1 / 27

Fungsi Konveks dan Konkaf

Fungsi Konveks dan Konkaf. Fungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linier Pada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannya Fungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveks. Definisi Himpunan Konveks.

brenna
Download Presentation

Fungsi Konveks dan Konkaf

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FungsiKonveksdanKonkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  2. Fungsikonveksdankonkafmemegangperananpentingpadapemrograman non linier • Padafungsitersebutsolusi optimal yang unikdijaminkeberadaannya • Fungsitersebutmempunyaidaerahasal yang merupakanhimpunankonveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  3. DefinisiHimpunanKonveks • HimpunanR konveksjikax’, y” , maka z= cx’ + (1-c) x’’ , c  [0, 1 ] Himpunantitik­titikdi , dimanasembarangpasangantitikdidalamhimpunandihubungkanolehgaris yang seluruhtitikpadagaristersebutjugadi x z y Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  4. (a) dan (b) himpunankonveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  5. • Sebuahfungsi f(x) konvekspadajikax’, x” : f(cx ‘+ (1-c) x”)<cf(x’)+ (1-c)f(x”), c[0,1] f(x”) Y* Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) f(x’) Y** Y*= cf(x’)+ (1-c)f(x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  6. •Sebuahfungsif(x) konvekspadajikax’, x” : f(cx’+ (1-c) x”)≥cf(x’)+ (1-c)f(x”), c [0,1] Y** f(x”) Y* Y** =f(cx ‘+ (1-c) x”) f(x’) Y*= cf(x’)+ (1-c)f(x”) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  7. Fungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan TEOREMA 1 Jikaf(x)konvekspadamakalokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x)konkafpadamakalokaImaksimumadalah global maksimum. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  8. Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2: • Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x) C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  9. Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 2 (lanjut): • Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x) C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  10. Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan Kedua Teorema 3: • Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x) C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika: • Suatu fungsif(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x)  C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  11. Contoh: f(x)= exdan f(x)= x2adalahfungsikonveks Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  12. f(x) = adalahfungsikonkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  13. Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn   Rnadalah himpunan konveks jikax’, x”  z= cx’+(1 - c)x” , c  [0,1] di mana x’= (x’1 ,…,x’n) dan x”= (x”1 ,…,x”") Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  14. Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk XRn TEOREMA: • f :   R adalah fungsi konveks jika x, y : • f(cx’+(1 - c)x”) ≤cf(x’)+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan • f(y)> f(x) + (y-x)' f(x) • f :  R adalah fungsi konkaf jika x, y : • f(cx’+(1 - c)x”) ≥cf(x’)+(1 - c)f(x”) , c [0,1] dan • f(y) ≤f(x) + (y-x)' f(x) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  15. di mana: • Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing xi • Selain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi - Matriks Hessian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  16. Matriks Hessian suatufungsi • Matriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,…, xn) adalah nx nmatriks yang elemen ke ij nya adalah: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  17. TEOREMA: • Jikabersifatpositif semi definitmaka f adalahfungsikonveksdalam • Jikabersifatpositifdefinitmakaf adalahfungsikonveksketatdalam Definisi: • MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi definitjika: Q(x) = x’Ax>0 x  0 • Bersifatpositifdefinitjika: Q(x) = x’Ax>0 x  0 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  18. TEOREMA: • Jikabersifatnegatifsemi definitmaka f adalahfungsikonkafdalam • Jikabersifatnegatifdefinitmakaf adalahfungsikonkafketatdalam Definisi: • MatriksAberukurannxn adaiahmatriksnegatifsemi definitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x  0 • Bersifatnagatifdefinitjika: Q(x) = - x’Ax>0 x  0 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  19. Definisi: • Minor utama ke-i dari matriks n×n adalah determinan dari matriks i×i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut • Jika matriks berukuran n×n maka akan terdapat nminor utama • Minor utama ke-1 adalah diagonal utama. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  20. Contoh perhitungan minor utama suatu matriks • Pada matriks berukuran 2×2 berikut • Dimiliki 2 minor utama • Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 – 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II): Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  21. Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 – 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb  determinan dari matriks itu sendiri det = (-2)(-4) – (-1)(-1) = 7 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  22. TEOREMA: • Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) • Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif) • SuatumatriksA dikatakannegatifsemi definitjika minor utamake-i dariA bernilai0 ataubertanda(-1)i ,i = 1, ... ,n. • Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1)i ,i = 1, ... ,n Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  23. Sifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks Hessian Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  24. Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsi • Diberikan fungsi berikut: • Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah: = Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  25. Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utama • Minor utama ke-1 adalah: • Untuk x1≥0 maka minor utama ke-1: • 2 >0 dan 6x1≥0 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  26. Minor utama ke-2 adalah determinan dari: • Yang bernilai 12x1 – 4 • Hanya akan bernilai ≥0 untuk x1 ≥ 1/3 • Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 ≥ 1/3 • Fungsi bersifat konveks untuk x1 ≥ 1/3 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

  27. Latihan • Coba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

More Related