1 / 24

Podstawy analizy matematycznej I

Podstawy analizy matematycznej I. Andrzej Marciniak. Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10. Ciągi liczbowe.

bayard
Download Presentation

Podstawy analizy matematycznej I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Podstawyanalizy matematycznejI Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

  2. Ciągi liczbowe • Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie przyporządkowana jedna liczba rzeczywista an , to mówimy, że został określony nieskończony ciąg liczbowy. • Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci a1 , a2 , … , an , … lub {an}. • Liczby a1 , a2 , … nazywamy wyrazami ciągu {an}, a symbol an – wyrazem ogólnym tego ciągu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  3. Ciągi liczbowe • Ciąg nieskończony {an} ma granicę g, jeżeli dla każdej liczby  > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność | an  g | < . Zapisujemy an  g, gdy n   lub lim an = g. n   Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność an > M. Ciąg nieskończony {an} ma granicę , jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba N, że dla każdej liczby n  N zachodzi nierówność an < M. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  4. Ciągi liczbowe • Nie każdy ciąg nieskończony ma granicę. • Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi nieskończone nazywamy ciągamirozbieżnymi. W szczególności o ciągu dążącym do + mówimy, że jest rozbieżny do plus nieskończoności. Podobnie mówimy o ciągu rozbieżnym do minus nieskończoności. • Zmiana skończonej liczby wyrazów ciągu nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu i na jej wartość. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  5. Ciągi liczbowe Przykład 1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (2n 2 3n + 5)/(3 + 7n  6n 2). Dzieląc licznik i mianownik przez n 2, otrzymujemy an = (2n2/n 2  3n /n2 + 5/n2)/(3/n 2 + 7n /n2  6n2/n2) = (2  2/n + 5/n2)/(3/n2 + 7/n  6). Zatem lim an = 2/(6) = 1/3 n   Ogólnie, prawdziwe jest poniższe twierdzenie. Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n   równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  6. Ciągi liczbowe Przykład 2. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (n3 + 2n2 + 4)1/3 (n3 + 1)1/3. Bezpośrednie wnioskowanie z postaci wyrazu an jest trudne, bo zarówno odjemna, jak i odjemnik rosną nieograniczenie ze wzrostem n. Przekształćmy dane wyrażenie korzystając z rozkładu różnicy sześcianów a3  b3 = (a  b)(a2 + ab + b2), skąd a  b = (a3  b3)/(a2 + ab + b2). Otrzymujemy an = (n3 + 2n2 + 4)  (n3 +1) /[(n3 + 2n2 + 4)2/3 + (n3 + 2n2 +4)1/3(n3 + 1)1/3 + (n3 + 1)2/3]. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  7. Ciągi liczbowe Po wykonaniu redukcji licznika i podzieleniu licznika i mianownika przez n2 mamy an = (2 + 3/n2) /[(1 + 2/n + 4/n3)2/3 + (1 + 2/n + 4/n3)1/3(1 + 1/n3)1/3 + (1 + 1/n3)2/3]. Przechodząc do granicy otrzymujemy ostatecznie lim an = 2/(1+1+1) = 2/3. n  Przykład 3. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (3 2n + 1  7)/(9n + 4). Zauważmy, że an = (3 9n  7)/(9n + 4) Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  8. Ciągi liczbowe i po podzieleniu licznika i mianownika przez 9nmamy an = (3  7/9n)/(1+4/9n), a więc lim an = 3/1 = 3. n   Przykład 4. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (3n + 5n + 7n)1/n. Ponieważ 7n < 3n + 5n + 7n < 7n + 7n + 7n, więc 7n /n < (3n + 5n + 7n)1/n < (37n)1/n, czyli 7 < (3n + 5n + 7n)1/n < 731/n i możemy zastosować twierdzenie o trzech ciągach. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  9. Ciągi liczbowe Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów{bn }, {an } i {cn} spełniają nierównościbn an  cni jeżeli ciągi {bn } i {cn} mają wspólną granicę g, to ciąg {an } ma tę samą granicę. W naszym przypadku bn = 7 i cn = 731/n. Ponieważ lim 1/n = 1 dla  > 0, n   więc lim cn = 71. Oczywiście lim bn = 7. Zatem także lim an = 7. n   n   n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  10. Ciągi liczbowe Przykład 5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an = (1 + 4/n)n. Korzystamy z jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim (1 + 1/n)n = e n  lub z wzoru ogólniejszego: lim (1 + bn)1/bn= e, jeśli lim bn = 0 i bn 0. n  n  Jeżeli wyraz ogólny rozważanego ciągu zapiszemy w postaci an = [(1+4/n)n/4]4 i podstawimy w powyższym wzorze bn = 4/n, to otrzymamy, że granicą ciągu {an } jest e 4. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  11. Ciągi liczbowe Przykład 6. Obliczyć lim n 10/2n. n  Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla ciągu {an } istnieje granica lim | an+1 |/| an | = g < 1, to lim an = 0. n   n   Uwaga: gdy dla ciągu {an } istnieje granica lim | an+1 |/| an | = g > 1, to lim | an | = +, n   n   a więc ciąg {an } jest rozbieżny. W rozważanym przykładzie mamy an = n 10/2n oraz an+1 = (n + 1)10/2n+1. Ponieważ lim an+1/an = ½, więc na podstawie podanego n   twierdzenia granicą naszego ciągu jest 0. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  12. Szeregi liczbowe • Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczany symbolem   an n = 1 rozumiemy ciąg sum: s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , …………………….. sn = a1 + a2 + … + an , ………………………………… Liczbya1 , a2 , … nazywamy wyrazami szeregu, a symbol snnazywamy wyrazem ogólnym szeregu. Wyrazy ciągu {sn} nazywamy sumami częściowymi szeregu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  13. Szeregi liczbowe • Jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny, czyli ma skończoną granicę s, to mówimy, że szereg jest zbieżny, a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego. • Warunkiem koniecznym zbieżności każdego szeregu jest to, by jego wyraz ogólny an dążył do zera. • Ważniejsze szeregi: • szereg geometryczny   aq n1, a  0 n = 1 jest zbieżny, gdy | q | < 1 i wówczas jego suma wynosi a/(1  q), Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  14. Szeregi liczbowe • szereg harmoniczny rzędu    1/n , gdzie  > 0, n = 1 jest zbieżny dla  > 1 i rozbieżny, gdy   1. • Ze względu na metody badania zbieżności szeregów wyróżnia się dwie grupy: • szeregi o wyrazach nieujemnych , • szeregi przemienne . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  15. Szeregi o wyrazach nieujemnych • Kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu   an , gdziean  0, n = 1 można wskazać taki szereg zbieżny   bn , n = 1 że począwszy od pewnego miejsca N, czyli dla każdego n  N, zachodzi nierówność an bn, to pierwszy szereg jest równie zbieżny. • Kryterium porównawcze rozbieżności szeregów.Jeżeli dla szeregu   an n = 1 można wskazać taki szereg rozbieżny   bn , gdziebn  0, n = 1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  16. Szeregi o wyrazach nieujemnych że począwszy od pewnego n  N zachodzi nierówność an  bn, to pierwszy szereg jest również rozbieżny. • Kryterium d’Alemberta zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu   an , gdziean  0, n = 1 począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla n N, stosunek dowolnego wyrazu an+1do poprzedzającego wyrazu an jest stale mniejszy od pewnej liczy p mniejszej od 1, tzn. jeżeli an+1/an  p < 1 dla każdego n N, to szereg jest zbieżny. Gdy an+1/an  1 dla każdego n  N, to szereg jest rozbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  17. Szeregi o wyrazach nieujemnych • Kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów. Jeżeli dla szeregu   an , gdziean  0, n = 1 istnieje taka liczba p < 1, że począwszy od pewnego miejsca N, tzn. dla każdego n  N, zachodzi nierówność (an )1/n < p < 1, to szereg jest zbieżny. Gdy (an )1/n  1, to szereg jest rozbieżny. Uwaga: Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze niż kryterium d’Alemberta. Na przykład w szeregu 1 + 3/2 + 1/22 + 3/23 + … + 1/22n + 3/22n+1 + … kryterium d’Alemeberta nie prowadzi do rozstrzygnięcia, bo stosunek an+1/an jest na przemian większy i mniejszy od 1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego mamy lim (an )1/n = ½ < 1, a więc szereg jest zbieżny. n   Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  18. Szeregi o wyrazach nieujemnych Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu  6n/n!. n = 1 Korzystamy z kryterium d’Alemberta: an = 6n/n!, an+1 = 6n+1/(n+1)!, a więc an+1/an = 6n+1n!/[(n+1)!6n] = 6/(n+1)  0, gdy n  . Szereg jest zatem zbieżny. Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu   n 3/2n. n = 1 Stosujemy kryterium Cauchy’ego. Mamy (an )1/n = (n3/2n)1/n = (n1/n)3/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  19. Szeregi o wyrazach nieujemnych Ale n 1/n 1, gdy n  , więc (an )1/n ½ i szereg jest zbieżny. Przykład 3. Zbadać zbieżność szeregu   n!/n n. n = 1 Zauważmy, że wyraz ogólny an = n!/nn = 123 … n/(nnn … n) jest, zaczynając od czwartego miejsca, mniejszy od 2/n 2, tzn. jest mniejszy od ogólnego wyrazu szeregu   2/n2 = 2 1/n 2, n = 1 n = 1 a ten szereg jest zbieżny jako iloczyn liczby 2 przez szereg harmoniczny rzędu wyższego od 1. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  20. Szeregi przemienne • Kryterium Leibniza zbieżności szeregów. Jeżeli w szeregu przemiennym   an (1) n = 1 począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości wyrazów dążą monotonicznie do zera, tzn. dla każdego n > N spełnione są warunki: | an+1 |  | an |, lim an = 0, n  to szereg jest zbieżny. • Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów.Jeżeli szereg  | an |, n = 1 którego wyrazy są równe wartościom bezwzględnym wyrazów szeregu (1), jest zbieżny, to szereg (1) też jest zbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  21. Szeregi przemienne • Szereg   an n = 1 nazywamy szeregiembezwzględnie zbieżnym, gdy szereg  | an | n = 1 jest zbieżny. • Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  22. Szeregi przemienne Przykład 1. Zbadać zbieżność szeregu  (1)n+1/n. n = 1 Jest to szereg przemienny. Bezwzględne wartości jego wyrazów dążą monotonicznie do zera: 1 > ½ > 1/3 > ¼ > … > 1/n > 1/(n+1) > … oraz lim 1/n = 0. Na podstawie kryterium Leibniza szereg jest zbieżny. n   Przykład 2. Zbadać zbieżność szeregu 1  ½ + 1/22  1/22 + 1/32  1/23 + 1/42  1/24 + … + 1/n 2  1/2n. Jest to szereg przemienny. Nie spełnia on kryterium Leibniza, gdyż mamy 1/62 > 1/26, 1/26 < 1/72, 1/72 > 1/27, 1/27 < 1/82, … Szereg jest jednak zbieżny i to bezwzględnie. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  23. Szeregi przemienne Oznaczmy przez Sn sumę wartości bezwzględnych jego n wyrazów i weźmy najpierw pod uwagę ciąg sum parzystych S2n. Łącząc w grupy odpowiednie wyrazy otrzymujemy S2n = (1 + 1/22 + 1/32 + … + 1/n 2) + (1/2 + 1/22 + 1/23 + … + 1/2n), czyli n n S2n =1/k 2 +  1/2k. k = 1 k = 1 Granica pierwszej sumy jest równa sumie szeregu harmonicznego rzędu 2, a więc szeregu zbieżnego. Granica drugiej sumy może być obliczona na podstawie sumy szeregu geometrycznego (jest równa 1). Zatem  lim S2n =1/n 2 + 1. n   n = 1 Ciąg sum cząstkowych parzystych jest zatem zbieżny. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

  24. Szeregi przemienne Aby dowieść, że ciąg Sn jest zbieżny, należy jeszcze wykazać, że ciąg sum cząstkowych nieparzystych S2n+1 jest zbieżny (i to do tej samej granicy). Wynika to bezpośrednio z równości S2n+1 = S2n + a2n+1, wobec tego, że wyraz ogólny danego szeregu dąży do zera. Udowodniliśmy zatem zbieżność szeregu utworzonego z bezwzględnych wartości wyrazów danego szeregu, a więc tym samym wykazaliśmy bezwzględną zbieżność danego szeregu. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

More Related