care se face citirea răspunsului, iar cu j cel în care se aplică forţa. Indicii x, y şi z se vor folosi pentru a indica direcţia. Deci se poate scrie: • Scriind Hij(ω) în două moduri diferite: sau se pot obţine două modele: modelul FRF şi modelul parametrilor modali, însă pentru sisteme cu mai multe grade de libertate.

13. Modele ale sistemelor cu mai multe grade de libertate • În modelul FRF funcţia Hij(ω) este o sumă de funcţii de răspuns în frecvenţă, fiecare corespunzătoare unui singur mod propriu de vibraţie, din domeniul frecvenţelor în care s-au făcut măsurările (indicele r este numărul modului, iar m este numărul total de moduri). • Modelul parametrilor modali defineşte funcţia Hij(ω) în funcţie de polii şi rezidurile tuturor modurilor proprii de vibraţie din domeniul măsurat. Acest model scoate în evidenţă două proprietăţi importante ale parametrilor modali: • frecvenţele şi amortizările modale sunt proprietăţi globale – polul este funcţie de modul r şi este independent de numărul gradelor de libertate folosite în măsurare; • rezidul este o proprietate locală – indexul ijr face legătura dintre o anumită combinaţie a gradelor de libertate şi un anumit mod.

14. Ce este forma modului? • Forma modului este un parametru matematic abstract care defineşte, prin valori înscrise într-un vector, deformaţia structurii corespunzătoare acelui mod. • Deşi forma modului reprezintă de fapt o funcţie continuă, în analiza modală se preferă folosirea vectorilor (o matrice cu o singură coloană) pentru a descrie forma unui mod. De exemplu, vectorul {ψ}r va descrie forma modului r – indice care corespunde numărului modului. • Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care descrie forma modului, reprezintă deplasări relative ale fiecărui grad de libertate i şi corespunzătoare modului r. Deobicei, elementele vectorului sunt mărimi complexe, incluzând informaţii referitoare atât la amplitudinea deplasării cât şi a fazei acesteia.

15. Moduri normale. Moduri complexe • Modurile normale sunt modurile pentru care toate secţiunile structurii se mişcă în fază (0o), sau în antifază (180o), unele cu altele. Ca urmare, deplasările modale ψir sunt valori reale, pozitive sau negative. Forma modurilor normale poate fi imaginată sub forma unei unde la care nodurile sunt puncte fixe în spaţiu. • Modurile complexe sunt cele la care, între diferite secţiuni ale structurii, există defazaje ce se găsesc într-o anumită relaţie unele cu altele. De data aceasta, deplasările modale ψir au valori complexe care pot avea orice fază. Modurile complexe pot fi considerate ca fiind nişte unde nestaţionare la care nodurile nu au o poziţie fixă.

16. Legătura dintre reziduu şi formele modurilor • În paragrafele anterioare s-a văzut că rezidul este proporţional cu amplitudinea FRF. În dreptul unei frecvenţe modale ωar, unde indicii a = amortizare şi r este numărul modului, amplitudinea funcţiei de răspuns în frecvenţă este: • Se poate demonstra că rezidul pentru un anumit mod r este proporţional cu produsul dintre deplasarea modală ψir corespunzătoare gradului de libertate i şi excitaţia ψjr măsurată în punctul j, ( – simbol folosit pentru a marca proporţionalitatea): • În figură este prezentată forma celui de al doilea mod propriu de vibraţie, a unei bare încastrate la un capăt şi liberă la celălalt, excitată în punctul 8, iar răspunsul măsurat în trei puncte 10;12 şi 14. Rezultă relaţiile: • Trebuie observat faptul că pentru toate cele trei măsurări curba de răspuns la frecvenţa de rezonanţă a modului 2 are aceeaşi alură, diferind doar amplitudinea, care este proporţională cu deplasările modale.

