340 likes | 675 Views
TOPIK 1. LOGIKA. Pertemuan 4. KALKULUS PREDIKAT/ KALIMAT BERKUANTOR. Pendahuluan. Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan dengan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya.
E N D
TOPIK 1 LOGIKA
Pertemuan 4 KALKULUS PREDIKAT/ KALIMAT BERKUANTOR
Pendahuluan • Telah dibahas kalimat-kalimat yang dihubungkan dengan kata penghubung tertentu. Akan tetapi, kalimat yang dibicarakan tidak memandang banyaknya obyek yang terlibat di dalamnya. • Akan dibahas konsep logika yang diperluas dengan cara menyertakan jumlah (kuantitas) obyek yang terlibat di dalamnya.
Predikat (1) • Dalam tata bahasa, predikat menunjuk pada bagian kalimat yang memberi informasi tentang subjek. • Contoh: • “… terbang ke bulan” • “… lebih tebal dari kamus” kedua contoh kalimat tersebut merupakan kalimat tidak lengkap. Agar menjadi suatu kalimat yang lengkap, haruslah disubstitusikan subyek di bagian depan kalimat. • Misalnya, subyek “Buku ini” disubstitusikan pada kalimat “… lebih tebal dari kamus”, menjadi “Buku ini lebih tebal dari kamus”.
Predikat (2) • Dalam ilmu logika, kalimat-kalimat yang memerlukan subyek disebut predikat. • Jadi, misalkan : • p : “terbang ke bulan” • q : “lebih tebal dari kamus”, maka baik p maupun q adalah predikat. • Untuk menyatakan perlunya substitusi subyek (yang tidak diketahui), maka dituliskan p(x) dan q(y). • Salah satu cara untuk mengubah predikat menjadi suatu kalimat adalah dengan mensubstitusi semua variabelnya dengan nilai-nilai tertentu.
Predikat (3) • Misalkan : p(x) : “x habis dibagi 5” dan x disubstitusikan dengan 35, maka p(x) menjadi kalimat benar karena : 35 habis dibagi 5. • Cara lain adalah dengan menambahkan kuantor pada kalimat. • Kuantor adalah kata-kata seperti “beberapa”, “semua”, dan lain-lain yang menunjukkan berapa banyak elemen yang dibutuhkan agar predikat menjadi benar.
Kuantor • Ada 2 (dua) macam kuantor untuk menyatakan jumlah obyek yang terlibat yaitu • Kuantor Universal (simbol ) • Kuantor Eksistensial (simbol ).
Kuantor Universal • Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap obyek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. • Kata yang digunakan: semua atau setiap • Misalnya: p(x) : “x dapat mati”. Karena semua manusia dapat mati, maka hal tersebut dinyatakan dengan : (x) x manusia, x p(x). • Kalau semesta sudah jelas, maka dapat dihilangkan. Jadi, jika semesta pembicaraannya sudah jelas, yaitu himpunan manusia-manusia di bumi, maka dituliskan: ( x) p(x).
Kuantor Eksistensial • KuantorEksistensialmenunjukkanbahwadiantaraobyek-obyekdalamsemestanya, paling sedikitadasatuobyek (ataulebih, asaltidaksemua) yang memenuhisifatkalimat yang menyatakannya. • Kata yang digunakan: terdapat, ada, beberapa, paling sedikitsatu • Contoh: (x D) q(x), disingkat (x) q(x) : • bernilai Tjikapaling sedikitadasatu xdalam D yang menyebabkanq(x) benar • hanyabernilaisalahjikauntuksemua x D, q(x) bernilaisalah.
Contoh (1a & 1b) • Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor dan • Beberapa orang rajin beribadah. • Setiap bilangan adalah negatif atau mempunyai akar riil. • Penyelesaian: a. Jika p(x) : “x rajin beribadah” maka kalimat (a) dapat ditulis (x) p(x). b. Jika p(x) : “x adalah bilangan negatif” q(x) : “x mempunyai akar riil” Maka kalimat (b) dapat ditulis (x)(p(x) q(x)).
