Download
1 / 25
250 likes | 445 Views
Podstawy analizy matematycznej II. Andrzej Marciniak. Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10. Granica i ciągłość funkcji.
E N D
Podstawyanalizy matematycznejII Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10
Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że liczba g jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x c 0 x c + 0 jeżeli dla każdego > 0 istnieje taka liczba > 0, że | f (x ) g | < dla c < x < c (c < x < c + ). • Mówimy, że + jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) > M dla c < x < c (c < x < c + ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdej liczby M > 0 istnieje taka liczba > 0, że f (x ) < M dla c < x < c (c < x < c + ). Są to definicje w sensie Cauchy’ego. Definicja granicy funkcji w sensie Heinego : Mówimy, że liczba g (+, ) jest granicą lewostronną (prawostronną) funkcji f (x ) w punkcie x = c, jeżeli dla każdego ciągu {xn} zbieżnego do c i takiego, że dla każdego n zachodzi xn < c (xn > c), mamy lim f (xn) = g (+, ). n Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) w punkcie x = c, co zapisujemy lim f (x ) = g, x c jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie x = c i obie są sobie równe. • Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f (x ) przy x + (x ), co zapisujemy lim f (x ) = g ( lim f (x ) = g ), x +x jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba K > 0, że | f (x) g | < dla każdej wartości x > K (x < K ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji • Mówimy, że funkcjaf (x) dąży do + () przy x +, co zapisujemy lim f (x ) = + ( lim f (x ) = ), x + x + jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K > 0, że f (x ) > M ( f (x ) < M ) dla każdej wartości x > K. • Granice lim f (x ) = + i lim f (x ) = x x określamy podobnie. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji • Jeżeli istnieją granice lim f (x ) i lim g (x ), to x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x ) g (x )) = lim f (x ) lim g (x ) x c x c x c lim (f (x )/g (x )) = lim f (x ) / lim g (x ), jeśli lim g (x ) 0. x c x c x c • Funkcję f (x ) nazywamy funkcją ciągłą w punkcie x = c, jeżeli istnieje granica lim f (x ) i jeśli granica ta jest równa f (c ). x c • Suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Iloraz funkcji ciągłych o dzielniku różnym od zera jest funkcją ciągłą. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji Przykład 1. Obliczyć granicę funkcji f (x ) = (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) w punkcie x = 2. Dla x = 2 licznik i mianownik jest równy 0, a więc funkcja nie jest określona w tym punkcie. Zauważmy, że 3x 2 5x 2 = 3(x 2)(x + 1/3) i 5x 2 20 = 5(x 2)(x + 2). Możemy zatem funkcję f (x ) zapisać w postaci f (x ) = {3(x + 1/3)/[5(x + 2)]} {(x 2)/(x 2)} = g (x ) h (x ). Pierwszy czynnik g (x ) jest funkcją wymierną, ciągłą w punkcie x = 2, więc lim g (x ) = g (2) = [3(2 + 1/3)]/[5(2+2)] = 7/20. x 2 Drugi czynnik h (x ) równa się 1 dla x 2, a dla x = 2 nie jest zdefiniowany. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji W myśl definicji granicy lim h (x ) istnieje i równa się 1. x 2 Na podstawie twierdzenia o granicy iloczynu funkcji mamy lim (3x 2 5x 2)/(5x 2 20) = (7/20) 1 = 7/20. x 2 Przykład 2. Wyznaczyć granicę funkcji [x ] w punkcie x = 3. Mamy lim [x ] = 3, gdyż dla 3 x < 4 jest [x ] = 3, x 3+0 natomiast lim [x ] = 2, bo dla 2 x < 3 jest [x ] = 2. x 30 Zatem granica funkcji [x ] w punkcie x = 3 nie istnieje. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji Przykład 3. Obliczyć lim (10x )/tg(3x ). x 0 Dla x = 0 licznik i mianownik są równe 0. Przekształcamy wyrażenie: (10x )/tg(3x ) = [10x cos(3x )]/sin(3x ) = (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ). Na podstawie jednego z podstawowych wzorów teorii granic: lim sinx /x = 1 x 0 mamy lim 3x /sin(3x ) = lim 1/[sin(3x )/(3x )] = 1. Ponadto x 0 x 0 lim cos(3x ) = cos 0 = 1. x 0 Zatem lim (10/3) cos(3x ) 3x /sin(3x ) = (10/3) 1 1 = (10/3). x 0 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji Przykład 4. Obliczyć lim f (x ) dla f (x ) = {x[x (x 2 1)1/2]}1/2. x + Po pomnożeniu i podzieleniu funkcji f (x ) przez [x + (x2 1)1/2]1/2 mamy f (x ) = x1/2/[x + (x2 1)1/2]1/2. Dzieląc teraz licznik