17. Scalarea formei modurilor • Elementele ψir, din vectorul {ψ}r care descrie forma modului, exprimă deplasările relative ale fiecărui grad de libertate, dar ele nu sunt unice. Din măsurarea FRF sunt determinate rezidurile care au valori unice. Relaţia de legătură dintre un reziduu şi deplasările modale asociate permite determinarea unei constante scalare ar, pentru fiecare mod r, astfel: în care φir şi φjr reprezintă deplasările modale scalate. Dacă măsurarea excitaţiei şi a răspunsului se face în acelaşi punct, rezultă: • O abordare matematică a problemei stabileşte o relaţie de legătură dintre vectorul {φ}r care descrie forma modului şi masa modală Mr: • Aplicând această relaţie în cazul sistemului cu un singur grad de libertate (caz în care există o singură masă şi o singură deplasare), se poate calcula constanta ar:

18. Scalarea formei modurilor • Masa modală nu are legătură cu masa structurii şi nu poate fi măsurată. Este pur şi simplu o noţiune matematică, care poate avea orice valoare cu excepţia lui zero. Din acest motiv, pentru sistemele cu mai multe grade de libertate, se poate considera Mr=1, ceea ce permite calculul constantei ar, rezultând: • Efectuând măsurări în mai multe puncte, se poate calcula Rjjrpentru fiecare mod. Calculând apoi constanta ar, se pot obţine valorile deplasărilor φjr scalate. Din măsurarea răspunsului sunt apoi scalate valorile φir, iar în final sunt obţinute formele modale scalate.

19. Cuplaj modal • Cuplajul modal este un termen în general folosit pentru a indica cât de mult un răspuns, corespunzător unei frecvenţe modale, este influenţat de contribuţia celorlalte moduri. Acest lucru poate fi observat studiind curba FRF în vecinătatea unei frecvenţe modale. • O structură slab amortizată are modurile bine separate şi distincte şi ca urmare se spune că este o structură slab cuplată. Aceste structuri, în jurul frecvenţelor modale, se comportă ca şi sistemele cu un singur grad de libertate şi sunt considerate nişte structuri simple. • O structură puternic amortizată, sau care are o densitate modală mare, va avea funcţii de răspuns în frecvenţă în al căror spectru modurile nu se vor distinge clar. Despre aceste structuri se spune că sunt puternic cuplate, iar răspunsul la orice frecvenţă din spectru este o combinaţie liniară a mai multor moduri. Fiecare dintre aceste moduri intervine cu o pondere proprie q în forma deformată a structurii:

20. Ce se înţelege prin descriere modală? • Liniaritatea. Se presupune că sistemul supus testului are o comportare liniară, atfel încât răspunsul este întotdeauna proporţional cu excitaţia. De aici rezultă: • superpoziţia – o FRF măsurată nu depinde de tipul de undă de excitaţie folosit. O sinusoidă la care frecvenţa variază într-un anumit domeniu, va da acelaşi rezultat ca şi o excitaţie impact cu frecvenţe în acelaşi domeniu; • omogenitatea – o FRF măsurată este independentă de nivelul excitaţiei; • reciprocitatea – în sistemele mecanice liniare există o simetrie particulară descrisă de Teorema reciprocităţii a lui Maxwell. • În general, structurile au o comportare liniară dacă sunt supuse la deformaţii mici. Dacă deformaţiile sunt relativ mari, structura se comportă neliniar, iar metoda modală nu poate fi folosită în predicţia defecţiunilor majore.

21. Ce se înţelege prin descriere modală? • Trebuie, de asemenea, să considerăm că structura supusă analizei modale va îndeplini următoarele proprietăţi: • cauzală – ea nu va vibra dacă nu este excitată; • stabilă – vibraţia încetează atunci când excitaţia încetează; • invariantă în timp – caracteristicile dinamice nu se vor schimba pe durata testului. • Există situaţii în care unele caracteristici se modifică în timpul testului: • masa unei structuri uşoare se poate modifica odată cu montarea traductorului; • pe perioade lungi de testare, caracteristicile structurale pot fi influenţate de temperatură sau de alte condiţii de mediu; • unele structuri suferă schimbări continue – de exemplu, masa unui avion în timpul zborului descreşte continuu, pe măsură ce se consumă din combustibil. Ca urmare spectrul funcţiei de răspuns în frecvenţă se modifică continuu în timp

22. Modelul parametrilor concentraţi • Modelul parametrilor concentraţi reprezintă o structură cu mai multe grade de libertate sub forma unei mulţimi de mase, legate între ele prin elemente elastice şi de amortizare. • În cazul unei structuri reale, distribuţia masei, a amortizării şi a rigidităţii nu este în general cunoscută, dar se pot localiza polii (se pot determina experimental frecvenţele şi amortizările modale), • rezidurile şi se pot obţine formele modale scalate. Cu ajutorul acestor parametri calculaţi pe baza datelor experimentale, se poate apoi transforma modelul parametrilor concentraţi. • Dacă în ecuaţia matriceală de mişcare se înlocuiesc coordonatele fizice {x} cu produsul dintre matricea modală [φ] – este matricea care are pe coloane vectorii modali scalaţi (numărul de linii este egal cu numărul gradelor de liberatate, iar numărul de coloane cu numărul modurilor proprii de vibraţie din domeniul frecvenţelor de măsură) – şi coordonatele modale {q}, rezultă o transformare într-un alt domeniu – spaţiul modal:

