ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO AVANZADO DE SEÑALES

1. Universidad Nacional de Entre Ríos Facultad de Ingeniería Laboratorio de Señales y Dinámicas no Lineales Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ciencias Hídricas SINC(i) ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO AVANZADO DE SEÑALES Clase 5 – Parte 2 Dra. María Eugenia Torres Dr. Hugo Leonardo Rufiner Dr. Diego H. Milone APAS´2011

2. Sistemas Lineales y Filtros • Filtros lineales invariantes en el tiempo • Integrales de Fourier en L1 y en L2. • Propiedades. • Discretización • Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo. • Señales finitas. APAS´2011

3. de Fourier. Informe de Fourier al Institute de France (1807) f periódica puede representarse por serie de ondas senoidales armónicas. Impacto: física, ingeniería, análisis matemático. Motivación de Fourier: difusión del calor Transformada de Fourier diagonaliza todo operador lineal invariante en el tiempo  Bloques fundamentales del procesamiento de señales APAS´2011

4. Filtrado Lineal Invariante en el tiempo. Operaciones básicas del procesamiento de señales • transmisión de señales • remoción de ruido estacionario • codificación predictiva son implementadas con operadores lineales invariantes en el tiempo APAS´2011

5. Filtrado Lineal Invariante en el tiempo.Operador lineal invariante en el tiempo L f g APAS´2011

6. Es Notación!!! Delta de Dirac • δtienesoporte en { t = 0} y • Si f continua: • Dada g continua talque Convergencia débil APAS´2011

7. f continua L h respuesta al impulso L Sistema Lineal Invariante en el tiempo (SLIT). Se caracterizan por su respuesta al impulso unitario. L lineal y continua donde APAS´2011

8. Las exponenciales complejas sonautovectoresdel operador de convolución donde (Transformada de Fourier) es el autovalorasociado en la frecuencia Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT).Autovalores y autovectores APAS´2011

9. Como las ondas sinusoidales son autovectores de los SLIT es tentador tratar de descomponer cualquier función f como “suma” de estos autovectores. Podemos expresar L[f ] directamente a partir de los autovalores . Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT).Autovalores y autovectores El análisis de Fourier demuestra que bajo condiciones débiles (seccional continuidad) es posible escribir L[f ] como una Integral de Fourier. APAS´2011

10. Integrales de Fourier en L1 y en L2 Sumable Energía finita APAS´2011

11. La Transformada de Fourier (FT) mide “cuantas” oscilaciones de f hay en la frecuencia . Si y es continua L a Transformada de Fourier en L1(R) ( Papoullis, 1987 ) APAS´2011

12. Teorema (Transformada Inversa de Fourier) Si Teorema (de Convolución) Sea L a Transformada de Fourier en L1(R) La reconstruccion no está garantizada para funciones discontinuas APAS´2011

13. La respuesta de un SLIT puede calcularse por su FT Esta convolución se denomina Filtrado Frecuencial y es la Función de Transferencia del Filtro atenua o amplifica cada componente frecuencial ei tde amplitud La Transformada de Fourier en L1(R) APAS´2011

14. Función Característica de [-1,1] o “Indicator Function” No puede aplicarse el Teorema de Inversión ! La Transformada de Fourier en L2(R) Es necesario extender la Transformada de Fourier a L2 (R ) APAS´2011

15. L2 es Hilbert • Producto interno • Norma APAS´2011

16. Teorema: Fórmula de Parseval Fórmula de Plancherel La Transformada de Fourier en L2(R) APAS´2011

17. no puede calcularse su Transformada de Fourier mediante la integral usual porque Entoncesse la define como un límite usando la densidad de La Transformada de Fourier en L2(R) Extensión a L2  por densidad APAS´2011

18. Como {fn} es convergente, es una sucesión de Cauchy  La Transformada de Fourier en L2(R) Plancherel L2 es un espacio de Hilbert completo  toda sucesión de Cauchy converge en él se la define como la Transformada de Fourier de f APAS´2011