i mianownik przez x 1/2 otrzymujemy f (x ) = 1/[1+(1 1/x 2)], skąd ostatecznie lim f (x ) = 1/(1 + 11/2)1/2 = 1/21/2. x + Przykład 5. Wyznaczyć granicę funkcji exp[1/(1 x 2)] w punkcie x = 1. Przy wyznaczaniu granic funkcji wykładniczej korzystamy często z wzorów lim a x = +, lim a x = 0 dla a > 1 i lim a x = 0, lim a x = + dla 0 < a < 1. x + x x + x Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Granica i ciągłość funkcji Obliczmy najpierw w punkcie x = 1 granicę funkcji g (x ) = 1/(1 x 2). Funkcja ta nie jest określona w podanym punkcie. Przedstawiamy ją w postaci g(x ) = 1/(1 + x ) 1/(1 x ). Pierwszy czynnik jest funkcją ciągłą w punkcie x = 1, w którym granica jest równa ½. Drugi czynnik ma granice lewostronną i prawostronną różne: lim 1/(1 x ) = +, lim 1/(1 x ) = . x 10 x 1+0 Z powyższego i na podstawie podanych wzorów wynika, że lim exp(1/(1 x 2) = 0, lim exp(1/(1 x 2) = +. x 1+0 x 10 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Pochodną funkcji y = f (x ) w punkcie x nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu wartości funkcji y do przyrostu argumentu x , gdy przyrost argumentu dąży do zera, tj. granicę lim y/x = lim [f (x + x ) f (x )]/x . x 0 x 0 • Pochodna funkcji y = f (x ) w danym punkcie jest równa współczynnikowi kątowemu (kierunkowemu) stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. • Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną (jest różniczkowalna), to jest w tym punkcie ciągła (ale nie na odwrót, np. funkcja y = |x |w punkcie x = 0). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Pochodna sumy (różnicy) funkcji. Jeżeli y = uv, to y’ = u’v’. • Pochodna iloczynu funkcji. Jeżeli y = uv, to y’ = u’v + uv’. • Pochodna ilorazu funkcji. Jeżeli y = u /v i v 0, to y’ = (u’v uv’ )/v 2. • Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja y = f (g (x )) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x = x0 , funkcja g (x ) jest różniczkowalna w punkcie x = x0oraz funkcja f (u ) jest różniczkowalna w punkcie u = u0 , gdzie u0 = g (x0), to (dy/dx)x =x0 = (dy/du)u =u0 (du/dx)x =x0 . Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Pochodna funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja różniczkowalna y = f (x ) ma funkcję odwrotną x =g(y ), to pochodna funkcji odwrotnej jest równa odwrotności pochodnej danej funkcji, o ile dy/dx 0, tj. dx/dy = 1/ (dy/dx ). • Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego (wzory na pochodne) dotyczą funkcji potęgowej, trygonometrycznych, cyklometrycznych, hiperbolicznych, odwrotnych względem hiperbolicznych, wykładniczych oraz logarytmicznych. Wzory te należy znać! Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji Przykład 1. Obliczyć pochodną funkcji y = (3x 2 4xx2/3)/(2x 1/2). Funkcja jest ciągła, gdy x > 0. Po podzieleniu licznika i mianownika przez x 1/2mamy y = (3/2)x 3/2 2x 7/6, skąd y’ = (9/4)x 1/2 (7/3)x 1/6. Przykład 2.Wyznaczyć pochodną funkcji y = (2 x 2)/(2x 3 + x + 3). Stosujemy wzór na pochodną ilorazu. Pochodna licznika jest równa 2x, a pochodna mianownika wynosi 6x 2 + 1. Zatem y’ = [2x (2x 3 + x + 3) (2 x 2)(6x 2 +1)]/(2x 3 + x + 3)2 = (2x 4 13x 2 6x 2)/(2x 3 + x + 3)2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji Przykład 3. Obliczyć pochodną funkcji y = sin3[(1 2x )/x ]1/2. Funkcja ta jest określona w przedziale 0 < x < ½. Można ją przedstawić za pomocą czterech funkcji prostych: y = z 3, z = sinu, u = t 1/2, t = (1 2x )/x. Mamy dy/dz = 3z 2, dz/du = cosu, du/dt = 1/(2t 1/2), dt/dx = 1/x 2. Na podstawie wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy dy/dx = 3z 2 cosu 1/2t 1/2 (1/x 2). Wracając do zmiennej x, po wykonaniu działań mamy dy/dx = 3/{2x [x (1 2x )]1/2} sin2[(1 2x )/x ]1/2 cos[(1 2x )/x ]1/2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji Przykład 4. Obliczyć pochodną funkcji y = x x, gdzie x > 0. Ponieważ e lnx = x, więc x x = e x lnx. Stosując wzór na pochodną funkcji złożonej mamy y’ = e x lnx[1 lnx + x (1/x )] = xx (lnx + 1). Przykład 5. Wyznaczyć pochodną funkcji y = (sinx)tgx w przedziale 0 < x < /2. Ponieważ e lnu = u, więc sinx = e lnsinx. Po podniesieniu obu stron do potęgi tgx mamy y = (sinx )tgx = e tgxlnsinx. Jest to funkcja postaci e f(x ) i z wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy, że jej pochodna wynosi e f(x )f’ (x ). Zatem y’ = e tgxlnsinx [(1/cos2x )lnsinx + tgx (1/sinx) cosx ] = (sinx )tgx [ln(sinx )/cos2x + 1]. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Pochodną rzędu drugiego funkcji f (x ) nazywamy pochodną z pochodnej tej funkcji. Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów. Przykład 1. Obliczyć pochodną rzędu szóstego wielomianu y = x 5 2x 4 + 4x 2 16x + 15. Mamy y’ = 5x 4 8x 3+ 8x 16, y” = 20x 3 24x 2 + 8, y’’’ = 60x 2 48x, y (4) = 120x 48. y (5) = 120, y (6) = 0. Pochodne wielomianu rzędu wyższego niż jego stopień są równe zeru. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji Przykład 2. Obliczyć pochodną rzędu n funkcji y = sinx. Mamy y’ = cosx, y” = sinx, y’’’ = cosx, y (4) = sinx = y i pochodne wyższych rzędów powtarzają się: y (5) = y’, y(6) = y” itd. Ponieważ y’ = cosx =sin(x + /2), y” = sinx = sin(x + 2 /2), y’’’ = cosx = sin(x + 3 /2), y (4) = sinx = sin(x + 4 /2), więc można podać ogólny wzór na pochodną rzędu n funkcji y = sinx : y (n ) = sin(x + n /2). Wyprowadzenie ogólnych wzorów na pochodną dowolnego rzędu danej funkcji jest w ogólności zadaniem trudnym. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Jeżeli funkcja ma postać lub daje się przedstawić w postaci iloczynu dwóch prostszych funkcji (y = uv ), dla których można łatwo znaleźć wzory na pochodne rzędu n, to pochodną rzędu n danej funkcji y wyznaczamy z wzoru Leibniza: y (n ) = u (n )v + (n1)u (n 1)v’ + (n2)u (n 2)v” + … + (nk)u (n k )v (k ) + … + uv (n ). Przykład. Wyznaczyć pochodną rzędu n funkcji y = e x sinx. Przyjmując u = e x i v = sinx mamy u (n ) = (1)ne x, v (n ) = sin(x + n /2) i na podstawie wzoru Leibniza: y (n ) = (1)n e x sinx + … + (1)n k (nk)e x sin(x + k /2) + … + e x sin(x + n /2). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Dla funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = f (t ), y = g (t ), pochodną obliczamy z wzoru dy/dx = (dy/dt )/(dx/dt ), jeśli dx/dt 0. Przykład. Obliczyć pochodną dy/dx funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint t cost, y = cost + t sint. Mamy dx/dt = cost + tsint cost = tsint, dy/dt = sint + tcost + sint = tcost. Zatem dy/dx = tcost/(tsint) = ctgt. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Pochodną rzędu drugiego d 2y/dx 2 funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy następująco: d 2y/dx 2 = d/dx (dy/dx) = [d/dt(dy/dx)]/(dx/dt), gdzie d/dt(dy/dx) = d/dt[(dy/dt)/(dx/dt)] = (d 2y/dt2 dx/dt d 2x/dt2 dy/dt )/(dx/dt)2 Przykład. Obliczyć d 2y/dx 2 funkcji określonej równaniami parametrycznymi x = sint t cost, y = cost + t sint. Korzystając z poprzedniego przykładu i powyższego wzoru mamy d 2y/dx 2 = [d/dt(ctgt)]/(dx/dt ) = (1/sin2t )/(tsint ) = 1/(t sin3t ). Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wypukła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1 )x2 , gdzie x1 < x2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x) y , gdzie y = f (x1)+ (1 )f (x2). • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją rosnącą, to funkcjaf (x ) jest wypukła w przedziale [a, b]. • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) > 0 w [a, b], to funkcjaf (x ) jest w tym przedziale wypukła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Mówimy, że funkcja f (x ) określona w przedziale [a, b] jest wklęsła w tym przedziale, jeśli dla każdej liczby x = x1 + (1 )x2 , gdzie x1 < x2 i 0 1 zachodzi nierówność f (x) y , gdzie y = f (x1)+ (1 )f (x2). • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] różniczkowalna i jej pochodna jest w tym przedziale funkcją malejącą, to funkcjaf (x ) jest wklęsła w przedziale [a, b]. • Jeżeli funkcja f (x ) jest w przedziale [a, b] dwukrotnie różniczkowalna i f” (x ) < 0 w [a, b], to funkcjaf (x ) jest w tym przedziale wklęsła. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Pochodne funkcji • Punktem przegięcia wykresu funkcji y = f (x ), gdy funkcja f (x ) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu, nazywamy taki jej punkt, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony krzywej na drugą. • Jeżeli funkcja y = f (x ) ma ciągłą pochodną rzędu drugiego, to w punktach przegięcia wykresu funkcji mamy f” (x ) = 0. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