23. Spaţiul modal • Transformarea în spaţiul modal are un foarte mare efect asupra modelului cu parametri concentraţi: ecuaţiile mişcării se decuplează şi formează un sistem de ecuaţii în care fiecare dintre ele corespunde unui sistem cu un singur grad de libertate, grade care corespund gradelor de libertate ale structurii, deci câte o ecuaţie pentru fiecare coordonată modală. • Fiecare model are o masă egală cu unu (masă modală=1), o constantă de amortizare egală cu lăţimea de bandă a modului respectiv şi o constantă elastică egală cu pătratul frecvenţei proprii neamortizate a acelui mod. În locul modelului cu m grade de libertate cuplate, prin transformarea efectuată, s-au obţinut m modele individuale, decuplate, fiecare cu câte un singur grad de libertate, asupra cărora acţionează, corespunzător fiecăruia, mforţe modale. Fiecare dintre aceste forţe modale este egală cu produsul scalar dintre vectorul propriu al modului respectiv (cel care dă forma acelui mod) şi vectorul forţelor din spaţiul fizic (forţele reale care acţionează asupra maselor în modelul parametrilor concentraţi) – cu alte cuvinte se face proiecţia forţelor pe forma modului. Forţa modală poate fi interpretată ca fiind proprietatea unei anumite distribuţii a forţelor de a excita numai un anumit mod.

24. Alegerea gradelor de libertate • Prin punct de măsură trebuie înţeles locul şi direcţia pe care se face măsurarea. • E firesc să se pună întrebarea: cât de multe grade de libertate sunt necesare în efectuarea unui test? Numărul gradelor de libertate necesar depinde de scopul testului, de geometria structurii şi de numărul modurilor existente în domeniul frecvenţelor de interes. • De exemplu, verificarea frecvenţelor modale prezise analitic se poate face printr-un test simplu, în care sunt necesare puţine grade de libertate (puncte de măsură). Dacă scopul testului este acela de a construi un model matematic, atunci trebuie un număr suficient de grade de libertate liniar independente.

25. Alegerea gradelor de libertate • În exemplul cu patru grade de libertate, pot fi observate patru moduri liniar independente – modurile superioare sunt de fapt primele patru moduri care se repetă. Rezultă că modelul care s-ar putea construi pe baza acestor date trebuie să aibă trei, maximum patru, frecvenţe proprii. • În exemplul cu treizeci de grade de libertate, eroarea în prezentarea formei deformate a modului apare la modurile superioare. În acest caz mult mai multe moduri sunt liniar independente. • În concluzie, numărul gradelor de libertate trebuie astfel ales încât structura să fie complet definită din punct de vedere dinamic, pe întreg domeniul de interes.

26. Dimensiunile matricei de mobilitate • Elementele matricei de mobilitate se determină experimental, iar numărul lor depinde de numărul gradelor de libertate al sistemului, mai exact de combinaţiile care se pot face între acestea, dacă ne gândim că unele dintre ele pot fi intrări iar altele ieşiri. • Fiecare element Hij(ω) al matricei [H] reprezintă o anumită FRF măsurată experimental. Fiecare linie a matricei conţine funcţii de răspuns în frecvenţă care au la ieşire acelaşi grad de libertate, în timp ce toate elementele de pe o coloană sunt cele la care intrarea este aceeaşi. • Un termen diagonal este cel pentru care excitarea şi măsurarea răspunsului s-a făcut corespunzător aceluiaşi grad de libertate. Termenii de pe diagonala principală se numesc termenii mobilităţii directe, iar ceilalţi sunt ai mobilităţii de transfer.Din fericire la sistemele liniare – la care se aplică principiul reciprocităţii dintre intrare-ieşire – pentru alcătuirea matricei de mobilitate, nu este necesar un număr atât de mare de măsurări. Este suficientă completarea unei linii sau a unei coloane şi a termenilor diagonali, din moment ce Hij=Hji.