Contoh (1c & 1d) • Terjemahkan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor dan • Ada bilangan yang tidak riil. • Tidak semua mobil mempunyai karburator. • Penyelesaian: c. Jika p(x) : “x adalah bilangan riil” maka kalimat (c) dapat ditulis sebagai (x) p(x). d. Jika q(y) = “mobil mempunyai karburator” Maka kalimat (d) dapat ditulis sebagai ((y) q(y)). atau kalimat (d) dapat ditulis sebagai (y) q(y).
Contoh (2a) • Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan riil x) x2 0 • Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : • Semua bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif • Setiap bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif • Sembarang bilangan riil mempunyai kuadrat tak negatif • x mempunyai kuadrat tak negatif untuk setiap bilangan riil x • Kuadrat dari sembarang bilangan riil tidaklah negatif.
Contoh (2b) • Nyatakan bilangan berkuantor di bawah ini dalam bahasa sehari-hari ( bilangan bulat m) m2 = m • Penyelesaian: Berikut ini diberikan beberapa cara untuk menyatakannya : • Ada bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri • Beberapa bilangan bulat sama dengan kuadratnya sendiri • Terdapat bilangan bulat yang kuadratnya sama dengan bilangan itu sendiri.
Contoh (3a) • Misalkan D adalah himpunan bilangan bulat. Buktikan bahwa : kalimat (m D) m2 = m bernilai benar. • Penyelesaian: Kalimat (x) p(x) bernilai benar bila dapat ditunjukkan bahwa ada satu x (atau lebih) yang memenuhi sifat p. Untuk m = 1 D, m2 = 12 = 1 = m. Jadi, kalimat (mD) m2 = m benar untuk m = 1 Terbukti bahwa kalimat (m D) m2 = m benar.
Contoh (3b) • Misalkan E adalah himpunan bilangan bulat antara 5 dan 10. Buktikan bahwa : kalimat (m E) m2 = m bernilai salah. Penyelesaian: Untuk 5 m 10, 52 = 25 5 ; 62 = 36 6 ; . . . ; 102 = 100 10 Berarti tidak ada satupun m E yang memenuhi relasi m2 = m. Jadi, kalimat (m E) m2 = m salah
Contoh (4a) • Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 2 0 • Penyelesaian: a. Jika x = 1 maka x2 – 2 = 12 – 2 = -1 < 0Jadi, tidak semua x memenuhi x2 – 2 0 sehingga kalimat (x) x2 – 2 0 bernilai salah.
Contoh (4b) • Tentukan kebenaran kalimat di bawah ini (Semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan bulat) (x) x2 – 10x + 21 = 0 • Penyelesaian: x2 – 10x + 21 = 0 (x – 3)(x – 7) = 0 x1 = 3 ; x2 = 7 Memang benar ada x yang memenuhi relasi x2 – 10x + 21 = 0 (yaitu 3 dan 7) sehingga kalimat (x) x2 – 10x + 21 = 0 bernilai benar.
Ingkaran Kalimat Berkuantor • Secara umum: • Ingkaran kalimat “Semua x bersifat p(x)” adalah : “Ada x yang tidak bersifat p(x)” Dalam simbol: ((x D) p(x)) (x D) p(x) • Ingkaran kalimat : “Ada x yang bersifat q(x)” adalah : “Semua x tidak bersifat q(x)”. Dalam simbol : ((x D) q(x)) (x D) q(x)
Contoh (5a) • Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Terdapatlah bilangan bulat x sedemikian hingga x2 = 9 • Penyelesaian: Untuk lebih memudahkan penyelesaian, terlebih dahulu kalimat ditulis ulang dengan menggunakan kuantor, kemudian barulah dituliskan ingkarannya. Kalimat mula-mula : (x bulat) x2 = 9 Ingkaran : (x bulat) x2 9 Atau : Kuadrat semua bilangan bulat tidak sama dengan 9
Contoh (5b) • Tulislah ingkaran kalimat berikut ini : Semua program COBOL mempunyai panjang lebih dari 20 baris. • Penyelesaian: Kalimat mula-mula : (x program COBOL) panjang x > 20 baris) Ingkaran : (x program COBOL) (panjang x 20 baris) Atau : Ada program COBOL yang panjangnya kurang dari atau sama dengan 20 baris