19. Función Característica • Filtro Pasa-Bajo Ideal La Transformada de FourierEjemplos APAS´2011

20. h f(t)=g(t)=0 si t<0 Aplicando Fourier: La Transformada de FourierEjemplos • Circuito Electrónico Pasivo Implementa filtros analógicos: resistencias, capacitores e inductores. APAS´2011

21. Función Gaussiana • Chirp Gaussiano La Transformada de FourierEjemplos APAS´2011

22. La regularidad global de una señal f depende del decaimiento de cuandoaumenta i.e f es continua y acotada La Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimiento • Regularidad y Decaimiento APAS´2011

23. Teorema: Si entonces la función f es acotada y p veces continuamente diferenciable con derivadas acotadas. La Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimiento APAS´2011

24.  Entonces  Si tiene soportecompacto, el teorema implica que El decaimiento de depende del peor comportamiento singular de f. La Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimiento APAS´2011

25. Ejemplo: es discontinua en -T y T.  La Transformada de FourierPropiedades: Regularidad y decaimiento ¿ Es f regular para t  T ? Esta información no puede obtenerse a partir de la Transformada de Fourier. Para caracterizar regularidades locales se necesitan formas de onda bien localizadas en el tiempo   Onditas APAS´2011

26. La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre ¿ Es posible construir una función f tal que: • Su energía esté bien localizada en tiempo? • Su transformada de Fourier tenga energía concentrada en un pequeño entorno de frecuencia? APAS´2011

27. tiene decaimiento rápido a altas frecuencias, sólo si f tiene variaciones regulares en el tiempo. • La energía debe estar desparramada en un tiempo “largo”. • tiene soporte restringido a t=u • tiene energía distribuida uniformente en todas las frecuencias La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre APAS´2011

28. es dilatada en 1/s La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre Solución? • ¿ Reducir la dispersión temporal de f ? Cómo? • ¿Con un cambio de escala de f ? APAS´2011

29. Dilatación en tiempo vs. frecuencia s= 1, 5, 0.2, 0.05 APAS´2011

30. Interpretación en Mecánica Cuántica: El estado de una partícula unidimensional es descripto por una función de onda La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre • Las concentraciones de energía en tiempo y frecuencia están restringidas por el Principio de Incertidumbre de Heisenberg APAS´2011

31. La densidad de probabilidad de que una partícula esté localizada en t es • La densidad de probabilidad de que su momentum sea igual a  es • Localización promedio: • Varianzas: • Momentum promedio: La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre APAS´2011

32. Teorema (de Incertidumbre de Heisenberg): La varianza temporal y frecuencial de satisfacen La igualdad es válida si y sólo si existen (u,,a,b)  2 x C 2 tales que La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre Gabor Chirps APAS´2011

33. Teorema Si f 0, tiene soporte compacto, entonces no puede ser nula en todo un intervalo. Recíprocamente, si tiene soporte compacto, entonces f(t) no puede ser nula en todo un intervalo. La Transformada de FourierPropiedades: Principio de Incertidumbre Soporte compacto? APAS´2011

34. Transformada de Fourier f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz

35. Transformada de Fourier f1=0,05 kHz - f2=0.025 kHz - f3=0.08 kHz

36. Contenidos • IntroducciónElementos de Matemáticas avanzadas. Operadores lineales. Proyecciones. Espacios vectoriales. Filtros lineales invariantes en el tiempo. Integrales de Fourier en L1 y en L2. Propiedades. Filtros lineales discretos invariantes en el tiempo. Señales finitas. • Análisis tiempo-frecuencia La transformada Fourier por ventanas. La transformada ondita. Frecuencia instantánea. Energía tiempo-frecuencia instantánea. • MarcosTeoría de Marcos. Marcos en Fourier y en onditas. Invariancia ante traslación. Transformada Ondita Diádica. • Bases Ondita.Bases onditas ortogonales. Aproximaciones Multirresolución. Funciones escala. Filtros espejo conjugados. Clases de bases ondita. Onditas y bancos de filtros. Bases biortogonales. • Aplicaciones.