27. Analiza modală a unei structuri simple • Pentru a înţelege mai bine metoda de extragere a parametrilor modali, în continuare se va analiza o structură simplă, exemplul putând fi considerat ca fiind tipic în rezolvarea problemelor de vibrodiagnoză. • Ne interesează doar primele moduri de încovoiere şi ca urmare vor fi suficiente patru grade de libertate (patru puncte de măsură) aliniate pe verticală. • Privind alura funcţiilor de răspuns în frecvenţă, se trage concluzia că sistemul este slab amortizat, nu prezintă cuplaje puternice între gradele de libertate alese În jurul frecvenţelor modale prezintă comportarea unui sistem cu un singur grad de libertate şi, ca urmare, răspunsul din aceea zonă este dat doar de modul propriu corespunzător. • Din FRF-urile măsurate se determină frecvenţele şi amortizările modale. Astfel, frecvenţele modale sunt acele frecvenţe care corespund amplitudinilor maxime din graficul FRF. Spre deosebire de acestea, amortizările modale nu se determină atât de uşor şi în plus prezintă un oarecare grad de incertitudine.

28. Analiza modală a unei structuri simple • O metodă folosită la măsurarea amortizării este de a găsi lăţimea de bandă corespunzătoare nivelului de –3 dB sub nivelul amplitudinii maxime. O structură slab amortizată are răspunsul la rezonanţă ascuţit, iar lăţimea de bandă corespunzătoare va fi prea îngustă şi deci greu de măsurat cu precizie. Uneori, acest neajuns se poate rezolva mărind (analiză zoom) zona de interes. • Există şi o altă metodă pentru a determina amortizarea modală, metodă în care se izolează pe rând fiecare mod în parte. Aplicând atât transormata Fourier cât şi Hilbert, se va obţine funcţia de răspuns de tip impuls a modului respectiv. Reprezentând această funcţie într-un grafic la care axa ordonatelor este logaritmică, ea va avea alura unei drepte cu panta negativă. • Din acest garfic se poate măsura timpul τ care corespunde unei descreşteri de 8,7 dB a graficului. Coeficientul de amortizare n este inversul acestui timp n =1/τ. • În continuare trebuie determinate şi formele modurilor proprii de vibraţie.

29. Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor • Se ştie că la rezonanţă, indiferent de valoarea amortizării, între excitaţie şi răspuns există un defazaj de 90o. Se mai spune că răspunsul este în cuadratură cu excitaţia. Efectuând măsurări în lungul structurii aflate la rezonanţă se poate determina forma modului. • Anterior, s-a văzut că pentru un model cu un singur grad de libertate, în dreptul frecvenţei modale (de rezonanţă) se poate scrie: • Dar din moment ce măsurările efectuate cu accelerometrul sunt valori ale acceleraţiei, modelul trebuie modificat, ecuaţiile lui fiind integrate de două ori rezultă: • Dacă modelul are mai multe grade de libertate, rezidul se va scrie sub forma: ceea ce va duce la: • Trebuie reţinut faptul că A(ω) este un număr imaginar calculat în dreptul frecvenţei modale. Relaţia anterioară stă la baza metodei în cuadratură, putându-se astfel determina forma modurilor. • FRF devine pur imaginară în dreptul frecvenţei modale. Amplitudinea FRF este proporţională cu deplasarea modală, iar semnul este pozitiv dacă deplasarea este în fază cu excitaţia.

30. Metoda cuadraturii pentru determinarea formei modurilor • Se poate determina forma modului dacă se alege un grad de libertate fix pentru răspuns, sau pentru excitaţie, iar apoi se fac măsurări pentru toate celelalte grade de libertate. Părţile imaginare ale funcţiilor de răspuns în frecvenţă măsurate experimental în dreptul frecvenţelor proprii reprezintă deplasarea modală corespunzătoare acelui grad de libertate. În exemplul considerat, gradul de libertate notat cu 2 este considerat ca fiind răspuns de referinţă. Excitând structura în toate celelalte patru grade de libertate, corespunzător fiecăruia, se obţin funcţiile de răspuns în frecvenţă. • Cele patru părţi imaginare ale FRF pentru fiecare frecvenţă modală reprezintă forma modului asociat. Dacă aparatele de măsură sunt bine calibrate, se poate face atunci scalarea formei modurilor.

