Enkelvoudige harmonische trillingen

1. Enkelvoudige harmonische trillingen Hoofdstuk 2

2. Harmonische Trillingen • TRILLING : heen – en weergaande beweging rond evenwichtsstand. • ELONGATIE : Stand ten opzichte van de evenwichtsstand. • AMPLITUDE : Maximale elongatie. • HARMONISCHE TRILLING : Elongatie = sinusfunctie

3. Bewegingsvergelijking • A : Amplitude • (wt + f0) : Fasehoek (fase) • w : Fasesnelheid of pulsatie • f0 : Beginfase • Periode T : • Frequentie f :

4. Elongatie

5. Elongatie (2)

6. Elongatie : fasorvoorstelling • Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. • Elongatie = projectie op de Y-as. • Zie ook applet.

7. Snelheid bij EHT - berekening • Snelheid is opnieuw een trilling met amplitude Aw. • Snelheid is p/2 uit fase ten opzichte van elongatie. • Snelheid ‘loopt p/2 voor op’ elongatie

8. Snelheid bij EHT - grafisch

9. Snelheid bij EHT - grafiek • Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand. • Snelheid is nul bij maximale uitwijking

10. Versnelling bij EHT - berekening • Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude Aw². • Versnelling is p uit fase ten opzichte van elongatie en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.

11. Versnelling bij EHT - grafisch

12. Versnelling bij EHT - grafiek • Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is. • Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie.

13. Snelheid en versnelling bij EHT

14. Fasorvoorstelling (2) • Snelheid en versnelling kunnen ook met fasoren voorgesteld worden. • Fasor snelheid staat loodrecht op fasor elongatie. • Fasor versnelling maakt hoek van 180° met fasor elongatie.

15. Krachtwerking bij EHT Uit eerste wet van Newton en afleiding versnelling volgt : • Kracht is recht evenredig met elongatie. • Kracht is tegengesteld gericht aan de elongatie. Nodig en voldoende voorwaarde om een massa m een EHT met pulsatie w te laten beschrijven

16. Energie bij EHT – Kinetische energie • Kinetische energie – definitie • Kinetische energie op tijdstip t • Kinetische energie bij elongatie y

17. Energie bij EHT – potentiële energie • Ep bij elongatie y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwicht-stand. • Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.

18. Totale energie Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

19. Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht- stand ?

20. Massa aan veer Evenwichtstand Elongatie y

21. Massa aan veer - conclusies • Massa aan veer voert harmonische trilling uit. • Trilconstante = veerconstante

22. Wiskundige slinger • Idealisatie : • Onuitrekbaar en massaloos touw • Puntmassa • Puntmassa beweegt op cirkelboog. • Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.

23. Wiskundige slinger - krachtwerking • Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. • Welke kracht is dat ? • Tangentiële component van resultante. • Spankracht : alléén maar normaal-component. • Kracht die we zoeken • Tangentiële component van zwaartekracht.

24. Wiskundige slinger – krachtwerking (2) • Tangentiële component zwaartekracht : • Voor kleine hoeken :

25. Wiskundige slinger - conclusies

26. Gedempte trillingen • Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt. • Amplitude gaat exponentieel afnemen

27. Resonantie • Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. • Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator). • Resonantievoorwaarde : femittor = fresonator • Zie ook applets website.

28. Resonantie-catastrofe • Bij continue energietoevoer bij resonantie-voorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. • Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden => RESONANTIE-CATASTROFE. • Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge

29. Resonantie – catastrofe (2)