Créditos: - Prof. Antônio Marcos Alberti - Prof. José Marcos Câmara Brito

1. Pós-graduação em Engenharia de Redes e Sistemas de Telecomunicações TP315 Análise de Desempenho e Dimensionamento em Redes de Telecomunicações Prof. Edson J. C. Gimenez (Campinas/2010 – T62/T74) Créditos:- Prof. Antônio Marcos Alberti- Prof. José Marcos Câmara Brito

2. Nota Final / Conceito Avaliação • EX - peso 5: • Listas de exercícios • PV - peso 5 • Prova individual, com consulta. Conceito Final • Conceito A: NF ≥ 90 • Conceito B: 70 ≤ NF < 90 • Conceito C: 50 ≤ NF < 70 • Conceito D: NF < 50 • Conceito E: NC

3. Introdução à Teoria de Filas: • O que é um Sistema de Filas? • Notação de Kendall • Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado • Equações de Equilíbrio • Teorema de Little • Sistema de Fila com Servidor Único • Sistema de Fila com N Servidores • Sistema de Fila M/G/1 • Sistema de Fila com Prioridades • Sistema de Fila Multidimensional • Redes de Sistemas de Fila Alocação de capacidades em Redes de Pacotes: • Regra da Raiz Quadrada: Topologia em Estrela • Alocação de Capacidade em Redes Distribuídas

4. Bibliografia: 1) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 1: Theory. John Wiley. 1975. 2) KLEINROCK, L. - Queueing Systems - Vol. 2: Computer Applications. John Wiley. 1976. 3) IVERSEN, V. B. - Teletraffic Engineering and Network Planning. Technical University of Denmark. 2004. 4) SCHWARTZ, M. - Telecommnications Networks - Protocols, Modeling and Analysis. Addison Wesley. 1987. 5) KERSHENBAUM, A. - Telecommunications Network Design Algorithms. McGraw-Hill. 1993. 6) BRITO, J. M. C. - Projeto e Análise de Redes de Computadores - (Cap. 4: Introdução à Teoria de Filas). Inatel, 2004.

5. Introdução à Teoria das Filas • A teoria de filas é uma das mais interessantes aplicações da teoria da probabilidade, sendo de grande importância para a análise e dimensionamento de sistemas de comunicações e também em sistemas ligados à ciência da computação. • Os sistemas de filas aparece em diversas situações do nosso cotidiano, tais como: • Fila de pessoas em supermercados e bancos. • Fila de pessoas para embarcar em um avião. • Fila de carros em um semáforo. • Fila de carros aguardando por conserto em uma oficina. • Fila de containers a serem descarregados em um porto.

6. Introdução à Teoria das Filas • Sistemas de fila também são formados em sistemas e redes de comunicações: • Fila de pacotes aguardando por transmissão. • Fila de pacotes aguardando por roteamento/comutação. • Fila de pacotes recebidos na placa de rede de um terminal. • Fila de chamadas telefônicas aguardando por linha em um PABX. • Fila de amostrasde voz recebidas em um telefone IP. • Fila de símbolos a serem codificados em um transmissor de TV Digital. • etc...

7. O que é um Sistema de Filas? • Um sistema de filas (Q – Queuing System) é um sistema composto por: • Uma ou maisfilas (W – WaitingLine) onde são armazenados os elementos que aguardam por atendimento. • Um ou maisservidores (S – Servers) que atendem os elementos. • Umprocesso de chegada, que define como os elementos chegam ao sistema. • Umprocessode atendimento, que define como os elementos são atendidos pelo sistema. • O tamanho da população que gera os elementos.

8. O que é um Sistema de Filas? Exemplo: Seja o caso de uma lanchonete, em que o chapista leva em média 5 min para fazer um sanduíche, e que o número médio de clientes que procuram a lanchonete é de 8 clientes/hora. Pergunta: Há formação de fila nesta lanchonete? Solução: Utilização da facilidade ** Mesmo a carga sendo inferior à carga máxima, provavelmente teremos fila, uma vez que os clientes não chegam à lanchonete de forma ordenada.

