Nazwa szkoły: III Liceum Ogólnokształcące im. św. Jana Kantego w Poznaniu

2. Nazwa szkoły: III Liceum Ogólnokształcące • im. św. Jana Kantego w Poznaniu • ID grupy: 97/69_MF_G1 • Kompetencja: matematyka i fizyka • Temat projektowy: Liczby Fibonacciego • Semestr/rok szkolny: IV semestr 2011

3. Fibonacci Julita Czekała

4. Fibonacci był włoskim matematykiem znanym również jako Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy).

5. Biografia Urodził się ur. około 1175r. jako syn Guilielmo z rodziny Bonacci, zmarł w 1250r. Jego ojciec zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. Pierwsze lekcje matematyki pobierał od arabskiego nauczyciela w mieście Boużia (dziś algierska Bidżaja). Dużo podróżował najpierw razem z ojcem, później samodzielnie, odwiedzając i kształcąc się w takich miejscach jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. W czasie swych podróży po Europie i po krajach Wschodu miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, między innymi dziesiętny system liczbowy. Swoje podróże zakończył około 1200r. i powrócił do Pizy.

6. Fibonacci napisał szereg rozpraw matematycznych, z których wiele zaginęło. Wśród prac, których kopie zachowały się do czasów współczesnych znajdują się: Liber Abaci (1202), gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki Practica geometriae (1220), będące połączeniem algebry i geometrii Flos (1225) i Liber quadratorum.

7. Ciąg Fibonacciego Jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w następujący sposób: pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich.

8. Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Édouard Lucas. Wyrazy F0 … F19 ciągu Fibonacciego to:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181.

9. Kilka problemów matematycznych Fibonacciego  Kupiec podczas swojej podróży handlowej do Wenecji podwoił tam swój początkowy kapitał, a następnie wydał 12 denarów. Potem udał się do Florencji, gdzie znowu podwoił liczbę posiadanych denarów i wydał 12. Po powrocie do Pizy po raz kolejny podwoił swój majątek, wydał dwanaście denarów i ... został bez grosza. Ile denarów miał na początku?

10. Trzech mężczyzn znalazło sakiewkę zawierającą 23 denary. Pierwszy powiedział do drugiego: Jeżeli dodam te pieniądze do swoich, to będę miał dwa razy więcej od ciebie. Drugi podobnie zwrócił się do trzeciego: Ja zaś, jeżeli wezmę te pieniądze, będę miał trzy razy więcej od ciebie. W końcu trzeci powiedział do pierwszego: Ja dodając te pieniądze do swoich będę miał cztery razy więcej niż ty. Ile denarów miał każdy z nich? ----------------------------------------------- Bliski śmierci człowiek wezwał swych synów i powiedział do najstarszego: Weź jednego denara z mego majątku i siódmą część tego, co zostanie. Do drugiego powiedział Weź dwa denary i siódmą część tego, co zostanie. Do trzeciego: Weź trzy denary i siódmą część tego, co pozostanie. Każdemu synowi zapisywał więc jednego denara więcej od poprzedniego i siódmą część reszty. Po podziale majątku okazało się, że każdy z synów dostał tyle samo. Ilu było synów i jak duży był spadek?

11. Liczby Fibonacciego Anna Majewska

12. Ciąg Fibonacciegoto ciąg liczb określony rekurencyjnie w sposób następujący: F0 = 0 F1 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 dla n ≥ 2 Początkowe wartości tego ciągu to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

13. Podstawowy ciąg liczb Fibonacciegoto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju.

14. W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą:

15. Złoty podział podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi").

16. Wartość złotej liczby φ

17. Złota spirala Szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której współczynnik b jest stałą zależną od φ (gdzie φ jest „złotą liczbą”). Cechą charakterystyczną złotej spirali jest to, że co 90° jej szerokość zwiększa się (lub zmniejsza) dokładnie φ razy.

18. Złota spirala Spirala Fibonacciego, zbudowana z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego. Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą

19. Złoty podział prostokąta

20. Przykład paraboli logarytmicznej

21. Złoty podział jako kanon piękna w sztuce Dominika Janczura

22. Typowymi przykładami boskiego kanonu piękna są: • Liczby rozgałęzień wyrastających z łodygi rośliny. • Liczba płatków występujących w kwiatach niektórych roślin • Budowa muszli niektórych skorupiaków (Nautilius Pompilius). • Wzrost populacji królików • Struktura atomowa • Molekuły DNA • Struktura kryształu • Orbity planet i galaktyk • Układ zwojów w szyszce sosny • Proporcje powstające w wirach wodnych • Układ spiral tworzonych przez nasion słonecznika • Proporcje zachodzące pomiędzy poszczególnymi prądami powietrznymi tworzącymi huragany

23. Muszla skorupiaka Nautilius Pompilius

24. Liczba rozgałęzień wyrastających z łodygi

25. Bibliografia : • http://bossa.pl/index.jsp?layout=2&page=0&news_cat_id=210&news_id=568

26. Liczby Fibonacciego w otaczającym nas świecie Iza Krakowiak

27. Złoty podział odcinka Inaczej złota lub boska proporcja. Polega na podziale odcinka na dwie części. Stosunek dłuższego do krótszego jest identyczny jak stosunek całego odcinka do dłuższego fragmentu.