Contoh (6a) • Tulislah kalimat di bawah ini dalam simbol logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat) Untuk setiap x, jika x bilangan genap maka x2 + x genap • Penyelesaian: Misalkan Z : himpunan bilangan bulat Misal p(x) : x bilangan genap q(x) : x2 + x bilangan genap Kalimat mula-mula : (x z) (p(x) q(x)) Ingkaran: (x Z) (p(x) q(x)) = (x Z) (p(x) q(x)) = (x Z) (p(x) q(x)) Atau : “Ada bilangan bulat x yang merupakan bilangan genap tetapi x2 + x bukan genap”
Contoh (6b) • Tulislah kalimat-kalimat di bawah ini dalam simbol logika berkuantor, kemudian tulislah ingkarannya (semestanya adalah himpunan bilangan bulat) Tidak ada x sedemikian sehingga x bilangan prima dan (x+6) bilangan prima • Penyelesaian: Kalimat : “Tidak ada x yang bersifat P” ekuivalen dengan kalimat : “Semua x tidak bersifat P” Misal p(x) : x bilangan prima q(x) : x + 6 bilangan prima Kalimat mula-mula : (x Z) (p(x) q(x)) Ingkaran: (x Z) {(p(x) q(x))} = (x Z) (p(x) q(x)) “Terdapatlah suatu bilangan bulat x sedemikian sehingga x bilangan prima dan x + 6 bilangan prima”
Kalimat Berkuantor Ganda • Menambahkan beberapa kuantor sekaligus pada kalimat yang sama.
Contoh (7a) • Nyatakan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor ! Ada bintang film yang disukai oleh semua orang Misalkan : semestanya adalah himpunan semua manusia p(x,y) = y menyukai x. Maka kalimat tersebut dapat dituliskan sebagai (x)(y) p(x,y).
Contoh (7b) • Nyatakan kalimat di bawah ini dengan menggunakan kuantor ! Untuk setiap bilangan positif, terdapatlah bilangan positif lain yang lebih kecil darinya Penyelesaian : Kalimat mula-mula bisa dinyatakan sebagai : “Untuk setiap bilangan positif x, terdapatlah bilangan positif y sedemikian hingga y < x”. Dalam simbolik logika : ( bilangan positif x)( bilangan positif y) y < x.
Penggunaan Kuantor Ganda • Ada 8 cara berbeda dalam menggunakan 2 kuantor dan dalam 2 variabel x dan y, masing-masing adalah : • (x)(y), (y)(x), (x)(y), (y)(x), • (x)(y), (y)(x), (y)(x), (x)(y). • Jika semua kuantornya sama, maka urutan penulisan kuantor-kuantor itu bisa dibalik. Akan tetapi, jika kuantornya berbeda, urutan penulisannya tidak selalu dapat dibalik.
Contoh (8) • Misalkan p(x,y) : “y adalah ibu dari x” • Nyatakan arti simbol logika di bawah ini dalam bahasa sehari-hari dan tentukan nilai kebenarannya. • (x) (y) p(x,y) Untuk setiap orang x, terdapatlah seorang y, sedemikan hingga y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : setiap orang mempunyai ibu. (nilai kebenarannya : benar) • (y) (x) p(x,y) Terdapatlah seorang y sehingga untuk semua orang x, y adalah ibu dari x. Dengan kata lain : Ada seseorang yang merupakan ibu dari semua orang di dunia ini. (nilai kebenarannya: salah)
Penempatan Kuantor Ganda • Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut : • (x)(y) p(x,y) (y)(x) p(x,y) • (x)(y) p(x,y) (y)(x) p(x,y) • (x)(y) p(x,y) (y)(x) p(x,y)
Ingkaran Kalimat Berkuantor Ganda • Secara formal: • { (x)(y) p(x,y) } (x)(y) p(x,y) • { (x)(y) p(x,y) } (x)(y) p(x,y)
Contoh (9) Apakah ingkaran kalimat berikut ini ? ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n = 2k Atau : Semua bilangan bulat adalah bilangan genap. Penyelesaian : Ingkaran : ( bilangan bulat n) ( bilangan bulat k) n 2k. Atau : Ada bilangan bulat yang tidak sama dengan 2 kali bilangan bulat lain. Dengan kata lain : Ada bilangan bulat yang tidak genap
END OF TOPIC 1 LOGIKA