31. Estimarea parametrilor din curbele FRF • În exemplul anterior, structura fiind slab amortizată (cuplaj scăzut al gradelor de libertate), s-au determinat parametri modali prin alegerea unor valori discrete din FRF măsurate. Atunci când datele măsurate indică moduri puternic cuplate sau contaminări cu zgomot în semnal, sau atunci când parametri modali trebuie determinaţi cu o mare acurateţe, trebuie făcută o analiză modală cu ajutorul calculatorului. Pentru a îmbunătăţi estimarea parametrilor modali se folosesc aşa zisele metode de suprapunere sau potrivire a curbelor FRF. Pentru acest tip de analiză au fost creaţi numeroşi algoritmi, la alegerea cărora trebuie să ţinem cont că: • etapa cea mai importantă în analiza modală o constituie măsurarea mobilităţii; • nicio metodă de suprapunere a curbelor nu va da o estimare corectă a parametrilor dacă măsurările efectuate sunt sărace în informaţie.

32. Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe? • Foarte pe scurt, lucrul acesta presupune suprapunerea dintre teoria matematică şi măsurările experimentale. Teoria furnizează, cu ajutorul unui model matematic parametric, curbele FRF teoretice, în timp ce măsurările efectuate furnizează curbele FRF reale. Potrivirea curbelor este o metodă analitică de determinare a parametrilor matematici care vor da aproximaţia cea mai bună în raport cu datele măsurate experimental. • Un exemplu simplu: notând elongaţia unui resort pentru diferite sarcini şi reprezentând prin puncte aceste date experimentale rezultă graficul din figura. Teoretic se poate considera o relaţie liniară între forţa aplicată şi săgeata arcului de forma: x = F / k. Deşi în acest caz nu avem decât o singură necunoscută (k=?) şi deci ar fi suficientă o singură pereche (F,x) măsurată experimental, folosind totuşi toate datele măsurate se va obţine cea mai bună estimere a lui k. Dacă greutăţile aplicate pe resort sunt precise (bine calibrate), forţa aplicată este cunoscută exact şi orice deviere de la linia dreaptă din grafic este cauzată de erorile de citire ale săgeţii x.

33. Ce se înţelege prin suprapunerea (potrivirea) unei curbe? • Metoda celor mai mici pătrate este o metodă prin care se poate minimiza deviaţia (eroarea ε) dintre datele măsurate experimental şi cele calculate teoretic: condiţia de minimizare a erorii în funcţie de 1/k este următoarea: de unde • Această metodă se poate folosi atât pentru sistemele cu un singur grad de libertate cât şi pentru cele cu mai multe grade de libertate.

34. Suprapunerea curbelor în analiza modală • Există numeroase tehnici de suprapunere (potrivire) a curbelor teoretice cu cele experimentale. Cu toate că prezentarea lor nu face obiectul acestui curs, sunt făcute totuşi câteva observaţii: • termenul de suprapunere a curbelor este dat de tehnica generală prin care, după estimarea parametrilor, curba analitică este generată şi suprapusă peste cea măsurată, astfel încât operatorul să evalueze erorile; • de obicei se aleg mai multe seturi de date care, prelucrate analitic, vor da mai multe curbe; se va alege în final acel set care duce la o cât mai bună potrivire cu cele obţinute experimental; • scopul suprapunerii curbelor este de a permite extragerea din datele măsurate a unor valori cât mai apropiate de realitate pentru parametri modali. O bună potrivire a curbelor nu este neapărat suficientă în obţinerea unui model optim, experienţa operatorului fiind hotărâtoare.

35. Suprapunerea curbelor în analiza modală • În cazul sistemelor slab amortizate, la care modurile sunt slab cuplate, se poate aplica metoda în care „potrivirea” curbelor se face pentru fiecare grad de libertate în parte, caracteristicile modale calculându-se din valori măsurate, aflate în jurul frecvenţei modale. Operatorul este cel care decide în jurul cărei frecvenţe se va aplica metoda, făcându-se un compromis dintre includerea unui număr cât mai mare posibil de puncte măsurate experimental, în scopul creşterii estimării statistice, şi posibilitatea apariţiei dominante a altor moduri, odată cu îndepărtarea prea mult de frecvenţa considerată. • În cazul sistemelor amortizate, la care modurile sunt cuplate, operatorul este cel care stabileşte zona din domeniul frecvenţelor măsurate în care se vor căuta parametri modali (fig. 2.79 - dreapta). Uneori, algoritmii folosiţi vor permite găsirea unui număr suficient de moduri pentru o bună suprapunere a curbelor FRF; unele moduri însă trebuie calculate direct de către operator, ceea ce face ca rezultatele să fie influenţate de către priceperea şi experienţa acestuia în alegerea unui număr corect de moduri pentru model.