28. Złota liczba Jest to stosunek odcinków opisany powyżej. Oznacza się go grecką literą φ. Według tego z powyższego równania wynika że: A więc:

29. Kontynuując obliczenia dochodzimy do równania kwadratowego. Jego dwa rozwiązania przyjmują wartość Jego dodatnie rozwiązanie przyjmuje wartość równą:

30. Liczby Fibonacciego a złota liczba Identyczny wynik można uzyskać dzieląc dwie kolejne liczby ciągu Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… czyli

31. Prostokąt Wykorzystując zasadę złotego podziału odcinka możemy zbudować prostokąt. Należy: • Zbudować kwadrat o boku długości a • Znaleźć środek jednego z boków • Odcinek łączący środek boku z końcem sąsiedniego odłożyć ze środka prostej na jej przedłużeniu • Dorysowany fragment razem z odcinkiem a tworzą odcinek b

32. Inne konstrukcje geometryczne Na podobnej zasadzie do konstrukcji prostokąta można stworzyć inne figury geometryczne takie jak: pięciokąt foremny czy dziesięciokąt foremny

33. Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Matematycy wraz z przyrodnikami odkryli iż ciąg ten może służyć do opisu niektórych struktur fizycznych jak i dynamicznych. Nasiona słonecznika rosną w dwóch przeciwnych sobiespiralach. Stosunek średnic obrotu kolejnych spirali to 1,618.

34. Muszla ślimaka także wykorzystuje takie założeni.

35. Ciąg w sztuce Zjawiska oparte na ciągu Fibonacciego sprawiają przyjemność na poziomie wzrokowym i słuchowym odbiorcom. Widać to m.in. na podstawie dzieł Leonarda da Vinci czy Botticellego.

37. Rośliny Nawet rośliny nie oparły się złotej proporcji. Wypuszczają one nowe pędy właśnie według tej zasady.

38. Człowiek w opisie liczbowym Ciało człowieka także można opisać tym ciągiem: • Odległość od czubka głowy do podłogi podzielone przez odległość od pępka do podłogi to 1,618 • Odległość między ramieniem a czubkiem palców podzielone przez odległość między łokciem a czubkiem palców to 1,618 • Od biodra do podłogi podzielone przez odległość od kolana do podłogi daje nam...1,618

39. Architektura Tak znamienite budowle jak piramida Cheopsa czy Partenon zostały zbudowane z wykorzystaniem liczb Fibonacciego. W tej pierwszej dzieląc jej powierzchnię przez powierzchnię boków otrzymamy 1,618. Także dzieląc wysokości boku przez połowę długości podstawy uzyskamy taki sam wynik.

40. Bibliografia • http://www.almanachinwestora.pl/analiza-techniczna/fibonacci/liczby-fibonacciego-ciag-fibonacciego • http://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego • http://zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/Badecka/fibonacci.htm

41. LICZBY FIBONACCIEGO Ola Śledziejowska

42. Szereg Fibonacciego Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę ciągu Fibonacciego. Jego twórca był w samej rzeczy najsłynniejszym matematykiem epoki średniowiecza ale prawdopodobnie nie spodziewał się, że właśnie to odkrycie przyniesie mu nieśmiertelność. Wzmiankę o ciągu odnalazł na marginesie księgi „Liber Abaci” Fibonacciego inny matematyk. Później okazało się, że ta banalna z pozoru zależność opisuje szereg zjawisk naturalnych (opisuje kształty i procesy fizyczne), a ponadto ściśle wiąże się z geometrią i sztuką (zjawiska oparte na nim sprawiają są atrakcyjne dla ludzkich zmysłów). Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów geometrycznych, ciąg Fibonacciego okazał się najbardziej istotny.

43. Co to jest ciąg Fibonacciego ? Ciągiem Fibonacciego nazywamy ciąg, który składa się z liczb naturalnych określany rekurencyjnie w następujący sposób: F0=0 F1=1 Fn=Fn-2+Fn-1

44. Wzór Bineta Jawny wzór na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego możemy otrzymać np. korzystając z metody funkcji tworzących.

45. Wzór Bineta : Jeśli ,   oraz  to : 

46. Dowód indukcyjny :Baza indukcyjna • Dla n = 1  mamy :  Zatem wzór Binet'a jest prawdziwy dla n = 1 • Dla n = 2  mamy : Zatem wzór Binet'a jest prawdziwy dla n = 2 Pokazaliśmy, że wzór Bineta jest prawdziwy dla początkowych dwóch wyrazów. 

47. Krok indukcyjny • Załóżmy, że wzór Bineta jest prawdziwy dla n = k początkowych  wyrazów.  W szczególności jest on prawdziwy dla k-tego i k – 1   wyrazu tego ciągu.  Mamy zatem : 

48. Dodając obustronnie mamy :  Zatem wtedy i wzór Bineta jest prawdziwy dla (k + 1)-ego wyrazu, czyli dla początkowych (k + 1) wyrazów. Na mocy twierdzenia o indukcji zupełnej wzór Bineta jest prawdziwy dla każdego  n  

49. Kod C++ - rekurencyjny

50. Kod C++ - iteracyjny Fn=