9. O que é um Sistema de Filas? • Sistema de Filas com 1 Fila e vários Servidores Processo de Chegada Processo de Atendimento Taxa média de chegada de elementos. Ex.: 5 elementos/segundo.  Fila (W) S1  S2 População  . . . Servidores (S) Elemento que chega ao sistema. Sm  Armazenamento Elemento sendo servido. Servidor ocupado. Taxa média de atendimento de elementos. Ex.: 2 elementos/segundo. Sistema de Fila (Q) = Fila (W) + Servidor (S)

10. O que é um Sistema de Filas? • Métricas de Desempenho: Ocupação Nº Médio de Elementos nos Servidores Nº Médio de Elementos que Chegam ao Sistema Fila (W) S1  S2 População  Nº Médio de Elementos na Fila . . . Servidores (S) Sm  Nº Médio de Elementos no Sistema de Fila Nº Médio de Elementos que Saem ao Sistema

11. O que é um Sistema de Filas? Tempo Médio de Serviço • Métricas de Desempenho: Atraso Fila (W) S1  S2 População  Tempo Médio de Armazenamento . . . Servidores (S) Sm  Tempo Médio no Sistema de Fila

12. Notação de Kendall e Notação Expandida • A notação de Kendall(David Kendall) foi desenvolvida em 1951 para descrever o comportamento de um sistema de fila em uma única frase: Processo de chegada Disciplina de serviço Processo de atendimento Tamanho da população Número de servidores Nº total de elementos no sistema

13. Notação de Kendall e Notação Expandida • Notação deKendall Expandida: Processo de chegada Disciplina de serviço Processo de atendimento Tamanho da população Número de servidores Nº total de elementos no sistema Número de elementos na fila

14. Notação de Kendall e Notação Expandida • É comum vermos sistemas definidos com a notação simplificada: • A/B/m. • Neste caso assume-se que não há limite para o tamanho da fila, a fonte de clientes é infinita, e a disciplina de tratamento é FIFO • A/B/m// /FIFO

15. Notação de Kendall e Notação Expandida • Processo de Chegada (A) • Descreve o processo que modela as chegadas de elementos ao sistema. • As seguintes opções são utilizadas: • MMarkoviano (Distribuição Exponencial) • DDeterminístico (Constante) • EkErlang (Erlang-k) • HkHiperexponencial • GGenérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma genérica, independente da distribuição)

16. Notação de Kendall e Notação Expandida • Processo de Atendimento (B) • Descreve o processo que modela o atendimento de elementos no sistema. • As seguintes opções são utilizadas: • MMarkoviano (Distribuição Exponencial) • DDeterminístico (Constante) • EkErlang (Erlang-k) • HkHiperexponencial • GGenérico (Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma genérica, independente da distribuição)

17. Notação de Kendall e Notação Expandida • Tamanho da População (S) • Descreve o tamanho da população que gera elementos para o sistema. Tipicamente é considerada como infinito. Ex. ligações chegando, clientes na lanchonete. • Disciplina de Serviço (X) • Os elementos que aguardam por serviço na fila podem ser selecionados de acordo com uma regra chamada disciplina de serviço. Dentre as principais disciplinas estão: • FCFS – First Come First Served(**FIFO) • Primeiro elemento que chega é o primeiro a ser atendido. • LCFS – Last Come First Served • Último elemento que chega é o primeiro a ser atendido. • SIRO – Service In a Random Order • Elementos são atendidos em ordem aleatória.

18. Notação de Kendall e Notação Expandida A B Processo de Chegada Processo de Atendimento  Buffer Infinito S1  S2  m . . . X Sm  S População K

19. Processo de Atendimento Markoviano Notação de Kendall e Notação Expandida B = M J=5  S1  S2  Buffer finito com no máximo 5 elementos. m=9 Processo de Chegada Markoviano . . . A=M X=FCFS S9  S=∞ K=5+9=14 População Infinita

20. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado • É uma classe especial de processos estocásticos em que são permitidas somente transições aos estados vizinhos. • As probabilidades de transição são determinadas em função do estado atual e das médias das distribuições dos processos de chegada e de atendimento. Estado do Sistema K-1 K K+1

21. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado • Assim, para um sistema em equilíbrio tem-se: • Onde: • k – Média de chegada de elementos no estado K. • k – Média de saída de elementos no estado K.

22. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado • Exemplo: Servidor desocupado. Fila (W) Servidores (S)  Elemento é recebido no sistema. S1  S2  0

23. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Fila (W) Servidores (S)  S1  S2  0 Elemento é armazenado na fila. Diagrama de Estado 0 1

24. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor inicia serviço. Outro elemento é recebido no sistema. Fila (W)  S1  S2  Servidores (S) 0 Diagrama de Estado 0 1

25. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Outro elemento é armazenado na fila. Fila (W)  S1  S2  Servidores (S) 0 1 Diagrama de Estado 0 2 1

26. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Fila (W)  S1  S2  Servidores (S) 0 1 Outro servidor inicia serviço. Diagrama de Estado 0 2 1

27. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Outro elemento é recebido no sistema. Fila (W)  S1  S2  Servidores (S) 0 1 Servidor continua serviço. Diagrama de Estado 0 2 1

28. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Outro elemento é armazenado na fila. Outro elemento é recebido no sistema. Fila (W)  S1  S2  Servidores (S) 0 1 2 Servidor continua serviço. Diagrama de Estado 0 3 1 2

29. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Outro elemento é armazenado na fila. Fila (W)  S1   S2 Servidor continua serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3

30. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor finaliza serviço. Fila (W)  S1   S2 Servidor continua serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 4

31. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor inicia serviço. Fila (W)  S1   S2 Servidor continua serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 4

32. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Fila (W)  S1   S2 Servidor finaliza serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 3 4

33. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor continua serviço. Fila (W)  S1   S2 Servidor inicia serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 3 4

34. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor finaliza serviço. Fila (W)  S1   S2 Servidor continua serviço. Servidores (S) 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 2 3 4

35. Processo de Nascimento e Morte e Diagrama de Estado Servidor desocupado. Fila (W)  S1   S2 Servidor finaliza serviço. 0 1 2 3 Diagrama de Estado 0 4 1 2 3 1 2 3 4

36. 0 1 K-2 K-1 K K+1 0 K+1 ...... ...... 1 K K-1 1 2 K K+2 K-1 K+1 Equações de Equilíbrio • Em equilíbrio, a soma dos fluxos que saem de um determinado estado (k), deve ser igual a soma dos fluxos que chegam a este mesmo estado (k+1). • Ou seja:

37. Equações de Equilíbrio • Lembre-se que: • Considerando-se esta equação, o sistema de equações pode ser resolvido como: ......

38.     0 1 3 4 2     Equações de Equilíbrio Em cada estado tem-se  Fluxo de Entrada =  Fluxo de saída

39.     0 1 3 4 2     Equações de Equilíbrio

40.     0 1 3 4 2     Equações de Equilíbrio

41. Teorema de Little • Diz que o número médio de elementos no sistema é igual a taxa média efetiva de chegadas no sistemamultiplicada pelo tempo médio de permanência no sistema. Também é válido para as demais médias de elementos no sistema:

42. 0 1 K-2 K-1 K K+1 0 K+1 ...... ...... 1 K K-1 1 2 K K+2 K-1 K+1 Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Este sistema é conhecido como M/M/1, ou na notação expandida M/M/1////FCFS. Servidor (S) Fila (W)  ...... S1   

43. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • No sistema M/M/1, todas as transições de nascimento tem valor igual a , e como existe somente um servidor, todas as transições de morte são iguais a . Ou seja: K= , para K=0,1,...,  K= , para K=1,...,        0 K+1 ...... ...... 1 K K-1      

44. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • As equações de equilíbrio, neste caso, são: Resolvendo, tem-se:

45. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Podemos encontrar P0fazendo-se: Sabendo-se que: Tem-se:

46. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • As equações anteriores podem ser reescritas em função da variável , que é conhecida como utilização: • Assim, a utilização do sistema é igual a probabilidade de que o sistema não esteja vazio. • Observando a expressão , vemos que não podeser maior que , senão a utilização do sistema seria maior que 1.

47. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Então,  deve estar entre 0 e 1. • Outra passagem importante é a que relaciona a taxa média de chegadas com a probabilidade de que o sistema esteja vazio: • Esta expressão iguala o que entra no sistema com o que sai do sistema.

48. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Número Médio de Elementos no Sistema • Vamos agora calcular, o número médio de elementos no sistema, . • Pela definição de média para um V.A. discreta temos:

49. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Número Médio de Elementos no Sistema • Sabendo-se que: • Tem-se:

50. Sistema de Fila com Servidor Único e Buffer Infinito • Número Médio de Elementos no Sistema ()