36. Analiza modală a caroseriei unui microbuz • Scopurile analizei sunt: studierea primelor două moduri verticale ale caroseriei unui microbuz, verificarea modelului calculat analitic şi predicţia răspunsului său dinamic la anumite forţe excitatoare. • Metoda presupene parcurgerea a patru paşi: • pregătirea structurii şi a echipamentelor; • efectuarea măsurărilor; • estimarea parametrilor folosind curbele FRF; • prezentarea datelor finale şi concluzii.

37. Analiza modală a caroseriei unui microbuz • Pasul 1: Pregătirea structurii şi a echipamentelor • Alegerea gradelor de libertate. Pentru că primele două moduri proprii de vibraţie în plan vertical nu au o formă complicată, numărul gradelor de libertate poate fi limitat la 18, corespunzătoare unor puncte egal distribuite în lungul caroseriei, în partea inferioară a cesteia, pe direcţie verticală. • Prinderea structurii • Alegerea excitaţiei • Modul de excitare • Montarea accelerometrului

38. Analiza modală a caroseriei unui microbuz • Pasul 2: Efectuarea măsurărilor În această etapă se înregistrează şi se stochează datele referitoare la valorile forţei excitatoare şi ale răspunsurilor măsurate în punctele stabilite anterior. Pentru fiecare grup de date este bine să se noteze poziţia punctelor de măsurare, ora înregistrărilor precum şi unele observaţii legate de fiecare grup în parte. Operatorul joacă un rol important în această etapă, verificând continuu, pe ecranul analizorului forma curbelor de răspuns în frecvenţă, în ceea ce priveşte coerenţa şi convergenţa acestora, acceptând sau nu înregistrarea datelor şi ia decizii privind unele corecţii care trebuie făcute. Această etapă este hotărâtoare pentru tot ceea ce va urma. Crearea modelelor şi analiza ce se va efectua sunt direct dependente de precizia cu care se face măsurarea. • Pasul 3: Estimarea parametrilor folosind curbele FRF După ce măsurarea funcţiilor de răspuns în frecvenţă s-a încheiat se poate trece la aflarea parametrilor modali. Trebuie parcurse următoarele trei faze: • Operatorul hotărăşte care dintre funcţiile de răspuns în frecvenţă măsurate este cea mai potrivită, care sunt modurile care prezintă interes şi pe ce domeniu al frecvenţelor. Pe parcursul acestei faze sunt determinaţi doi parametri modali: frecvenţa şi amortizarea pentru fiecare mod în parte. • Se estimează şi se înregistrează rezidurile pentru toate modurile de interes. • Informaţiile privind deplasările şi defazajele punctelor în care s-a măsurat răspunsul sunt prelucrate şi transformate în vectori scalaţi.

39. Analiza modală a caroseriei unui microbuz • Pasul 4: Prezentarea datelor finale. În acest moment rezultatele pot fi tipărite sub fomă de tabele, deşi, mai ales pentru structurile complexe cu un număr mare de grade de libertate, se preferă prezentarea grafică a datelor. În definirea modelului modal nu s-a inclus nicio informaţie asupra geometriei structurii. Ca urmare, în această etapă, trebuie schiţată o geometrie simplă a structurii, în care, în mod obligatoriu, trebuie să apară nodurile în care s-au făcut măsurările. • Vizualizarea formei modurilor proprii scalate poate fi făcută fie ca o simplă reprezentare a formei deformate a structurii, fie cu ajutorul animaţiei. Pot fi folosite facilităţi suplimentare pentru a roti sau a mării anumite zone ale structurii. Modelul geometric simplu poate fi „expandat” rezultând o figură geometrică care se apropie mult mai bine de caroseria microbuzului studiat

40. Modelul dinamic şi modelul modal • Rezultatul direct al testului modal efectuat a fost vizualizarea formei modurilor şi a rezonanţelor asociate. Folosind în continuare datele deja obţinute, se poate alcătui un model dinamic matematic al structurii studiate. • Ce este modelul dinamic?Modelul dinamic este o formulare matematică a proprietăţilor dinamice ale structurii, în puncte discrete ale acesteia şi pe anumite direcţii. El nu este un model al structurii fizice. De exemplu, dacă structura are o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire, atunci modelul matematic poate fi: • Ce este modelul modal? Modelul modal este un model dinamic generalizat: • în care vectorul {X} este o listă a spectrelor de vibraţie în funcţie de gradele de libertate alese. {F} este o listă a spectrelor de excitaţie pentru aceleaşi grade de libertate, iar [H] este o matrice care se poate calcula folosind parametri modali estimaţi:

41. Modelul dinamic şi modelul modal • Ce este modelul modal? Modelul modal este un model dinamic generalizat: • în care vectorul {X} este o listă a spectrelor de vibraţie în funcţie de gradele de libertate alese. {F} este o listă a spectrelor de excitaţie pentru aceleaşi grade de libertate, iar [H] este o matrice care se poate calcula folosind parametri modali estimaţi:

42. Modelul dinamic şi modelul modal Această formulare are avantajul că parametri sunt măsurabili. Este suficient să se măsoare un singur rând sau o singură coloană a matricei [H] pentru a construi apoi întreaga matrice, deoarece se poate calcula orice element din moment ce se cunoaşte forma modurilor proprii, frecvenţele modale şi amortizările:

43. Verificarea şi utilizarea modelului modal • Este relativ simplu să se compare formele modurilor şi frecvenţele proprii (printr-o comparare directă) cu valorile parametrilor modali estimaţi. Dar acest lucru nu este deajuns. Pentru ca, din punct de vedere calitativ, modelul modal să poată fi folosit, sunt necesare investigaţii suplimentare care să ateste acurateţea modelului. • Verificarea preciziei prin sintetizarea FRF. Dacă calibrarea aparaturii şi realizarea testului au fost făcute corect, atunci modelul va descrie cu o mare precizie comportarea dinamică a structurii. Se foloseşte un procedeu simplu pentru a testa acurateţea modelului. • În timpul testului, se măsoară fie o linie completă – test prin impact, fie o coloană completă – vibrator ataşat, a matricei [H], obţinându-se m (m = nr. de moduri), respectiv n (n = nr. grade de libertate) funcţii de răspuns în frecvenţă. Folosind datele măsurate, programul de calcul furnizează date privind sintetizarea unor noi funcţii de răspuns în frecvenţă, corespunzătoare unor puncte în care nu s-au făcut măsurări. Curbele funcţiilor sintetizate în acest fel sunt suprapuse peste cele obţinute (ulterior) experimental, realizându-se astfel rapid o comparare între răspunsul sintetizat şi cel real. În felul acesta se poate afla rapid dacă modelul este precis sau nu. Precizia poate fi observată în jurul frecvenţelor modale, locul în care vărfurile se vor suprapune exact. Operatorul este cel care hotărăşte dacă modelul este bun, ţinând cont de precizia obţinută prin suprapunerea spectrelor şi de aplicaţiile ulterioare la care va fi folosit modelul.

44. Trunchierea datelor • Din punct de vedere teoretic, formularea modelului modal este exactă din moment ce nu este făcută nicio aproximare. Dar cât de bun este modelul măsurat/estimat? Presupunând valabile considerentele iniţiale, privind liniaritatea etc., atunci eventualele nepotriviri sunt cauzate de trunchieri. • Pentru că domeniul frecvenţelor în care s-a făcut testarea este limitat, rezultă că nu au fost luate în calcul toate modurile structurii. Practic, adesea se ignoră mişcările de corp rigid, care au loc la frecvenţe foarte joase, precum şi modurile care se manifestă local, pentru anumite părţi ale structurii. De asemenea, se încearcă să se păstreze cât mai jos posibil domeniul de frecvenţă, pentru a se obţine maximum de rezoluţie a frecvenţelor. În felul ecesta are loc o trunchiere a domeniului frecvenţelor care va reduce precizia modelului, mai ales în zonele de antirezonanţă. Acestea constitue aşa zisa trunchiere modală. • Deşi structurile sunt continue, modelele acestora au un număr finit de grade de libertate. Mai mult chiar, dintre cele şase grade de libertate ale unui punct în spaţiu se măsoară doar pe una sau două direcţii în acel punct. Toate acestea fac ca acest tip de trunchiere să poarte numele de trunchiere spaţială. În cazul exemplului de mai sus, caroseria microbuzului a fost descrisă de un grup de date măsurate vertical.

45. Simularea numerică • Cea mai importantă dintre aplicaţiile modelului modal, considerat precis, este procesul de simulare numerică. Simularea numerică ajută să răspundem la întrebări de tipul „Dar dacă ...?”, întrebări puse în general atunci când se doreşte fie optimizarea prototipului aflat în satadiul de proiect, fie cunoaşterea comportării dinamice a structurii sub anumiţi factori posibili. • Simularea răspunsului poate prezice răspunsul vibraţiei structurii dacă sunt aplicate diferite forţe excitatoare în oricare dintre punctele care definesc gradele de libertate. • Forţele excitatoare, folosite în simulări, se pot împărţi în forţe sinusoidale şi forţe aleatoare. • Excitaţia sinusoidală corespunde multor aplicaţii, iar implementarea ei în model este simplă. Dacă forţa este aplicată într-un singur punct atunci toate celelalte puncte vor vibra cu aceeaşi frecvenţă ca şi a forţei excitatoare. Dacă sunt aplicate mai multe forţe, în mai multe puncte, atunci răspunsul dintr-un punct va fi suma răspunsurilor individuale. De exemplu, forţa dată de un dezechilibru masic se poate modela prin două forţe perpendiculare, defazate cu 90o.

46. Simularea numerică • Forţele aleatoare sunt folosite atunci cînd dorim de exemplu să prezicem confortul şoferului microbuzului sau, în general, comportarea la oboseală a unei componente în situaţii speciale, de turbulenţă. Folosirea acestui tip de excitaţie presupune mai degrabă existenţa unor parametri statistici decât a unor valori discrete, iar rezultatele trebuie evaluate luând în vedere metodele statistice. • Autospectrul forţei GFF se poate obţine prin calcule, din standarde sau prin măsurări. Programul de calcul sintetizează funcţiile de răspuns în frecvenţă dintre forţă şi oricare dintre gradele de libertate ale modelului.

47. Simularea numerică • Simularea modificărilor se foloseşte pentru a prezice ce se întâmplă cu modelul, din punct de vedere al parametrilor săi modali, dacă se fac modificări fizice (masă, rigiditate, amortizare, substructurare). • Ea răspunde la întrebarea „Dar dacă ...?”. • Majoritatea problemelor structurilor legate de zgomote şi vibraţii sunt cauzate de rezonanţe. Ele amplifică un semnal provenit de la forţe a căror valoare, în timpul funcţionării, poate fi normală, rezultând un răspuns al structurii de neacceptat. În astfel de situaţii, sarcina inginerului este de a găsi soluţii. Acestea, de cele mai multe ori, presupun modificări structurale în scopul deplasării frecvenţei proprii a structurii şi evitării, în acest fel, a rezonanţei. • Efectuarea modificărilor structurale pe structura reală ar duce la costuri suplimentare şi la timp pierdut. Alternativa constă în folosirea modelului modal, modificările fiind făcute doar în calculator, iar timpul de soluţionare a problemei se reduce simţitor. • Prin folosirea modelului modal se poate prezice orice modificare structurală (rigiditate, masă sau amortizare). Aceste modificări produc, de fapt, un nou model modal, cu un nou răspuns.

48. Simularea numerică

49. Simularea numerică • Calcularea modificărilor. În general nu se cunosc parametri spaţiali, ci doar cei în coordonate modale. O modificare fizică – descrisă local prin parametri spaţiali, îşi va produce efectul – prin transformarea modală, în toate coordonatele modale. • Ecuaţia de modificare este una standard de vectori şi de valori proprii, soluţia ei dând frecvenţele şi amortizările noului model, precum şi noile forme ale modurilor proprii de vibraţie. • Din moment ce toate calculele sunt bazate pe modelul modal, modificările pot fi simulate în punctele de măsură şi pe direcţiile de măsură. Exactitatea metodei depinde în întregime de calitatea modelului obţinut în urma efectuării măsurărilor. • Verificare. Răspunsul prezis poate fi transformat în zgomot, tensiune, oboseală etc. pentru a putea fi comparat cu date de referinţă, norme sau standarde. Dacă rezultatul nu este satisfăcător atunci inginerul va trebui să găsească soluţii pentru remedierea problemelor.

50. Simularea numerică • În vederea măririi performanţelor unei structuri, procesul de simulare poate fi repetat ciclic ori de câte ori este necesar. Ciclul cuprinde trei etape mai importante: simularea răspunsului, verificarea şi modificarea simulării. Datorită vitezei mari a calculatoarelor actuale timpul scurs pentru parcurgerea unui ciclu complet este de câteva minute, astfel încât optimizarea este posibilă într-un timp relativ scurt.